M091 · 流体力学

流体静力学与液压机

液压机把力放大了，做的功也会变多吗？ 多不了。压强相同，大活塞受的力大，移动的距离却按同样比例变短。面积大十倍，推力大十倍，走的距离只有十分之一，功一点没多。

在圆柱水箱或扩张水箱里移动压力探针，从采集到的压力反推液体密度。再操作两只连通的活塞，看力、行程和液体重力势能之间怎样此消彼长。

探针表压 $\text{就绪}$

底部表压 $\text{就绪}$

探针距底高度 $\text{就绪}$

液体体积 $\text{就绪}$

液体重量 $\text{就绪}$

底面对液体向上力 $\text{就绪}$

侧壁对液体向上力 $\text{就绪}$

活塞面积比 $\text{就绪}$

输出向上力 $\text{就绪}$

输出行程 $\text{就绪}$

输入功 $\text{就绪}$

输出功 $\text{就绪}$

液体重力势能增量 $\text{就绪}$

做功平衡残差 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

原始数据推断密度 $\text{就绪}$

拟合坐标残差 $\text{就绪}$

近似状态 $\text{就绪}$

设定几何，再测量

液压机把力放大了，做的功也会变多吗？

装置：水箱 / 液压机

b

0.00\,

水箱底部半径

R_0

0.30\,m

侧壁扩张率

f

0.00\,

液面高度

z_0

1.20\,m

液面施加表压

p_s

0.00\,kPa

输入活塞半径

r_1

4.00\,cm

输出活塞半径

r_2

12.00\,cm

输入力

F_1

150.00\,N

规定输入行程

s_1

0.10\,m

探针高度比例

z_p/z_{\mathrm{available}}

0.50\,

参考液体密度

\rho

1000.00\,kg/m^3

重力加速度

g

9.81\,m/s^2

压力噪声上界

\epsilon_p

0.00\,kPa

液体密度均匀，重力恒定，表压相对周围大气计算。水箱是圆柱形，或半径随高度线性扩大。液面压力不为零时，由一块贴合液面、没有质量的盖板施加。液体在竖直方向上的平衡，由侧壁的力补齐。模型忽略盖板质量、毛细作用、晃动、密封摩擦和液体的可压缩性。

两个活塞没有质量，起始高度相同，由理想的充液管连通。输入活塞向下，输出活塞向上。压力随高度变化。输入功等于输出功加上液体重力势能的增加量。输出力为负时，需要一个向下的力来平衡，这种情况不当作提升实验采集。活塞按规定路径准静态移动，不计算加速度。

采集时在已知深度测表压。用截距不固定的最小二乘直线拟合，再结合已知的重力加速度，求出密度。参考密度不进入拟合，也不写进 CSV。移动探针会保留读数；改装置、几何、液体、力、行程或噪声，读数就会清空。同一测点重测会替换旧读数。噪声有上限且可以复现，重复测量并不独立。

液体均匀、不可压缩，每个状态都处于准静态平衡。容器尺寸是真实的米制长度，夹具只是示意。传感器读数是模拟的。设定的每个活塞行程都是一个平衡状态，不是动态的提升过程。

先抓重点

核心问题: 液压机把力放大了，做的功也会变多吗？
一句话直觉: 深度决定压力。活塞面积决定力的大小，行程则和面积成反比。

核心数学模型

静水压力随深度增加

p(z)=p_s+\rho g(z_s-z)

同一深度的压力都一样，跟容器形状无关。

两只活塞扫过的体积相等

A_1s_1=A_2s_2

输入活塞往下压走多少体积的液体，输出活塞就被抬起同样的体积。

活塞不等高时的输出力

F_2=A_2\!\left[\frac{F_1}{A_1}+\rho g(z_1-z_2)\right]

两个活塞面不等高时，力的放大要加上两面之间那段液柱的修正。

少掉的功变成了重力势能

W_1-W_2=\frac{\rho g A_1s_1^2}{2}\!\left(1+\frac{A_1}{A_2}\right)

两段液柱起初一样高。活塞面一高一低拉开后，液体的重力势能增加，差掉的功就去了这里。

从采集到的压力推断密度

p_i=\alpha d_i+\beta,\qquad\widehat\rho=\widehat\alpha/g

深度和重力已知，压力对深度拟合出的斜率就给出密度；截距对应液面压力。

常见难点

先采集，再推断

容易误解估计值只是照抄参考滑块的设定。

正确理解清空观测，估计值随即消失。再添加噪声或改变参考量，重新采集。

认清近似的范围

容易误解装置画面流畅，显示的每个工况就都可靠。

正确理解看一下适用域状态。外推工况仍会显示，但不能采集。

动手实验

01
改变容器
比较液位相同的圆柱水箱和扩张水箱。
你会看到： 底部压力不变；多出来的液体重量由侧壁的力托住。
02
移动并采集
拖动金色探针轨道，再采集深度剖面。
你会看到： 拟合压力梯度得到密度。
03
操作液压机
选择液压机预设并增加输入行程。
你会看到： 输出活塞移动得更少，输入功有一部分用来抬高液体。
04
检验高度修正
选择高度修正预设，查看功的账本残差。
你会看到： 两个活塞高度拉开后，按等高算出的力越来越偏离实际。