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Sandbox Physics

Q050 · 一颗自旋做成的热机

两能级量子 Otto 热机

一颗自旋，能把热变成功吗？ 可以，用量子 Otto 循环。改变自旋能隙时做功；能隙固定、接触热库时交换热量。在一热一冷两个热库之间跑完一圈，净功可以为正。能量账照样平衡：输出的功等于从高温热库吸的热减去放给低温热库的热。

拉大自旋的能隙，让它吸热，再把能隙缩回去，然后冷却。逐段跟随循环，弄清功和热各自怎样改变自旋的内能。

交互模型两能级量子 Otto 热机
模型参考—\text{—}
协议参考—\text{—}

02 / 依次看四个步骤

先改变能隙，再改变占据。

激发态占据与能隙 · 模型 ϵ/ϵ0\epsilon/\epsilon_0

在曲线附近拖动，可查看对应步骤。这不是压强体积图。驱动同时转动场轴时，回路面积不能直接当作功。下方的能量表按每段边界处的能量变化计算。

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圆点表示概率权重，不是多颗粒子。循环各段的能隙使用同一绘图尺度。

03 / 把功和热加起来

每个循环记录 · 均值与一个标准误模型
输出功—\text{—}—\text{—}
从热浴吸热—\text{—}—\text{—}
从冷浴吸热—\text{—}—\text{—}
内能变化—\text{—}—\text{—}

所有能量都以参考能隙为单位。热量以流入自旋为正，功以流出自旋为正。每次试验都独立地从边界处的稳态混合态开始；五次能级测量的结果决定了这一次的全部热、功和内能变化。

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04 / 测量涨落

单次循环，可能与平均方向相反。

记录的输出功分布 Wout/ϵ0W_{\rm out}/\epsilon_0

稳态模型 · 不是拟合

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效率只在热机模式下显示，制冷系数只在冰箱模式下显示。采样得到的热接近零时，效率这个比值会很不稳定，所以采样的热和功分开列出。

05 / 保存证据

先保存样本，只改一项，再比较。

最多保存八组样本。保存会把当前记录固定下来，之后再采集就开始新样本。导出文件包含全部原始记录和制备参数。用同一个种子会重现同样的随机抽样，这样的重复副本不能算独立证据。

模型、单位与来源
ΔU=Qh+Qc−Wout,ϵc=ϵ0\Delta U=Q_h+Q_c-W_{\rm out},\qquad \epsilon_c=\epsilon_0

能量以较低的能隙为单位，温度以这个能量除以 Boltzmann 常数为单位，时间以约化 Planck 常数除以这个能量为单位。两个热浴的占据弛豫率都是参考时间的倒数。能隙线性变化，场轴角度在一个平面内线性变化。中点幺正步保持态矢量长度不变，数值收敛另行检验。

每段结束时做一次投影能量测量，它去掉段与段之间的相干，但不改变平均能量。热浴是满足 Gibbs 细致平衡的理想 Markov 接触。每个循环都独立地从测量后的稳态混合态开始。不计热浴的产生、电路、测量存储和制备的开销；显示的功率只按各段时长计算。

两个热接触都断开、驱动也不引起跃迁时，稳态混合态不唯一，这时约定取冷浴的 Gibbs 混合态。模型借鉴了自旋热机，不是对所引 NMR 实验的数值复现。

Peterson et al. · Experimental characterization of a spin quantum heat engine

物理教程

两能级量子 Otto 热机

背景拉大自旋的能隙，让它吸热，再把能隙缩回去，然后冷却。逐段跟随循环，弄清功和热各自怎样改变自旋的内能。

为什么值得理解把单次循环的测量结果，和整体模型的预测放在一起比较。

先抓重点

核心问题
一颗自旋，能把热变成功吗？
一句话直觉
每次只改一个设置，留一组结果作对照，再用原始数据重新计算。

核心数学模型

受控 Hamiltonian

H(t)=ϵ(t)2[I+n(t)⋅σ]H(t)=\tfrac{\epsilon(t)}2[ I+\mathbf n(t)\cdot\boldsymbol\sigma]

两个能级分别在零和受控的能隙处。在与热浴隔开的两段里，场轴还会在一个平面内转动。

与热浴接触时的弛豫

pe(t)=pβ+[pe(0)−pβ]e−γt,pβ=11+eϵ/(kBT)p_e(t)=p_\beta+[p_e(0)-p_\beta]e^{-\gamma t},\quad p_\beta=\frac1{1+e^{\epsilon/(k_BT)}}

布居按 Markov 过程弛豫，满足 Gibbs 细致平衡。在本实验的时间单位下，弛豫率等于一。

第一定律

ΔU=Qh+Qc−Wout\Delta U=Q_h+Q_c-W_{\rm out}

流入自旋的热和自旋对外做的功记为正。单次循环结束时，测得的状态不一定和开始时相同。

无跃迁时的 Otto 效率

ηOtto=1−ϵcϵh,1<ϵhϵc<ThTc\eta_{\rm Otto}=1-\frac{\epsilon_c}{\epsilon_h},\quad 1<\frac{\epsilon_h}{\epsilon_c}<\frac{T_h}{T_c}

驱动不引起跃迁时，能隙比满足这个不等式，热机才对外做功。快速驱动如果在不同时刻彼此不对易，输出可能变少。

熵产生

Σ=−QhTh−QcTc≥0\Sigma=-\frac{Q_h}{T_h}-\frac{Q_c}{T_c}\geq0

这条不等式只对稳态测量循环的平均热量成立。单次循环有涨落，不要求每一次都非负。

常见难点

一次循环能超过效率上限吗？

容易误解运气好的一次循环，就能超过热力学极限。

正确理解效率用稳态整体的平均热和功来定义。采样得到的热接近零时，比值会剧烈跳动，所以页面分别给出采样的功和热。

输出算上了全部成本吗？

容易误解输出的功已经扣掉了全部工程成本。

正确理解模型只包含工作物质，不计制备热浴、控制电路、测量和复位的成本。

动手实验

  1. 01

    跟随循环

    拖动四段循环，找出内能哪里靠功改变、哪里靠热改变。

    你会看到： 图的横轴是能隙，不是体积。
  2. 02

    记录能量变化

    采集 500 次独立循环，导出每次循环的五个能量读数，自己重新算出功和热。

    你会看到： 样本有限时，平均内能变化一般不会刚好为零，第一定律里要保留这一项。
  3. 03

    让热机失效

    加快驱动。然后固定驱动轴，或让能隙比超过温度比。

    你会看到： 轴固定的快速驱动彼此对易，不引起跃迁，也就不因跃迁损失输出。能隙比大到合适的程度，装置就变成冰箱。
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