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Sandbox Physics

Q014 · 制备、耦合、读出

双势阱相干转移

不爬过势垒，粒子怎样跑到另一个阱里？ 靠隧穿。最低两个态的能量被隧穿劈裂开一点，概率就以对应的频率在两个阱之间来回振荡。势垒越高，振荡越慢；阱一倾斜，概率就转不完全。只用两个态来描述，前提是更高的能级没被占据。

抬高中间的势垒，或者让两边倾斜，看概率怎样在两个阱之间转移。试试在不同时刻关闸，重建两侧之间的相对相干，再找出两态近似在哪里失效。

交互模型双势阱相干转移
模型初始能隙—\text{—}
模型右侧概率—\text{—}
采样证据与模型检验

模拟独立制备

实测转移符合两态近似吗？

蓝点为右侧频率及百分之九十五 Wilson 区间；灰线为空间模型，橙色虚线为未重新归一化的两态投影。下方统计两个相干分析器的结果，包含子空间以外结果。

实测相干与相位

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模型范数 / 两态外占据

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初始空间能隙 / 投影能隙

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基底与边界检验

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位于正三和负三处的外壁是物理硬壁。作为参考的两个局域态取自无偏置时最低的一对能级，在对侧仍留有少量尾巴。它们的相对相位描述基底之间的相干，不是某一点的相位。突然关闸会激发更高的模；两态投影丢掉这部分振幅，也不重新归一化。

来源：MIT 8.04 · 11 · Feynman III · 8

采样分组
最近 12 个事件；CSV 包含全部事件与参数。

物理教程

转移是相位敏感的拍频

背景把粒子关进势阱，它能处的空间态就变了。

为什么值得理解一边是你能改的势能，一边是真正能用来估计的记录，这个实验把两者连起来。

先抓重点

核心问题
两态图像什么时候失效？
一句话直觉
数值算出的态、模型参考和测量结果，各有各的角色，不能混为一谈。

核心数学模型

无量纲单位

X=x/ℓ,μ=m/m∗,E=Em∗ℓ2/ℏ2,τ=ℏt/(m∗ℓ2)X=x/\ell,\quad \mu=m/m_*,\quad \mathcal E=Em_*\ell^2/\hbar^2,\quad \tau=\hbar t/(m_*\ell^2)

先选定参考质量和长度。控件、坐标轴和 CSV 都用这些单位；双势阱的质量比固定为一。

正弦基底近似

uj(X)=2/Lsin⁡ ⁣[jπ(X+L/2)L],Hjk=j2π22μL2δjk+∫ujVuk dXu_j(X)=\sqrt{2/L}\sin\!\left[\frac{j\pi(X+L/2)}{L}\right],\quad H_{jk}=\frac{j^2\pi^2}{2\mu L^2}\delta_{jk}+\int u_jVu_k\,dX

保留下来的正弦模全部参与演化，势能矩阵的积分用解析式计算。显示的矩阵残差只检验本征求解器，不反映基底截断或边界带来的误差。

双势阱势能

V(X,τ)=B(τ)1∣X∣<b/2+ϵ2sgn⁡X,−3<X<3V(X,\tau)=B(\tau)\mathbf1_{|X|<b/2}+\frac{\epsilon}{2}\operatorname{sgn}X,\quad -3<X<3

外壁无限高，正偏置抬高右侧。关闸协议在选定时刻把势垒突然升到十二。改动控件就会重新制备。

左右两个参考态

∣L⟩=∣0⟩+∣1⟩2,∣R⟩=∣0⟩−∣1⟩2,∣ψ(0)⟩=1−r∣L⟩+eiϕr∣R⟩|L\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2},\quad |R\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2},\quad |\psi(0)\rangle=\sqrt{1-r}|L\rangle+e^{i\phi}\sqrt r|R\rangle

取无偏置时空间 Hamiltonian 最低的两个本征态，选好符号，让左态主要落在左侧；对侧仍留有一点尾巴。窄波包挑战则改用中心在负 1.7、位置标准差 0.28 的 Gaussian，投影到正弦基底后再归一化。

相干时间演化

∣ψ(τ)⟩=e−iHτ∣ψ(0)⟩,∣ψ(τ>τc)⟩=e−iHc(τ−τc)e−iHτc∣ψ(0)⟩|\psi(\tau)\rangle=e^{-iH\tau}|\psi(0)\rangle,\qquad |\psi(\tau>\tau_c)\rangle=e^{-iH_c(\tau-\tau_c)}e^{-iH\tau_c}|\psi(0)\rangle

在保留的基底里，各本征相位精确推进，不做时间步进。淬火瞬间态本身连续，能量却可能因势垒变化做功而改变。模型没有环境，也没有连续测量。

与两态模型比较

H2=PHP,P=∣L⟩⟨L∣+∣R⟩⟨R∣,PR(τ)=12+[PR(0)−12]cos⁡[(E1−E0)τ]H_2=P H P,\quad P=|L\rangle\langle L|+|R\rangle\langle R|,\qquad P_R(\tau)=\tfrac12+[P_R(0)-\tfrac12]\cos[(\mathcal E_1-\mathcal E_0)\tau]

对称、静态势阱里的左局域参考制备，严格满足这个余弦关系。投影模型用的是同一个物理上的左右观测量，丢掉的振幅不重新归一化。偏置、窄初态和势垒突变都会暴露它的局限。

相位敏感测量

∣±θ⟩=∣L⟩±eiθ∣R⟩2,p+−p−=2Re⁡(e−iθaL∗aR)|\pm_\theta\rangle=\frac{|L\rangle\pm e^{i\theta}|R\rangle}{\sqrt2},\quad p_+-p_-=2\operatorname{Re}(e^{-i\theta}a_L^*a_R)

实部分析器和虚部分析器分别取零度和九十度，各自用独立的新制备。参考双态以外的部分记为第三种结果，保留在记录里。只靠左右计数，重建不出相干。

常见难点

概率云不是轨迹

容易误解一个动画点像经典粒子一样穿墙。

正确理解动画显示的是相干的概率密度；每次记录都来自一个重新制备的态。

多采样修不好模型

容易误解采样噪声是唯一误差来源。

正确理解有限基底、人为边界、没有纳入的探测物理，都要各自检验。

动手实验

  1. 01

    观察转移

    播放默认制备，采样九个时刻。

    你会看到： 把灰色参考线和观测到的频率对比一下。
  2. 02

    把概率留在一侧

    尝试高而宽的势垒，再调节关闸时刻。

    你会看到： 升高势垒，也不一定能把淬火后的态完全冻住。
  3. 03

    读取相位

    在同一时刻采样两个相干分析器。

    你会看到： 相干要大到能分辨，才估得出相位。
  4. 04

    检验近似

    选择窄波包，比较两条模型曲线。

    你会看到： 高能模式可能占去相当大的概率。
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