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Sandbox Physics

Q050 · 压缩 / 吸热 / 膨胀 / 冷却

两能级量子 Otto 热机

拉开能隙、吸热、收拢能隙、冷却。逐段跟随循环，把功、热和内能变化记进同一份账本。

交互模型两能级量子 Otto 热机
模型参考—\text{—}
协议参考—\text{—}

02 / 跟随四段循环

先改变能隙，再改变占据。

激发态占据与能隙 · 模型 ϵ/ϵ0\epsilon/\epsilon_0

在曲线附近拖动，查看对应步骤。这不是压强体积图。驱动轴也旋转时，图中面积不能直接当作功。账本按每段边界的能量变化结算。

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圆点表示概率权重，不是多颗粒子。循环各段的能隙使用同一绘图尺度。

03 / 核对能量账本

每个循环记录 · 均值与一个标准误模型
输出功—\text{—}—\text{—}
从热浴吸热—\text{—}—\text{—}
从冷浴吸热—\text{—}—\text{—}
内能变化—\text{—}—\text{—}

全部能量使用参考能隙单位。流入自旋的热、流出自旋的功为正。每次独立从稳态边界混合态开始；五个测得的能量态位决定整份账本。

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04 / 测量涨落

单次循环，可能与平均方向相反。

记录的输出功分布 Wout/ϵ0W_{\rm out}/\epsilon_0

稳态模型 · 不是拟合

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仅热机模式报告效率，冰箱模式报告制冷系数。采样热量接近零时效率比值不稳定，因此采样热与功分别呈现。

05 / 保存证据

保存，只改一项，再比较。

最多八组保存样本。保存后固定记录，再采集会开启新样本。导出包括全部原始记录与制备参数。同一种子复现随机抽样，重复副本不能当作独立证据。

模型、单位与来源
ΔU=Qh+Qc−Wout,ϵc=ϵ0\Delta U=Q_h+Q_c-W_{\rm out},\qquad \epsilon_c=\epsilon_0

能量以低能隙为单位，温度以该能量除以 Boltzmann 常数为单位，时间以约化 Planck 常数除以该能量为单位。两浴的占据弛豫率均为一个参考时间的倒数。能隙与平面内场轴角度线性变化；中点幺正步保持状态长度，并独立验证数值收敛。

每段边界的投影能量读取移除段间相干，不改变平均能量。热浴为满足 Gibbs 细致平衡的理想 Markov 接触。每次独立从稳态测量混合态开始。省略热浴生成、电路、测量存储与制备成本；显示功率只计算各段时长。

两浴都关闭且驱动无跃迁时，稳态混合态不唯一；约定使用冷浴 Gibbs 混合态。该模型受自旋热机启发，不是对所引 NMR 实验的数值复现。

Peterson et al. · Experimental characterization of a spin quantum heat engine

物理教程

两能级量子 Otto 热机

背景拉开能隙、吸热、收拢能隙、冷却。逐段跟随循环，把功、热和内能变化记进同一份账本。

为什么值得理解把单次记录和模型预测放在一起核对。

先抓重点

核心问题
一颗自旋，能把热变成功吗？
一句话直觉
改变一个设置，保存对照，再从原始记录重算。

核心数学模型

受控 Hamiltonian

H(t)=ϵ(t)2[I+n(t)⋅σ]H(t)=\tfrac{\epsilon(t)}2[ I+\mathbf n(t)\cdot\boldsymbol\sigma]

能级为零与受控能隙；隔离驱动时，场轴在一个平面内旋转。

热接触

pe(t)=pβ+[pe(0)−pβ]e−γt,pβ=11+eϵ/(kBT)p_e(t)=p_\beta+[p_e(0)-p_\beta]e^{-\gamma t},\quad p_\beta=\frac1{1+e^{\epsilon/(k_BT)}}

满足 Gibbs 细致平衡的 Markov 弛豫通道；参考弛豫率在声明的时间单位下为一。

第一定律

ΔU=Qh+Qc−Wout\Delta U=Q_h+Q_c-W_{\rm out}

流入自旋的热、流出自旋的功取正；单次循环不必返回同一个测得状态。

无跃迁 Otto 极限

ηOtto=1−ϵcϵh,1<ϵhϵc<ThTc\eta_{\rm Otto}=1-\frac{\epsilon_c}{\epsilon_h},\quad 1<\frac{\epsilon_h}{\epsilon_c}<\frac{T_h}{T_c}

该不等式给出无跃迁驱动的热机区域；不对易的快速驱动可能减少输出。

熵账本

Σ=−QhTh−QcTc≥0\Sigma=-\frac{Q_h}{T_h}-\frac{Q_c}{T_c}\geq0

适用于稳态测量循环的平均热量；不能要求每条涨落的单次记录都非负。

常见难点

免费增加效率？

容易误解一次幸运循环超过热力学极限。

正确理解效率使用稳态整体的热与功；样本热量接近零时比值不稳定，界面分别报告采样功与热。

完整机器？

容易误解输出已包含全部工程成本。

正确理解制备热浴、控制电路、测量与复位成本不在工作介质模型内。

动手实验

  1. 01

    跟随循环

    拖动四段循环，分清内能何时由功改变、何时由热改变。

    应该观察到： 图的横轴是能隙，不是体积。
  2. 02

    记录能量变化

    采集 500 次独立循环，导出每次的五个能量读数，重算账本。

    应该观察到： 有限样本的平均内能变化不必为零，第一定律中要保留这一项。
  3. 03

    寻找失效

    加快驱动，再固定驱动轴；或让能隙比超过温度比。

    应该观察到： 快速对易驱动不产生跃迁惩罚；合适的大能隙比会使装置成为冰箱。