Q039 · 相同光子数下的相位估计

量子相位测量与资源预算

干涉条纹更密，相位测量就一定更好吗？ 不一定。NOON 态确实让条纹更密，但公平的比较要把输入的每个光子和途中的损耗都算进去。条纹密了，也更容易认错是哪一条，还得靠普通光子来定位。

给单光子和 NOON 探针相同的光子总数。丢掉的光子照样算进总数，凡是与计数相符的相位都留下。再花少量普通光子，判断 NOON 条纹重复出现的几个峰里哪一个才对。

采集记录 $\text{—}$

测量结果 $\text{—}$

01 / 用同样多的光子

每一道条纹都要花光子。

让三个方案用同样多的输入光子，比较各自还剩哪些可能的相位，再降低存活率重做一遍。

理想路径态进入双臂，积累相对相位后合束。颜色只区分光路，不代表测到了光走哪条路。

参考相位偏置

\theta_0/{}^\circ

0

每个方案在此偏置下轮换四个分析相位。改变控制值本身不采集光子。

可以开始采集。

做一组对照

输入光子预算

B

600

每次 NOON 光子数

N

4

光子存活率

\eta

0.85

设定待测相位与采样种子

制备的待测相位

\phi/{}^\circ

67

采样种子

s_0

37

每个按钮都按选定的光子数开始一组新实验。试下一个方案前请先保存。制备光源的开销不计在内。

路径态为理想制备，每个 NOON 探针含二至四个光子。两臂损耗相等且互相独立，合束器平衡，探测器能准确分辨光子数。不考虑制备成本、暗计数和模式不完全重合。后验只由记录的计数和均匀相位先验算出，不读取待测相位的真值。

02 / 探测器说了什么？

保留所有与数据相符的相位。

显示待测真值

$\phi/{}^\circ$ · 蓝线：当前后验；橙线：最近保存的另一组样本；阴影：最高密度百分之九十五可信网格集。分开的峰就是不同的可能相位。

每个输入光子都算在内

\text{—}

\text{—}

丢一个光子，就可能失去相位信息。

$F/B=\eta\quad\text{or}\quad N\eta^N$ · 仅为模型参考：灰色是单光子，蓝色是所选光子数的 NOON 态。这个局部界无法区分相隔很远、却同样符合数据的多个相位。

\text{—}

混合方案把五分之一的光子用作单光子，其余用于 NOON 态。单光子负责找出正确的那道条纹。即使探测器什么都没测到，输入的光子也全部计入。

相位先验在完整圆周上均匀。四分之一度网格上的可信集，是在这个理想标定模型成立的前提下得到的 Bayesian 结果。它不保证频率学意义上的覆盖率，也不能证明硬件有优势。

04 / 把证据留下来

保存一个结果，然后只改一项。

最多保存八组样本。恢复后可以查看；再次采集会开始新记录。每条保存的原始记录只导出一次。用同一个种子会重现同样的抽样，不能算独立证据。

物理模型、适用范围与主要来源

$|\psi_N\rangle=(|N,0\rangle+|0,N\rangle)/\sqrt2$

$P(k,N-k)=\eta^N\binom Nk2^{-N}[1+(-1)^k\cos N(\phi-\theta)]$

所有部分计数都保留。两臂损耗相同时，只要 NOON 脉冲丢了光子，就失去相位相干，剩下的光子按二项分布分到两路。制备盒直接给出设定的理想路径态；画出的光路线并不指定单个光子走哪条路。几何尺寸为示意；相位指光学相位延迟，不计算折射板需要转多大角度。

Rubin & Kaushik · loss and maximally entangled phase probes
Dorner et al. · lossy interferometry and optimized alternatives

先抓重点

核心问题: 干涉条纹更密，相位测量就一定更好吗？
一句话直觉: 要说有优势，先把送进去的每个光子都算上，把数据还允许的每个相位都留下。

核心数学模型

整个 NOON 探针存活的概率

P_{\mathrm{complete}}=\eta^N

每个光子都得活下来。只探到部分光子的脉冲，照样算进光子总数。

每个输入光子的局部 Fisher 信息

F/B=N\eta^N

适用于两臂等损失、光子数已知、探测器能分辨光子数的理想情形。它只描述某个相位附近的灵敏度，判断不了哪一道条纹才对。

用全部脉冲记录算出后验

p(\phi\mid D)\propto p(\phi)\prod_j p(d_j\mid\phi,N_j,\theta_j)

先验对圆周上每个相位一视同仁。关于相位的信息，只来自记录下来的探测器计数和分析相位设置。

常见难点

单凭一张图证明不了什么

容易误解条纹越密，测量就一定越好。

正确理解损耗、光源的成本、相位的多重解都要算进去。本实验不计制备开销，只比较几种理想方案。

改设置不会改动已存数据

容易误解移动滑块能改善已经记录的数据。

正确理解改变制备会重新开始一组样本；已保存的样本保留原来的设置和原始读数。

动手实验

01
先预测
在无损条件下比较单光子和四光子探针，先猜各自会出现几个可能的相位峰。
你会看到： 先别打开可选的模型参考。
02
采集并保存
每个方案给 600 个光子，分别保存结果。混合方案要从中拿出一部分给普通单光子。
你会看到： 丢了光子的脉冲不再携带相位信息，但照样算在光子总数里。
03
看它在哪里失效
把存活率降到百分之四十，用同样的光子数重做，再比较局部信息和完整可信区域。
你会看到： 一道条纹变窄了，仍然不知道真实相位落在哪一道上。