M058 · 旋转参考系 / 精确坐标

科里奥利转盘

转盘上自由滑行的滑块没受侧向力，为什么看起来会拐弯？ 因为平台在它底下转。从外面看，自由滑块走的是直线，没有任何水平力作用。弯曲只出现在跟着平台转的坐标里。反过来，人要沿平台上画的直线走，就得靠真实的力。

转盘上有自由滑动的滑块、沿径向导轨运动的物体和喷嘴射出的弹道液滴，三维视角可以随意旋转。下方的惯性系视图和旋转系视图同步播放，可以对照着看，也能查看受力和能量。直接拖动发射点和初速度箭头的端点，就能设定初态。

回放时间 $\text{Pending}$

装置场景 $\text{Pending}$

实际平台转速 $\text{Pending}$

距原点距离 $\text{Pending}$

惯性系速度 $\text{Pending}$

相对速度 $\text{Pending}$

科里奥利加速度大小 $\text{Pending}$

离心加速度大小 $\text{Pending}$

相对合加速度大小 $\text{Pending}$

真实外力加速度大小 $\text{Pending}$

单位质量惯性系动能 $\text{Pending}$

单位质量相对动能 $\text{Pending}$

单位质量科里奥利功率 $\text{Pending}$

单位质量惯性系外力功率 $\text{Pending}$

坐标往返误差 $\text{Pending}$

速度往返误差 $\text{Pending}$

观察运动，比较不同情形

谁看到小球转弯？

显示直线猜测对比忽略旋转坐标的猜测。场景：滑块 / 导向 / 液滴

j

0.00\,

母旋转角速度

\Omega

0.80\,\mathrm{rad/s}

投影纬度

\varphi

90.00\,\mathrm{{}^\circ}

发射半径

r_0

1.30\,\mathrm{m}

发射方位角

\alpha_0

0.00\,\mathrm{{}^\circ}

初始相对速度

v_0

0.90\,\mathrm{m/s}

初始相对方向

\beta_0

180.00\,\mathrm{{}^\circ}

记录时长

T

4.00\,\mathrm{s}

已回放时长比例

t/T

0.00\,\%

拖动橙色圆环，可以设定发射点和相对初速度；滑块也能用键盘操作。导向场景里，速度箭头的端点只改径向速率，单独的方向控制不可用。灰色直线猜测故意不考虑参考系的旋转。当前速度箭头按显示倍数放大，所有加速度箭头共用一个比例。液滴场景里，最前面的液滴和它的轨迹来自第一次释放，其余圆点是后来另外喷出的液滴。只有自由质点在惯性系中的蓝色速率保持不变；有导向装置时，它会真实地做功。

质点是理想的，只在水平面内运动；平台匀速转动，两个参考系原点重合。两米的边缘只是无限大理想平面上的一个参考圆，质点不会撞上它。径向运动由导向装置规定，模型算出维持它所需的真实外力。喷流由一颗颗独立的弹道液滴组成，不考虑流体之间的相互作用。纬度把所选母天体的转速投影到平台法向，只是类比，不是完整的地球轨迹模型。不考虑摩擦、竖直运动和转速变化。

物理教程

转弯可以属于观察者

背景跟着平台转的相机看到自由质点走曲线，实验室里的观察者看到的却是直线。换参考系时，位置和速度都要变换；只旋转速度分量，会漏掉质点下方平台本身的速度，也就是牵连速度。

为什么值得理解旋转木马、旋转实验室和地面上的一小块切平面，都用旋转坐标来描述。把真实外力和坐标带来的附加项分开，才不会把看到的侧向偏转误当成真有东西在推。

先抓重点

核心问题: 哪个观察者看到直线？要让行走者保持在平台的径向线上，需要什么真实力？
一句话直觉: 自由滑块释放后不需要水平力。沿径向受控运动却需要真实力，因为沿着随平台转动的直线走，从实验室看是加速运动。

核心数学模型

位置与速度变换

\mathbf r_I=R(\omega t)\mathbf r_R,\qquad\mathbf v_I=R(\omega t)(\mathbf v_R+\omega J\mathbf r_R)

四分之一转算子按逆时针方向旋转。新增的牵连速度，就是质点正下方那一点平台的速度。

自由飞行的精确解

\mathbf r_R(t)=R(-\omega t)[\mathbf r_0+(\mathbf v_0+\omega J\mathbf r_0)t]

先写出惯性系里的直线，再变换坐标。不需要数值积分，离心效应也完整保留。

旋转系中的加速度

\ddot{\mathbf r}_R=\frac{\mathbf F_R}{m}-2\omega J\dot{\mathbf r}_R+\omega^2\mathbf r_R

科里奥利项取决于相对速度，离心项取决于位置。角速度恒定，因此没有欧拉惯性项。

受控径向运动

\mathbf r_R=(r_0+ut)\mathbf e_r,\qquad\frac{\mathbf F_R}{m}=2\omega u\mathbf e_\theta-\omega^2(r_0+ut)\mathbf e_r

导向装置既要提供切向加速度，也要提供指向中心的向心分量。相对平台而言，径向加速度为零。

能量与观察者相关的功率

e_I=\frac12|\mathbf v_I|^2,\qquad\dot e_I=\frac{\mathbf F_I\cdot\mathbf v_I}{m},\qquad\mathbf a_C\cdot\mathbf v_R=0

科里奥利加速度在旋转系中不做功，但相对动能并不因此恒定；离心项和真实力仍能改变它。

纬度类比

\omega=\Omega\sin\varphi

纬度把所选母天体的转速投影到平台法向，模拟中转盘的实际转速随之改变；地球曲率、竖直耦合和大气动力学都没有加进来。

常见难点

走曲线不需要侧向力

容易误解滑块在平台上走曲线，一定有别的东西在侧面推它。

正确理解在实验室里，轨迹是直线。平台上的弯曲来自旋转坐标带来的附加项，算出的真实水平力始终为零。

同样的投法，实验室速度不同

容易误解相对速率相同，无论从什么半径发射，实验室速度都相同。

正确理解离中心越远，平台本身的切向速度越大，这个速度会叠加到投出的速度上。保持相对初速度不变，从更大的半径发射，比较惯性系里的速率。

沿半径走并不是自由运动

容易误解平台上的直线路径不需要力。

正确理解行走者在实验室里的轨迹弯曲。导向装置施加真实力，并能改变惯性系动能。

喷流的轮廓不是单个质点的轨迹

容易误解把看得见的液滴连起来，就是一个自由质点在惯性系里的轨迹。

正确理解后面的液滴出发时，喷嘴已经转到别的朝向，惯性系速度也不同。每颗液滴在惯性系里各走各的直线。

动手实验

01
比较两个视图
选“向内投射”，点“回看完整记录”，比较旋转系里的曲线、惯性系里的直线和灰色的直线猜测。
你会看到： 同一个真实运动，在两套坐标里样子不同；灰色猜测漏掉了旋转。
02
改变转速
依次选“反向旋转”“静止平台”和“半速投影”。
你会看到： 侧向偏转跟着平台的实际转速反向、消失或变快变慢。
03
拖动初态
移动橙色发射环与速度端点，比较惯性系和相对速率。
你会看到： 在偏离中心的位置释放，质点先带上平台的牵连速度，再沿惯性系里的直线运动。
04
看导向装置提供的力
先选“受控径向运动”，再选“连续弹道液滴流”，看各项加速度和外力功率。
你会看到： 受控径向运动需要真实力；每颗液滴离开喷嘴后，不再需要水平外力。