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Sandbox Physics

Q014 · 制备 / 耦合 / 读出

双势阱相干转移

抬高中间势垒或倾斜两侧，观察概率在双阱间转移。测试关闸时序、重建相对相干，并找出两态近似的适用边界。

交互模型双势阱相干转移
模型初始能隙—\text{—}
模型右侧概率—\text{—}
采样证据与模型检验

模拟独立制备

实测转移符合两态近似吗？

蓝点为右侧频率及百分之九十五 Wilson 区间；灰线为空间模型，橙色虚线为未重新归一化的两态投影。下方统计两个相干分析器的结果，包含子空间以外结果。

实测相干与相位

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模型范数 / 两态外占据

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初始空间能隙 / 投影能隙

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基底与边界检验

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正负三处的外壁为物理硬壁。局域基态取自无偏最低双态，仍有少量对侧尾部。相对相位属于基底相干，不是某个空间点的相位。突然关闸可激发高能模；两态投影丢弃这些振幅且不重新归一化。

来源：MIT 8.04 · 11 · Feynman III · 8

采样分组
最近 12 个事件；CSV 包含全部事件与参数。

物理教程

转移是相位敏感的拍频

背景束缚改变空间中允许的量子态。

为什么值得理解连接可以改变的势能和真正能用于估计的记录。

先抓重点

核心问题
两态图像什么时候失效？
一句话直觉
数值量子态、模型参考与测量结果承担不同角色。

核心数学模型

单位

X=x/ℓ,μ=m/m∗,E=Em∗ℓ2/ℏ2,τ=ℏt/(m∗ℓ2)X=x/\ell,\quad \mu=m/m_*,\quad \mathcal E=Em_*\ell^2/\hbar^2,\quad \tau=\hbar t/(m_*\ell^2)

选定参考质量与长度。控制、坐标与 CSV 使用这些单位；双势阱质量比固定为一。

空间近似

uj(X)=2/Lsin⁡ ⁣[jπ(X+L/2)L],Hjk=j2π22μL2δjk+∫ujVuk dXu_j(X)=\sqrt{2/L}\sin\!\left[\frac{j\pi(X+L/2)}{L}\right],\quad H_{jk}=\frac{j^2\pi^2}{2\mu L^2}\delta_{jk}+\int u_jVu_k\,dX

全部保留的正弦模参与演化，势能矩阵积分采用解析形式。显示的矩阵残差衡量本征求解器，不衡量基底截断或边界误差。

双势阱势能

V(X,τ)=B(τ)1∣X∣<b/2+ϵ2sgn⁡X,−3<X<3V(X,\tau)=B(\tau)\mathbf1_{|X|<b/2}+\frac{\epsilon}{2}\operatorname{sgn}X,\quad -3<X<3

外壁无限高。正偏置抬高右侧。关闸协议在指定时刻突然把势垒升至十二；修改控制会重新制备。

局域参考双态

∣L⟩=∣0⟩+∣1⟩2,∣R⟩=∣0⟩−∣1⟩2,∣ψ(0)⟩=1−r∣L⟩+eiϕr∣R⟩|L\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2},\quad |R\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2},\quad |\psi(0)\rangle=\sqrt{1-r}|L\rangle+e^{i\phi}\sqrt r|R\rangle

取无偏空间 Hamiltonian 的最低两态，选择符号使左态主要位于左侧。仍保留少量对侧尾部。窄波包挑战则把中心负 1.7、位置标准差 0.28 的 Gaussian 投影至正弦基底，再归一化该制备。

相干时间演化

∣ψ(τ)⟩=e−iHτ∣ψ(0)⟩,∣ψ(τ>τc)⟩=e−iHc(τ−τc)e−iHτc∣ψ(0)⟩|\psi(\tau)\rangle=e^{-iH\tau}|\psi(0)\rangle,\qquad |\psi(\tau>\tau_c)\rangle=e^{-iH_c(\tau-\tau_c)}e^{-iH\tau_c}|\psi(0)\rangle

保留的空间基底内按本征相位精确演化，不使用时间步进。淬火时态连续，但能量可以因势垒做功而改变。不包含环境或连续测量。

两态比较

H2=PHP,P=∣L⟩⟨L∣+∣R⟩⟨R∣,PR(τ)=12+[PR(0)−12]cos⁡[(E1−E0)τ]H_2=P H P,\quad P=|L\rangle\langle L|+|R\rangle\langle R|,\qquad P_R(\tau)=\tfrac12+[P_R(0)-\tfrac12]\cos[(\mathcal E_1-\mathcal E_0)\tau]

余弦关系对对称静态势阱中的左局域参考制备成立。投影模型使用同一物理左右观测量，不对丢弃的振幅重新归一化。偏置、窄初态与突变势垒会暴露其局限。

相位敏感测量

∣±θ⟩=∣L⟩±eiθ∣R⟩2,p+−p−=2Re⁡(e−iθaL∗aR)|\pm_\theta\rangle=\frac{|L\rangle\pm e^{i\theta}|R\rangle}{\sqrt2},\quad p_+-p_-=2\operatorname{Re}(e^{-i\theta}a_L^*a_R)

实部与虚部分析器对独立新制备分别采用零度和九十度。参考双态以外为第三种结果，保留在记录中。仅凭左右计数不能重建相干。

常见难点

概率云不是轨迹

容易误解一个动画点像经典粒子一样穿墙。

正确理解动画显示相干概率密度；每次记录均使用重新制备的态。

更多事件不会修正模型

容易误解采样噪声是唯一误差来源。

正确理解有限基底、人为边界和遗漏的探测物理需要分别检验。

动手实验

  1. 01

    转移

    播放默认制备，采样九个时刻。

    应该观察到： 可比较灰色参考线与观测频率。
  2. 02

    保持

    尝试高而宽的势垒，再调节关闸时刻。

    应该观察到： 升高势垒不一定能完美冻结淬火后的态。
  3. 03

    读取相位

    在同一时刻采样两个相干分析器。

    应该观察到： 相位估计要求存在可分辨的相干。
  4. 04

    检验近似

    选择窄波包，比较两条模型曲线。

    应该观察到： 高能模式可承载显著概率。