M091 · 流体力学

流体静力学与液压机

在圆柱或扩张水箱中移动压力探针。操作连通活塞，核对力、行程与重力势能的交换，从采集压力反求密度。

探针表压 $\text{就绪}$

底部表压 $\text{就绪}$

探针距底高度 $\text{就绪}$

液体体积 $\text{就绪}$

液体重量 $\text{就绪}$

底面对液体向上力 $\text{就绪}$

侧壁对液体向上力 $\text{就绪}$

活塞面积比 $\text{就绪}$

输出向上力 $\text{就绪}$

输出行程 $\text{就绪}$

输入功 $\text{就绪}$

输出功 $\text{就绪}$

液体重力势能增量 $\text{就绪}$

功的账本残差 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

原始数据推断密度 $\text{就绪}$

拟合坐标残差 $\text{就绪}$

近似状态 $\text{就绪}$

几何 / 探针 / 采集

力变大，就能多做功吗？

装置：水箱 / 液压机

b

0.00\,

水箱底部半径

R_0

0.30\,m

侧壁扩张率

f

0.00\,

液面高度

z_0

1.20\,m

液面施加表压

p_s

0.00\,kPa

输入活塞半径

r_1

4.00\,cm

输出活塞半径

r_2

12.00\,cm

输入力

F_1

150.00\,N

规定输入行程

s_1

0.10\,m

探针高度比例

z_p/z_{\mathrm{available}}

0.50\,

参考液体密度

\rho

1000.00\,kg/m^3

重力加速度

g

9.81\,m/s^2

压力噪声上界

\epsilon_p

0.00\,kPa

密度均匀、重力恒定，表压相对环境。水箱为圆柱或半径随高度线性扩张；非零液面压力由无质量贴合盖板施加。侧壁力补全液体竖直平衡。忽略盖板质量、毛细、晃动、密封摩擦和可压缩性。

液压机初始活塞等高，活塞无质量，由理想充液管连通。输入行程向下、输出向上。压力随高度变化；输入功等于输出功与液体重力势能增量之和。输出力为负时需要向下平衡力，不作为提升实验采集。这是规定的准静态运动，不计算加速度。

在已知深度采集表压，以自由截距最小二乘和已知重力反求密度。拟合与 CSV 排除参考密度。移动探针保留观测；装置、几何、液体、力、行程或噪声修改清空观测。重复测点替换旧读数。噪声可复现且有界，不是独立重复测量。

均匀不可压缩液体，准静态平衡。装置采用真实米制几何，夹具为示意。传感器观测为模拟数据。规定活塞行程对应平衡状态，不是动态提升。

先抓重点

核心问题: 力变大，就能多做功吗？
一句话直觉: 深度支配压力；面积支配力和相反的行程变化。

核心数学模型

静水压力剖面

p(z)=p_s+\rho g(z_s-z)

深度决定压力，容器形状不决定同深度压力。

活塞体积守恒

A_1s_1=A_2s_2

输入向下行程使输出面上升。

活塞不等高

F_2=A_2\!\left[\frac{F_1}{A_1}+\rho g(z_1-z_2)\right]

力的放大需要加入高度修正。

功的差额进入重力势能

W_1-W_2=\frac{\rho g A_1s_1^2}{2}\!\left(1+\frac{A_1}{A_2}\right)

两液柱初始等高；活塞面分离时液体重力势能增加。

采集压力推断密度

p_i=\alpha d_i+\beta,\qquad\widehat\rho=\widehat\alpha/g

已知深度和重力将拟合斜率转为密度，截距容纳液面压力。

常见难点

先采集，再推断

容易误解估计值只是重复参考滑块。

正确理解清空观测，估计随即消失。添加噪声或改变参考量，再次采集。

辨认近似边界

容易误解平滑装置意味着所有显示工况都可靠。

正确理解查看适用域状态；外推工况仍可见，但不能采集。

动手实验

01
改变容器
比较相同液位的圆柱与扩张水箱。
应该观察到： 底部压力保持不变；侧壁力解释新增重量。
02
移动并采集
拖动金色探针轨道，再采集深度剖面。
应该观察到： 拟合压力梯度得到密度。
03
操作液压机
选择液压机预设并增加输入行程。
应该观察到： 输出行程缩短，重力占用一部分功。
04
检验高度修正
选择高度修正预设，查看功的账本残差。
应该观察到： 活塞高度分离时，等高力参考逐渐偏离。