流体力学 · Hamiltonian 涡动力学

Point-Vortex Dynamics Studio

在二维相平面里拖动点涡，比较同号涡对、异号偶极、双偶极穿越与四涡相互作用。速度场、示踪粒子、最小间距和 Hamiltonian 漂移同步更新。

点涡数量 $2$

总环流

\sum_i\Gamma_i

$4.00\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$

最小间距

d_{\min}

$2.00\,\mathrm m$

Hamiltonian

H

$-0.44$

相对漂移

|\Delta H/H_0|

$0.00\,\%$

轨道族同号旋转涡对

这是二维、不可压缩、无黏点涡模型。每个涡只跟随其他涡诱导的 $\dot{\mathbf x}_i$ ，软核尺度 $\varepsilon$ 避免数值奇点，但会改变近距离动力学。

物理教程

二维点涡：用最少自由度生成复杂流动

背景二维无黏流中，紧致涡量斑块在远处可以近似成只携带位置与环流的点涡。每个点涡不产生自速度，而是被其余点涡的 Biot–Savart 速度共同输运。

为什么值得理解这套模型是研究涡对平移、同号旋转、双偶极穿越和少体混沌的经典试验台。Aref 等人在 2007 年的综述中把它称作连接流体、Hamiltonian 系统与动力系统的经典数学游乐场。

先抓重点

\dot x_i=-\frac{1}{2\pi}\sum_{j\ne i}\Gamma_j\frac{y_i-y_j}{r_{ij}^2+\varepsilon^2},\qquad \dot y_i=\frac{1}{2\pi}\sum_{j\ne i}\Gamma_j\frac{x_i-x_j}{r_{ij}^2+\varepsilon^2}

分母中的软核尺度消除零距离奇点；远离涡核时恢复经典点涡速度。

H=-\frac{1}{4\pi}\sum_{i<j}\Gamma_i\Gamma_j\ln\!\left(r_{ij}^2+\varepsilon^2\right)

无背景应变且远离周期边界跳变时，它为积分误差提供灵敏的守恒量检查。

\omega_{++}=\frac{\Gamma}{\pi(d^2+\varepsilon^2)},\qquad U_{+-}=\frac{|\Gamma|d}{2\pi(d^2+\varepsilon^2)}

同号涡对以角速度旋转；异号涡对以平移速度组成偶极。

容易误解一个点涡的自旋会给它自身一个前进速度。

正确理解点涡的自诱导速度在对称正则化下为零；轨道完全来自其他涡与背景流。

容易误解增大软核尺度等价于让真实流体黏度变大。

正确理解软核只平滑近场速度奇点，不会自动产生随时间扩散的涡核，也不耗散环流。

01
验证同号涡对
选择“同号涡对”，保持背景应变为零，并观察涡间距与 Hamiltonian 漂移。
应该观察到： 两涡绕中点旋转，涡间距近似恒定，数值漂移维持在很小范围。
02
翻转一个环流符号
切换到“异号偶极”，比较轨迹与示踪粒子。
应该观察到： 两个涡保持间距并一起横向平移，周围流体被偶极结构带走。
03
破坏可积对称性
选择“双偶极穿越”或“受扰四极子”，再拖动一个涡核。
应该观察到： 位置交换对初始几何变得敏感；守恒量仍可用于区分真实敏感性与数值误差。