M090 · Hamilton 混沌 / 精确映射

脉冲转子与 KAM 转变

保持相空间面积不变，能让脉冲转子不出现混沌吗？ 不能。脉冲转子严格保持相空间面积，照样会出现混沌。踢得超过临界强度，原先把运动圈住的不变曲线就碎了，相邻轨迹迅速分开，转子在动量上可以游走得很远，中间只剩一些规则运动的小岛。

踢一个自由转子，看不变曲线、共振岛、混沌输运和规则加速岛。拖动相空间里的初始点，对比取模后的环面图和未取模的动量，再看邻近轨道怎样分开、切向怎样增长，以及局部面积是否保持。

回放踢动编号 $\text{Pending}$

实际踢动强度 $\text{Pending}$

下一次踢动前角度 $\text{Pending}$

未取模动量 $\text{Pending}$

显示取模动量 $\text{Pending}$

下一次冲量 $\text{Pending}$

自由转动动能 $\text{Pending}$

圆柱邻近距离 $\text{Pending}$

每次踢动的有限时间增长率 $\text{Pending}$

有效切向迭代数 $\text{Pending}$

初态局部面积行列式 $\text{Pending}$

解析与差分导数差异 $\text{Pending}$

单次映射反演误差 $\text{Pending}$

完整图谱末端动量漂移均方根 $\text{Pending}$

完整图谱每条轨道踢动数 $\text{Pending}$

零动量半周固定点迹 $\text{Pending}$

观察运动，比较不同情形

保持相空间面积不变，能让脉冲转子不出现混沌吗？

踢动强度

K

1.20\,

初始角度比例

\theta_0/(2\pi)

0.14\,

初始缩放动量

p_0/(2\pi)

0.31\,

初始角度扰动指数

\log_{10}\epsilon

-6.00\,

请求踢动数

N

1500.00\,

种子图谱轨道数

N_{\rm atlas}

12.00\,

回放碰撞或踢动

n/N

0.00\,\%

拖动环面截面上的橙色环，可以设定初始角度和缩放动量；对应的滑块也能用键盘调。杆的动画只是示意：先被踢一下，然后自由转动；每次采样都在踢动之前。灰色图谱轨道最多算 1500 次踢动，末端漂移均方根只是有限个轨道的统计量，不是扩散系数。踢动会做功，所以能量可以变化。增长率用圆柱上的度量，切向量取解析形式，每踢一次重新归一化。环面会把动量绕回来，所以在环面上挨得很近的两点，动量可能相差很大。

转子按经典力学处理：踢动是理想的瞬时冲击，转动惯量和踢动间隔都取单位值。精确标准映射采用正号的正弦冲量。只有显示时才对动量取模，动力学状态始终保留圆柱上的完整动量。有限的截面无法证明每一条不变曲线是存活还是破坏。近临界情形只是一个参考邻域，不是算出来的转变阈值。模型不含阻尼、有限脉冲宽度和量子局域化。

先抓重点

核心问题: 保持相空间面积不变，能让脉冲转子不出现混沌吗？
一句话直觉: 面积守恒、某一点附近稳不稳定、有限次运行的统计结果，回答的是三个不同的问题。

核心数学模型

先冲量，再漂移

p_{n+1}=p_n+K\sin\theta_n,\qquad \theta_{n+1}=\theta_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}

正弦前的正号来自余弦形式的踢动势，转动惯量和踢动间隔都取单位值。程序内部把角度和动量除以二倍圆周率后存储。每个采样点都取在下一次踢动之前。

面积保持是精确的

DT=\begin{pmatrix}1+K\cos\theta&1\\K\cos\theta&1\end{pmatrix},\qquad \det DT=1

踢动和漂移都是正则剪切。解析切向矩阵另用中心差分独立检验，浮点运算留下的微小差异不会带来物理耗散。面积严格保持，同时照样可以有规则岛，也可以有对初值敏感的轨道。

动量留在圆柱上，不取模

\widetilde p_n=(p_n+\pi)\bmod 2\pi-\pi,\qquad \Delta p_n=p_n-p_0

只有环面截面为了显示才把动量取模。动力学、动能、邻近轨道的距离和输运都用未取模的动量。规则加速岛可以穿过许多个动量单元，局部却一直稳定。

两个固定点，两种稳定性

\operatorname{tr}DT(0,0)=2+K,\qquad \operatorname{tr}DT(\pi,0)=2-K

行列式等于一的矩阵，迹严格介于负二和二之间时是椭圆型。半周固定点在踢动强度为正且小于四时是椭圆型；两个端点是边际情形，要靠非线性分析判断。零角固定点在任何正强度下都是双曲型。一个点稳不稳定，代表不了整个映射。

有限分离会饱和，切向增长还能继续

\lambda_N=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}\log\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|,\qquad d_N=\|z_N-z_N^{\rm near}\|_{\rm cylinder}

切向量一开始沿角度方向，每次踢动后重新归一。邻近轨道从不归一。增长图用十进制对数，同时画出有限分离的增益和累计切向增益。解读有限时间指数之前，先延长记录，再换几个初始扰动试试。

做功和输运是两回事

E_n=\frac{p_n^2}{2},\qquad \sigma_p(N)=\sqrt{\frac1M\sum_{j=1}^{M}(p_N^{(j)}-p_0^{(j)})^2}

每次瞬时踢动都和转子交换能量。图谱轨道的动量漂移均方根有自己单独标出的末端踢动数，种子也是确定的。它从每条轨道自己的初始动量算起，不是减去集合均值的方差，也不是测得的扩散系数。有限个样本算不出普适的 KAM 曲线破坏阈值。

常见难点

保持面积不等于运动规则

容易误解保持面积的映射不可能出现混沌。

正确理解映射可以把一小块相空间沿一个方向猛拉、沿另一个方向压扁。面积没变，相邻的点却分开了。

动量取模只是显示方式

容易误解轨道在取模图里没跑出去，它的物理动量就是有界的。

正确理解取模只为了显示。规则加速岛在环面上始终挤在一小块，未取模的动量却一直在涨。

短时间的指数说明不了混沌

容易误解只要有限时间指数为正，就证明这条轨道最终是混沌的。

正确理解暂时的剪切或孤立的不稳定点，也能让邻近轨道分开一阵子。应延长记录，再对比截面的结构。

踢动提供能量

容易误解能量变了，说明积分出错了。

正确理解踢动对转子做功，精确映射下能量本来就会变。要检查数值，应该看导数和逆映射。

动手实验

01
寻找规则结构
比较“自由可积转子”“弱踢动不变曲线”和“稳定共振岛”三个预设。
你会看到： 截面上排列着不变曲线和岛，它们撑起了整体结构。
02
改变记录长度
比较“近临界邻域”和“强踢动敏感性”，再点“记录长度翻倍”。
你会看到： 有限记录显示的结果会随长度改变。存活下来的岛，可以和对初值敏感的轨道之海并存。
03
揭示隐藏输运
选择“规则加速岛”。
你会看到： 环面上的轨道始终挤在一小块，未取模动量却近乎线性地增长。
04
试探不稳定固定点
选择“不稳定固定点”，再拖动橙色初态环。
你会看到： 正好落在固定点上的轨道纹丝不动，切向指数却是正的，邻近轨道纷纷离开。