流体力学 · 界面稳定性工作台

Kelvin–Helmholtz 剪切层失稳

二维工作台把两层反向流、界面、涡量和速度矢量与傅里叶谱、增长率审计放在一起。五个工况分开比较密度、重力、表面张力、黏性和种子谱的作用。

剪切时间

t\,\Delta U/L

$0.000$

模态增益

|\eta_k|/|\eta_k(0)|

$1.000$

线性预测

\gamma_{\mathrm{th}}

$0\,\mathrm{s}^{-1}$

测得拟合

\gamma_{\mathrm{fit}}

$0\,\mathrm{s}^{-1}$

最快已解析模态

n_*

$1$

当前模型阶段 $\mathrm{linear}$

稳定性实验

审问这条剪切层

速度矢量抽样显示推动涡片标记点的同一速度场。线性理论包络进入非线性模型后，虚线理论边界会消失。速度跃变

\Delta U

0.56\,\mathrm{m\,s^{-1}}

密度比

\rho_u/\rho_\ell

0.92

黏性阻尼代理

\nu

6.0\times10^{-4}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}

剪切层厚度

\delta

0.034\,\mathrm{m}

重力

g

0.18\,\mathrm{m\,s^{-2}}

表面张力

\sigma

8.0\times10^{-4}\,\mathrm{N\,m^{-1}}

种子波长

\lambda_0

0.50\,\mathrm{m}

种子振幅

\eta_0

0.009\,\mathrm{m}

C 面板对早期振幅的对数作时间拟合；理论直线在明确标出的模型切换处停止。

参考：Miles，JFM 3（1957），DOI 10.1017/S0022112057000567；Krasny，JCP 65（1986），DOI 10.1016/0021-9991(86)90210-X。

早期增长由 $\eta_k(t)=\eta_k(0)e^{\gamma_k t}$ 与重力—毛细 Kelvin–Helmholtz 色散关系给出；当 $|\eta_k|/\lambda_k\ge 0.075$ 时画面明确切换到正则化 Birkhoff–Rott 涡片。该后期模型不解析混合、黏性扩散或界面破碎。

物理教程

Kelvin–Helmholtz 失稳：从微扰增长到涡片卷起

背景两层不可压缩流体沿水平界面反向流动。界面若出现波数为 $k$ 的微小起伏，速度跃变会放大它，而稳定密度分层、重力与表面张力会抵抗变形。本工作台先预测每个 Fourier 模态，再在小振幅假设失效时明确切换模型。

为什么值得理解云层、海洋内部波、喷流边缘和天体等离子体都可能出现剪切卷云，但视觉相似不等于模型相同；增长率与适用边界才是可检验内容。

先抓重点

核心问题: 速度差提供的放大，什么时候能压过重力、表面张力和黏性阻尼？
一句话直觉: 在线性阶段，每个波数独立竞争。正增长率 $\gamma_k>0$ 只说明微扰指数增长；界面卷起后会出现模态耦合和几何非线性，线性直线必须停止。

核心数学模型

两层重力—毛细色散关系

\omega=k\frac{\rho_u U_u+\rho_\ell U_\ell}{\rho_u+\rho_\ell}\pm\sqrt{\frac{(\rho_\ell-\rho_u)gk+\sigma k^3}{\rho_u+\rho_\ell}-\frac{\rho_u\rho_\ell}{(\rho_u+\rho_\ell)^2}(\Delta U)^2k^2}

根号内第一项是稳定分层与毛细恢复，第二项是剪切驱动。根号内变成负值时，频率获得虚部，扰动开始指数增长。

有限厚度与黏性教学修正

\gamma_k=\max\!\left[0,\sqrt{\frac{\rho_u\rho_\ell}{(\rho_u+\rho_\ell)^2}(\Delta U)^2k^2\operatorname{sech}(k\delta)-\frac{(\rho_\ell-\rho_u)gk+\sigma k^3}{\rho_u+\rho_\ell}}-2\nu k^2\right]

厚度衰减和黏性项是透明的低阶教学代理，不是黏性 Orr–Sommerfeld 本征值解；它们用于暴露短波与耗散敏感性。

线性振幅审计

\eta_k(t)=\eta_k(0)e^{\gamma_k t},\qquad \gamma_{\mathrm{fit}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln|\eta_k|

增长面板拟合对数振幅斜率并与预测比较；进入非线性阶段后，理论直线在模型切换标记处终止。

正则化涡片阶段

\frac{\partial \overline{z}}{\partial t}=\frac{1}{2\pi i}\operatorname{PV}\!\int\frac{\gamma(\alpha')}{z(\alpha)-z(\alpha')}\,\mathrm{d}\alpha'

Birkhoff–Rott 速度把涡片自身诱导的流动反馈给界面。实现使用周期 vortex-blob 核与有限核心半径，避免把奇异点伪装成真实小尺度。

常见难点

增长率不是整段动画的万能公式

容易误解早期振幅按指数增长，就表示后面涡旋大小、混合和破碎也能由同一个增长率预测。

正确理解线性理论要求振幅远小于波长。本工作台在振幅—波长比达到 0.075 时停止线性预测，并把后期改标为正则化涡片。

有限厚度不是锐利界面

容易误解调大剪切层厚度只会让画面变模糊。

正确理解有限厚度会削弱高波数看到的有效速度跃变。本 Lab 用 $\operatorname{sech}(k\delta)$ 展示趋势；严格定量值需要求解具体速度剖面的本征问题。

动手实验

01
测量单模指数增长
选择“单模种子”，暂停后多次推进 30 步，对比增长率审计中的实线与虚线。
应该观察到： 小振幅阶段的对数振幅近似沿直线增长，拟合值应接近理论预测；切换后两条线不再被强行重合。
02
寻找稳定阈值
选择“稳定分层”，逐步提高速度跃变或降低重力，观察最快模态与当前阶段。
应该观察到： 恢复项占优时扰动振荡并衰减；越过阈值后最快增长模态出现，标签变为线性增长。
03
让谱自行选择尺度
选择“噪声种子谱”，分别增大界面厚度与黏性阻尼，比较傅里叶谱。
应该观察到： 短波能获得更强剪切驱动，却也更受厚度、毛细和黏性惩罚；胜出尺度来自竞争。