M022 · 刚体静力学

质心与倾覆

物体可能绕好几条边翻倒时，会先绕哪条边翻？ 质心需要抬得最少的那条边。绕某条边倾倒时，质心先被抬高，直到正好位于这条边上方，物体才会翻过去。需要抬升最少的边势垒最低，最先失稳。

重新摆放一组刚性箱体，从不同吊点把它挂起来，找出质心。再比一比：质心离底座边缘有多远，推倒它又要越过多高的重力势垒。

总质量 $\text{—}$

模型质心：横向 $\text{—}$

模型质心：高度 $\text{—}$

模型质心：纵深 $\text{—}$

最近边界余量 $\text{—}$

重力势垒 $\text{—}$

势垒倾角 $\text{—}$

初始向外边界力矩 $\text{—}$

首次新增地面接触 $\text{—}$

铅垂线拟合：横向 $\text{—}$

铅垂线拟合：高度 $\text{—}$

铅垂线拟合：纵深 $\text{—}$

平衡状态 $\text{—}$

选定转轴惯量 $\text{—}$

观测数量 $\text{—}$

拟合残差均方根 $\text{—}$

当前转角 $\text{—}$

角速度 $\text{—}$

机械能收支误差 $\text{—}$

终止接触吸收能量 $\text{—}$

摆好负载，检验平衡

物体可能绕好几条边翻倒时，会先绕哪条边翻？

重力与支撑力每次试验固定力比例尺左箱质量

m_L

8.00\,kg

右箱质量

m_R

8.00\,kg

载荷质量

m_c

12.00\,kg

载荷横向位置

x_c

0.20\,m

载荷纵深位置

z_c

0.00\,m

立柱长度

H

1.00\,m

底座宽度

w

1.20\,m

底座深度

d

0.90\,m

向外释放倾角

\phi_0

6.00\,{}^\circ

悬挂位置：四个吊眼

j

0.00\,

角度噪声上界

\epsilon

0.00\,{}^\circ

箱体都是刚体，底座八千克，立柱两千克，尺寸统一按米计。连接支架的质量忽略不计。地面水平，静摩擦足够大，不会打滑。物体绕最近的支撑边翻转。释放倾角的上限设在箱体角刚要碰到地面之前。每次试验从所选的向外倾角静止释放；底座落回地面，或者某个箱体第一次在新位置碰到地面，试验就结束。不模拟反弹、滚动和结构损坏。

悬挂是另一项独立的虚拟试验：用可拆卸、无质量的吊眼，配一个只能在一个竖直平面内转动的轴承。横向平面和纵深平面各测两次角度，就能定出质心的三个坐标。橙线是带噪声的传感器读数；青点是由质量模型独立算出的参考位置，蓝点是拟合结果。原始 CSV 只有角度和已知的吊眼几何。改几何、质量或噪声会清空记录；换吊眼或改释放倾角不会。

箱体质量均匀，地面水平，不会打滑；连接支架是刚性的，质量忽略不计。释放后物体绕一条边转动，落回底面或有箱体第一次碰到别处地面时就停止，不模拟碰撞之后的运动。悬挂试验用单独的夹具，轴承只能在一个平面内转动。

先抓重点

核心问题: 物体可能绕好几条边翻倒时，会先绕哪条边翻？
一句话直觉: 质心在底座上方时，往外倾斜会先把质心抬高。

核心数学模型

质心是质量加权平均

\mathbf r_C=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i}

求和用到每个均匀箱体的中心，固定底座和立柱也算在内。支架质量忽略，不计入。

质心要落在底座上方

|x_C|\leq\frac w2,\qquad |z_C|\leq\frac d2

四条边都要看。带符号余量最小的那条边，就是试验时的转轴。

绕一条边倾斜时的势能

U(\phi)=Mg\left[h\cos\phi+\ell\sin\phi\right]

高度从地面量起。质心在所选边以内时余量为正，转角为正表示朝外倾。

重力势垒

\phi_* =\arctan\frac\ell h,\qquad\Delta U=Mg\left(\sqrt{h^2+\ell^2}-h\right)

余量为正时，质心转到边的正上方，势能最高。余量为零或为负时，向外倾倒没有势垒。

用悬挂角度定位质心

(q_C-a_q)\cos\alpha+(h_C-a_h)\sin\alpha=0

每次悬挂，已知吊眼位置加上测到的角度，给出一条质心必须经过的直线。把两个竖直平面的试验合起来，用最小二乘求出三个坐标。

常见难点

质心高低影响倾倒难易

容易误解底座一样大，从上往下看质心位置也一样，推倒所需的能量就一样。

正确理解质量和余量相同时，质心越高，重力势垒越低。

只在一个平面里挂，测不出纵深

容易误解在横向平面里挂两次，就能定出质心的三个坐标。

正确理解要测纵深，还得在另一个竖直平面里挂。

碰到地面，运动就变了

容易误解物体会绕着边一直转下去，穿过地面也不停。

正确理解箱体第一次碰到别处地面时模型就停下，并记下这时被吸收的能量。

动手实验

01
沿两个方向移动载荷
调节载荷横向位置和载荷纵深位置，同时看着底座的支撑范围。
你会看到： 从侧面看似乎很稳，离质心最近的边却可能已经换了。
02
测量质心
依次从各个吊眼挂起，或点“测量四个吊眼”，比较拟合质心和模型质心。
你会看到： 测得的直线交在模型质心附近；有噪声时，会留下可以测出的残差。
03
越过势垒
选“高而易倾”，分别从低于和高于势垒角的倾角释放。
你会看到： 在峰值以下静止释放，物体会落回底座；超过峰值，就朝外翻倒。
04
一开始就不稳
选“横向越界”或“纵深越界”，从零倾角释放。
你会看到： 余量为负时，不用推，重力矩自己就把物体往外转。