M058 · 旋转参考系 / 精确坐标

科里奥利转盘

旋转观察三维转盘上的滑块、径向导轨与弹道喷流。在下方对照同步的惯性系与旋转系坐标视图，核对力与能量，并直接拖动发射点和初速度端点设置初态。

回放时间 $\text{Pending}$

装置场景 $\text{Pending}$

实际平台转速 $\text{Pending}$

距原点距离 $\text{Pending}$

惯性系速度 $\text{Pending}$

相对速度 $\text{Pending}$

科里奥利加速度大小 $\text{Pending}$

离心加速度大小 $\text{Pending}$

相对合加速度大小 $\text{Pending}$

真实外力加速度大小 $\text{Pending}$

单位质量惯性系动能 $\text{Pending}$

单位质量相对动能 $\text{Pending}$

单位质量科里奥利功率 $\text{Pending}$

单位质量惯性系外力功率 $\text{Pending}$

坐标往返误差 $\text{Pending}$

速度往返误差 $\text{Pending}$

观察 / 比较 / 核验

谁看到小球转弯？

显示直线猜测对比忽略旋转坐标的猜测。场景：滑块 / 导向 / 液滴

j

0.00\,

母旋转角速度

\Omega

0.80\,\mathrm{rad/s}

投影纬度

\varphi

90.00\,\mathrm{{}^\circ}

发射半径

r_0

1.30\,\mathrm{m}

发射方位角

\alpha_0

0.00\,\mathrm{{}^\circ}

初始相对速度

v_0

0.90\,\mathrm{m/s}

初始相对方向

\beta_0

180.00\,\mathrm{{}^\circ}

记录时长

T

4.00\,\mathrm{s}

已回放时长比例

t/T

0.00\,\%

橙色环编辑发射点和相对初速度，滑块也支持键盘。在导向场景中，速度端点只编辑径向速率，独立方向控制禁用。灰色直线猜测故意忽略参考系旋转。当前速度箭头使用显示增益，加速度箭头共用标示比例尺。液滴场景的前沿液滴与轨迹保留首次释放，额外圆点是后续独立喷射。只有自由质点的蓝色惯性系速率保持恒定，导向装置会实际做功。

理想水平质点、恒定平台转速与重合原点。两米轮廓是无界理想平面上的参考圆，不产生撞墙。径向运动由导向装置规定，并计算其所需真实外力。喷流由彼此独立的弹道液滴组成，不计算流体相互作用。纬度将所选母转速投影到平台法向，只作类比，不是完整地球轨迹模型。不包含摩擦、竖直运动或变转速。

先抓重点

核心问题: 哪个观察者看到直线？要让行走者保持在平台的径向线上，需要什么真实力？
一句话直觉: 自由滑块释放后不需要水平力。受控径向运动需要真实力，因为固定于旋转平台的直线，在实验室里是加速运动。

核心数学模型

位置与速度变换

\mathbf r_I=R(\omega t)\mathbf r_R,\qquad\mathbf v_I=R(\omega t)(\mathbf v_R+\omega J\mathbf r_R)

四分之一转算子指向逆时针。新增的牵连速度，就是质点下方平台位置的运动速度。

精确自由飞行

\mathbf r_R(t)=R(-\omega t)[\mathbf r_0+(\mathbf v_0+\omega J\mathbf r_0)t]

从惯性系直线出发，再作坐标变换。无需数值积分，并保留完整离心贡献。

旋转系加速度账本

\ddot{\mathbf r}_R=\frac{\mathbf F_R}{m}-2\omega J\dot{\mathbf r}_R+\omega^2\mathbf r_R

科里奥利项取决于相对速度，离心项取决于位置。角速度恒定，因此没有欧拉惯性项。

受控径向运动

\mathbf r_R=(r_0+ut)\mathbf e_r,\qquad\frac{\mathbf F_R}{m}=2\omega u\mathbf e_\theta-\omega^2(r_0+ut)\mathbf e_r

导向装置必须提供切向加速度及向心分量。相对平台的径向加速度本身为零。

能量与观察者相关的功率

e_I=\frac12|\mathbf v_I|^2,\qquad\dot e_I=\frac{\mathbf F_I\cdot\mathbf v_I}{m},\qquad\mathbf a_C\cdot\mathbf v_R=0

科里奥利加速度在旋转系中不做功，但相对动能并不因此恒定；离心项和真实力仍能改变它。

纬度类比

\omega=\Omega\sin\varphi

纬度控制把母转速投影到平台法向，改变实际模拟转盘速率，不增加地球曲率、竖直耦合或大气动力学。

常见难点

曲线意味着真实侧向力

容易误解平台上的曲线意味着另一个物体在推自由滑块。

正确理解实验室轨迹是直线。参考系项给出坐标加速度，计算出的真实水平力仍为零。

两个初速度相同

容易误解相对速率相同，无论从什么半径发射，实验室速度都相同。

正确理解平台切向牵连速度随半径增加。保持相对初速度，移动发射环，比较惯性系速率。

沿半径行走就是自由运动

容易误解平台上的直线路径不需要力。

正确理解行走者在实验室里的轨迹弯曲。导向装置施加真实力，并能改变惯性系动能。

喷流轮廓是单个质点轨迹

容易误解把所有可见液滴连接，便是一个自由质点在惯性系里的曲线。

正确理解后续液滴从不同喷嘴朝向出发，惯性系速度也不同。每一颗液滴分别走惯性系直线。

动手实验

01
比较两台相机
选向内投射，回看完整记录，比较旋转系曲线、惯性系直线与灰色直线猜测。
应该观察到： 实际运动改变了坐标，灰色猜测漏掉了旋转。
02
改变参考转速
反转旋转，选择零转速，再选择半速纬度投影。
应该观察到： 侧向偏转随实际平台转速反向、消失或改变速率。
03
拖动初态
移动橙色发射环与速度端点，比较惯性系和相对速率。
应该观察到： 离心发射位置在惯性系直线出发前，便增加了牵连速度。
04
提供所需外力
选择径向导向，再选择液滴流，观察加速度账本与外力功率。
应该观察到： 导向运动需要真实力，独立液滴每次释放后不需要水平外力。