M094 · 流体力学

排水箱与 Torricelli 定律

从水箱液面下降的快慢，能看出出流比理想值少多少吗？ 能，靠流量系数。液面下降的快慢乘以水箱截面积，就是出流量。理想情况下，出流速度等于从液面自由落到孔口的速度，再乘孔口面积，就是 Torricelli 流量。实测流量除以它，就是流量系数。这一个数把两种损失合在一起：射流出孔后会收缩变细，流速也比理想值慢。

让圆柱水箱或扩张水箱排水，抬高出流口，拖动时间看完整个过程。液面怎样下降，流走多少体积，射流怎样变细、像抛体一样落下，这几件事互相对应。最后从原始液面读数算出排流系数。

模型经过时间 $\text{就绪}$

名义排水时间 $\text{就绪}$

液面高度 $\text{就绪}$

出流口上方水头 $\text{就绪}$

出流口驱动压力 $\text{就绪}$

射流水平速度 $\text{就绪}$

体积流率 $\text{就绪}$

已排出体积 $\text{就绪}$

名义残留体积 $\text{就绪}$

射流落点距离 $\text{就绪}$

参考排流系数 $\text{就绪}$

孔与液面面积比 $\text{就绪}$

低水头筛查边界 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

原始数据推断排流系数 $\text{就绪}$

拟合坐标残差 $\text{就绪}$

近似状态 $\text{就绪}$

设定几何，再测量

从液面高度能看出出口损失吗？

水箱底部半径

R_0

0.30\,m

侧壁扩张率

f

0.00\,

初始液面高度

z_0

1.20\,m

出流口距箱底高度

z_o

0.15\,m

出流孔直径

d

20.00\,mm

射流面积收缩系数

C_c

0.62\,

射流速度系数

C_v

0.98\,

时间占名义排水时间比例

t/T

0.00\,

参考液体密度

\rho

1000.00\,kg/m^3

重力加速度

g

9.81\,m/s^2

液面噪声上界

\epsilon_z

0.00\,mm

敞口水箱和水平出流口都处在周围的大气压下。液位从箱底量起，水头从出流口中心量起。收缩系数改变射流截面积，速度系数改变射流速度，两者的乘积决定流量。三维射流越往下落越快，也就越细，体积流率保持不变，直到落到收集平面。

无论水箱是圆柱形还是扩张形，都用同一个可分离变量的体积平衡方程求解。名义上，液面降到出流口中心高度就停止排水，下面的液体留在箱里。系数取常数，不考虑 Reynolds 数的影响，也不考虑黏性、管长、表面张力、涡流和射流破碎。水头低于孔径的五倍，或孔面积超过液面的百分之一时，不能采集。这些界限只是教学上的筛查，不是普遍适用的严格误差界。

采集记录原始的时间和液位读数。用一个与水箱形状有关的积分把读数变换后作直线拟合，斜率就是排流系数的估计，整个过程不读取参考系数。液位只能确定两个系数的乘积，分不出各自的值。拖动时间会保留数据；改几何、液体、重力、系数或噪声，数据就会清空。CSV 里是原始液位，不是另外合成的理想曲线。

模型把出流口当作准稳态小孔，收缩系数和速度系数取常数。不考虑管道摩擦、表面张力和射流破碎。水头很低或孔很大的工况属于外推，只显示，不能采集。

先抓重点

核心问题: 单看液面下降，能看出出流口的损失吗？
一句话直觉: 液面下降只能告诉你射流收缩和速度损失的乘积，分不出各占多少。

核心数学模型

流量由射流面积和速度决定

Q=C_c A_o C_v\sqrt{2gh},\qquad C_d=C_cC_v

排流系数相同的两个出口，射流面积和速度仍可以不同。

体积守恒

A(z)\frac{dz}{dt}=-Q,\quad A(z)=\pi R_0^2\!\left(1+\frac{fz}{H}\right)^2

两种水箱遵守同一条规律：流量等于液面截面积乘以液面下降的速度。

按实际水箱形状积分水头

J(h)=\int_0^h\frac{A(z_o+u)}{\sqrt{u}}\,du

水头为零时，这个积分仍是有限值。系数不变时，它随时间线性变化。

拟合采集到的液面

-J(z_i-z_o)=\alpha t_i+\beta,\quad\widehat C_d=\frac{\widehat\alpha}{A_o\sqrt{2g}}

拟合只给出两个系数的乘积。单凭液面，分不开收缩和速度损失。

像抛体一样落下的射流

x=v_j\tau,\quad y=y_o-\frac{g\tau^2}{2},\quad A_j(\tau)=\frac{Q}{\sqrt{v_j^2+(g\tau)^2}}

图中射流是当下时刻的准稳态流线。液体在空中飞行的时间远短于排水时间，可以忽略。

常见难点

先采集，再推断

容易误解估计值只是照抄参考滑块的设定。

正确理解清空观测，估计值随即消失。再添加噪声或改变参考量，重新采集。

认清近似的范围

容易误解装置画面流畅，显示的每个工况就都可靠。

正确理解看一下适用域状态。外推工况仍会显示，但不能采集。

动手实验

01
拖动时间看排水
把金色时间手柄从满箱拖向名义终点。
你会看到： 液面下降，流量变小，射流落点向水箱靠拢。
02
换一种水箱形状
比较初始液位相同的圆柱水箱和扩张水箱。
你会看到： 初始水头相同，但储水量和排水时间不同。
03
推断损失
采集排水过程，添加噪声，再导出原始液面数据。
你会看到： 换算成水头积分后，采集到的液面随时间排成一条直线，斜率给出排流系数。
04
看快排空时
提高出流口，把时间手柄拖到低水头。
你会看到： 出流口以下的液体留在箱里；快排空时不再采集。