流体力学 · Hamiltonian 涡动力学

Point-Vortex Dynamics Studio

几个点涡之间，怎样互相带着运动？ 每个涡只是顺着其他所有涡造出的流动漂移。两个同号涡绕着共同的中心转圈；两个异号涡结伴向前走。两对异号涡可以轮流从对方中间穿过；涡有四个或更多时，就可能混乱地交换舞伴。

在二维相平面里拖动点涡，比较同号涡对、异号偶极、双偶极穿越与四涡相互作用。速度场、示踪粒子、最小间距和 Hamiltonian 漂移同步更新。

点涡数量 $2$

总环流

\sum_i\Gamma_i

$4.00\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$

最小间距

d_{\min}

$2.00\,\mathrm m$

Hamiltonian

H

$-0.44$

相对漂移

|\Delta H/H_0|

$0.00\,\%$

轨道族同号旋转涡对

点涡工作台

用带符号环流组合轨道

固定时间位置图按相等物理时间间隔采样涡 A；这是频闪图，不是穿越截面的 Poincaré 图。速度矢量采样软核 Biot–Savart 瞬时速度场。被动示踪粒子推进无质量示踪粒子，但不让它们反作用于点涡。守恒量历史绘制最小间距与数值 Hamiltonian 漂移。周期边界使用最小镜像周期方盒，而不是无界平面视图。采样间隔

\Delta t_s

0.50\,\mathrm{s}

环流强度

|\Gamma|

2.00\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}

涡核正则尺度

\varepsilon

0.08\,\mathrm m

背景应变率

S

0.00\,\mathrm{s^{-1}}

演化速度

s_t

1.00\times

“周期点涡行列”用解析求和的无限镜像核：水平方向周期重复，竖直方向无界，不是双周期方盒。其他周期工况仍用最小镜像模型，这是近似，界面上也标明了。Hamiltonian 包含背景应变的势能。施加应变或周期边界后，通常的冲量不一定还守恒。

在相平面里拖动任意一个点涡，就得到新的初态；松手后，守恒量从这个新状态重新算起。

这是二维、不可压缩、无黏点涡模型。每个涡只跟随其他涡诱导的 $\dot{\mathbf x}_i$ ，软核尺度 $\varepsilon$ 避免数值奇点，但会改变近距离动力学。

物理教程

二维点涡：用最少自由度生成复杂流动

背景在二维无黏流里，一小块集中的涡量从远处看就像一个点涡，只用位置和环流来描述。点涡不会推动自己；其余所有点涡按 Biot–Savart 定律诱导出速度，带着它走。

为什么值得理解这套模型是研究涡对平移、同号旋转、双偶极穿越和少体混沌的经典试验台。Aref 等人在 2007 年的综述中把它称作连接流体、Hamiltonian 系统与动力系统的经典数学游乐场。

先抓重点

核心问题: 只知道位置和带符号的环流，点涡怎么就能形成稳定轨道和复杂的位置交换？
一句话直觉: 涡 $i$ 的速度是其他所有涡的诱导速度之和；同号涡绕共同中心旋转，异号涡对沿垂直于连线的方向平移。

核心数学模型

软核点涡运动方程

\dot x_i=-\frac{1}{2\pi}\sum_{j\ne i}\Gamma_j\frac{y_i-y_j}{r_{ij}^2+\varepsilon^2},\qquad \dot y_i=\frac{1}{2\pi}\sum_{j\ne i}\Gamma_j\frac{x_i-x_j}{r_{ij}^2+\varepsilon^2}

分母里的软核尺度去掉了距离为零时的奇点；离开涡核以后，速度又回到经典点涡的结果。

正则化 Hamiltonian

H=-\frac{1}{4\pi}\sum_{i<j}\Gamma_i\Gamma_j\ln\!\left(r_{ij}^2+\varepsilon^2\right)

没有背景应变、也不在周期边界的跳变附近时，它是守恒量，可以灵敏地检查积分误差。

两个等强点涡的解析速度

\omega_{++}=\frac{\Gamma}{\pi(d^2+\varepsilon^2)},\qquad U_{+-}=\frac{|\Gamma|d}{2\pi(d^2+\varepsilon^2)}

同号的一对涡按这个角速度旋转；异号的一对涡组成偶极，按这个速度平移。

常见难点

点涡不会自己推着自己走

容易误解一个点涡的自旋会给它自身一个前进速度。

正确理解在对称的正则化下，点涡对自己诱导的速度为零；它的轨道完全来自其他涡和背景流。

软核不是黏性扩散

容易误解增大软核尺度等价于让真实流体黏度变大。

正确理解软核只是把近处的速度奇点抹平，不会让涡核随时间扩散，也不耗散环流。

动手实验

01
检查同号涡对
选择“同号涡对”，保持背景应变为零，并观察涡间距与 Hamiltonian 漂移。
你会看到： 两个涡绕中点旋转，间距几乎不变，数值漂移一直很小。
02
翻转一个环流符号
切换到“异号偶极”，比较轨迹与示踪粒子。
你会看到： 两个涡保持间距并一起横向平移，周围流体被偶极结构带走。
03
破坏可积对称性
选择“双偶极穿越”或“受扰四极子”，再拖动一个涡核。
你会看到： 谁和谁交换位置，变得对初始布局很敏感；守恒量仍能帮你分清，这是真实的敏感性还是数值误差。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。