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Sandbox Physics

M090 · Hamilton 混沌 / 精确映射

脉冲转子与 KAM 转变

踢动自由转子，探索不变曲线、共振岛、混沌输运和规则加速岛。拖动相空间初态，比较环面图谱与未取模动量、邻近轨道、切向增长和局部面积核验。

交互模型脉冲转子与 KAM 转变
回放踢动编号Pending\text{Pending}
实际踢动强度Pending\text{Pending}
下一次踢动前角度Pending\text{Pending}
未取模动量Pending\text{Pending}
显示取模动量Pending\text{Pending}
下一次冲量Pending\text{Pending}
自由转动动能Pending\text{Pending}
圆柱邻近距离Pending\text{Pending}
每次踢动的有限时间增长率Pending\text{Pending}
有效切向迭代数Pending\text{Pending}
初态局部面积行列式Pending\text{Pending}
解析与差分导数差异Pending\text{Pending}
单次映射反演误差Pending\text{Pending}
完整图谱末端动量漂移均方根Pending\text{Pending}
完整图谱每条轨道踢动数Pending\text{Pending}
零动量半周固定点迹Pending\text{Pending}

物理教程

规则岛存活于面积保持映射

背景脉冲转子用瞬时冲量与精确自由漂移替代连续驱动。

为什么值得理解KAM 结构、混沌输运与加速岛可在同一保守系统中共存。

先抓重点

核心问题
保持面积能阻止混沌吗？
一句话直觉
守恒、局部稳定性与有限统计图像回答不同问题。

核心数学模型

冲量后漂移

pn+1=pn+Ksin⁡θn,θn+1=θn+pn+1(mod2π)p_{n+1}=p_n+K\sin\theta_n,\qquad \theta_{n+1}=\theta_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}

正正弦约定来自余弦踢动势，采用单位惯量与单位踢动间隔。相空间引擎保存除以二倍圆周率的角度和动量，每次在下一踢前采样。

面积保持是精确的

DT=(1+Kcos⁡θ1Kcos⁡θ1),det⁡DT=1DT=\begin{pmatrix}1+K\cos\theta&1\\K\cos\theta&1\end{pmatrix},\qquad \det DT=1

踢动与漂移是正则剪切。解析切向矩阵与中心差分独立核对；有限浮点差异不增加物理耗散。精确面积保持与规则岛及敏感轨道可以共存。

保留圆柱动量

p~n=(pn+π) mod 2π−π,Δpn=pn−p0\widetilde p_n=(p_n+\pi)\bmod 2\pi-\pi,\qquad \Delta p_n=p_n-p_0

环面截面仅为显示对动量取模。动力学、动能、邻近分离和输运保留未取模动量。规则加速岛可经过许多动量单元，同时保持局部稳定。

两个固定点，两种稳定性

tr⁡DT(0,0)=2+K,tr⁡DT(π,0)=2−K\operatorname{tr}DT(0,0)=2+K,\qquad \operatorname{tr}DT(\pi,0)=2-K

单位行列式矩阵在迹严格介于负二与二时为椭圆型。半周固定点在正强度小于四时为椭圆型，端点为边际状态，需非线性分析。零角固定点在任何正强度下为双曲型。一个点的稳定性不能分类整个映射。

有限分离饱和，切向增长仍可持续

λN=1N∑j=0N−1log⁡∥DT(zj)δz^j∥,dN=∥zN−zNnear∥cylinder\lambda_N=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}\log\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|,\qquad d_N=\|z_N-z_N^{\rm near}\|_{\rm cylinder}

切向量初始沿角度方向，每次踢动重归一。邻近轨道从不重归一。增长图比较有限分离增益与累计切向增益的十进制对数。解释有限时间指数前，应延长记录并改变初始扰动。

做功与输运是不同观察

En=pn22,σp(N)=1M∑j=1M(pN(j)−p0(j))2E_n=\frac{p_n^2}{2},\qquad \sigma_p(N)=\sqrt{\frac1M\sum_{j=1}^{M}(p_N^{(j)}-p_0^{(j)})^2}

瞬时踢动与转子交换能量。图谱动量漂移均方根使用独立注明的末端踢动数和确定性种子；它不是减去集合均值的方差，也不是测得的扩散系数。有限样本不计算普遍 KAM 破坏阈值。

常见难点

面积不意味着规则

容易误解保持面积的映射不能混沌。

正确理解敏感拉伸与收缩可以共同保持面积。

动量取模属于视图

容易误解取模轨道的物理动量有界。

正确理解查看未取模输运图和加速岛预设。

短期指数不是定理

容易误解任何有限时间正指数都证明渐近混沌轨道。

正确理解瞬态剪切或孤立不稳定点可以增长，应延长记录并比较结构。

踢动提供能量

容易误解能量改变意味着积分误差。

正确理解精确映射与驱动交换功，应核验导数与逆映射。

动手实验

  1. 01

    寻找规则结构

    比较自由、弱踢动与稳定岛预设。

    应该观察到： 不变曲线与岛组织截面结构。
  2. 02

    改变记录长度

    比较近临界与强踢动情况，再将记录翻倍。

    应该观察到： 有限证据随时间改变，存活岛可以与敏感海共存。
  3. 03

    揭示隐藏输运

    选择规则加速岛。

    应该观察到： 环面保持紧凑，未取模动量近似线性增长。
  4. 04

    挑战固定点

    回看不稳定固定点并拖动初态环。

    应该观察到： 精确静止轨道可以具有正切向指数，邻近轨道离开。