M094 · 流体力学

排水箱与 Torricelli 定律

比较圆柱与扩张水箱，提高出流口并调整排水时间。连接液面读数、体积守恒和收缩的抛物射流，从原始观测识别排流系数。

模型经过时间 $\text{就绪}$

名义排水时间 $\text{就绪}$

液面高度 $\text{就绪}$

出流口上方水头 $\text{就绪}$

出流口驱动压力 $\text{就绪}$

射流水平速度 $\text{就绪}$

体积流率 $\text{就绪}$

已排出体积 $\text{就绪}$

名义残留体积 $\text{就绪}$

射流落点距离 $\text{就绪}$

参考排流系数 $\text{就绪}$

孔与液面面积比 $\text{就绪}$

低水头筛查边界 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

原始数据推断排流系数 $\text{就绪}$

拟合坐标残差 $\text{就绪}$

近似状态 $\text{就绪}$

几何 / 探针 / 采集

液面能揭示出流损失吗？

水箱底部半径

R_0

0.30\,m

侧壁扩张率

f

0.00\,

初始液面高度

z_0

1.20\,m

出流口距箱底高度

z_o

0.15\,m

出流孔直径

d

20.00\,mm

射流面积收缩系数

C_c

0.62\,

射流速度系数

C_v

0.98\,

时间占名义排水时间比例

t/T

0.00\,

参考液体密度

\rho

1000.00\,kg/m^3

重力加速度

g

9.81\,m/s^2

液面噪声上界

\epsilon_z

0.00\,mm

敞口水箱与水平出流口处于相同环境压力。液位从箱底计，水头从出流口中心计。收缩系数改变射流面积，速度系数改变射流速度，两者乘积决定输运。三维射流随下落速度增长而收窄，保持体积流率，并到达收集平面。

可分离的体积平衡解同时处理圆柱与扩张水箱；名义排水终止于出流口中心高度，保留其下液体。常数系数忽略 Reynolds 依赖、黏性、管长、表面张力、涡流和破碎。水头低于五倍孔径或孔面积超过液面百分之一时禁止采集。这些教学筛查不是严格通用误差界。

采集原始时间与液面读数。几何相关积分将这些读数变换后作仿射拟合，由斜率估计排流系数，不读取参考系数。液面只能识别两系数的乘积。调整时间保留数据；几何、液体、重力、系数或噪声修改清空数据。CSV 包含原始液面，不是独立合成的理想重建。

准稳态小孔模型，收缩与速度系数保持常数。不含管道摩擦、表面张力或射流破碎。低水头和大孔工况为外推，不用于采集。

先抓重点

核心问题: 液面能揭示出流损失吗？
一句话直觉: 推断输运前，先分开射流面积、速度及其乘积。

核心数学模型

面积与速度分开

Q=C_c A_o C_v\sqrt{2gh},\qquad C_d=C_cC_v

相同排流系数也可以对应不同射流面积与速度。

体积连续性

A(z)\frac{dz}{dt}=-Q,\quad A(z)=\pi R_0^2\!\left(1+\frac{fz}{H}\right)^2

圆柱与扩张水箱遵守同一个局部体积平衡。

按实际容器积分水头

J(h)=\int_0^h\frac{A(z_o+u)}{\sqrt{u}}\,du

该积分在零水头处有限；常数系数使其随时间仿射变化。

拟合采集液面

-J(z_i-z_o)=\alpha t_i+\beta,\quad\widehat C_d=\frac{\widehat\alpha}{A_o\sqrt{2g}}

只推断乘积；单凭液面不能分离收缩与速度损失。

准稳态抛物射流

x=v_j\tau,\quad y=y_o-\frac{g\tau^2}{2},\quad A_j(\tau)=\frac{Q}{\sqrt{v_j^2+(g\tau)^2}}

显示射流为瞬时准稳态流线，飞行时间相对排水时间忽略。

常见难点

先采集，再推断

容易误解估计值只是重复参考滑块。

正确理解清空观测，估计随即消失。添加噪声或改变参考量，再次采集。

辨认近似边界

容易误解平滑装置意味着所有显示工况都可靠。

正确理解查看适用域状态；外推工况仍可见，但不能采集。

动手实验

01
调整实验时间
从满箱向名义终点拖动金色时间手柄。
应该观察到： 液面下降、流量减小，射流落点向内移动。
02
改变储液几何
比较相同初始液位的圆柱与扩张水箱。
应该观察到： 初始水头相同，储液体积与排水时间不同。
03
推断损失
采集排水序列，添加噪声并导出原始液面。
应该观察到： 采集坐标的斜率估计排流系数。
04
观察边界
提高出流口，调整至低水头。
应该观察到： 出流口以下保留液体；接近排空时不再采集。