亲手推动一束数值喷流互动实验

\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{u}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{u}=-\nabla p+\nu\nabla^2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{f},\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0

平流搬运动量，黏性把速度差扩散开，喷口和流体刷提供外力，压力让流场保持不可压缩。

\phi^{n+1}(\boldsymbol{x})\approx\phi^n\!\left(\boldsymbol{x}-\Delta t\,\boldsymbol{u}^n(\boldsymbol{x})\right)

从每个网格点逆着速度往回追，在落点插值取旧场的值。这一步很稳健，但反复插值会抹平细节。

\nabla_h^2\varphi=\nabla_h\cdot\boldsymbol{u}^{*},\qquad \boldsymbol{u}'=\boldsymbol{u}^{*}-\nabla_h\varphi

程序存的是速度势，时间步和密度因子已经并在里面，所以它不是以帕斯卡计的压力。网格格子是矩形，Poisson 松弛在横向和纵向用不同的权重。迭代次数有限，投影后散度不一定严格为零。

D_{\mathrm{live}}=\sqrt{\frac{1}{N_f}\sum_{i\in\mathrm{fluid}}\left(\nabla_h\cdot\boldsymbol{u}\right)_i^2},\qquad R=\frac{D_{\mathrm{before}}}{D_{\mathrm{after}}}

当前值每次都从此刻的速度重新算。上次投影的前后两个值是一对历史快照，刷入动量或改动参数后会标为过期。速度场为零时，压缩比没有定义。

容易误解算法没爆掉，说明所有小旋涡都算对了。

正确理解半 Lagrangian 平流在较大时间步下也能保持稳定，但插值会带来数值耗散。涡量增强只是把视觉细节补回来，丢掉的真实尺度找不回来。

容易误解粒子分布有纵深，所以求解器已经解析了三维湍流。

正确理解所有粒子读的都是同一个二维速度截面。纵深只是让结构更容易看清，不会产生三维的涡拉伸。

01
建立圆柱尾迹
选择“圆柱尾迹”，等染料绕过障碍。
你会看到： 喷流在圆柱前减速并分成两股；圆柱后方是一片低速尾迹，里面的涡旋转方向左右交替。
02
检查压力投影
暂停求解，开启流体刷，拖出一个扰动。打开“散度诊断”，点击“只做压力投影”。改变迭代次数后再投影一次。
你会看到： “上次投影前”的读数等于点击前的当前散度，“上次投影后”的读数等于新的当前散度。时间和染料都不前进。迭代次数加多，残余通常更小，但这仍不能证明流场严格不可压缩。
03
亲手加入动量
开启流体刷，在尾迹里横向拖动；想旋转装置时再关掉刷子。
你会看到： 拖过的地方，染料和速度一起变化。新扰动随后被平流带走、扩散开，并再次经过压力投影。

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