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Sandbox Physics

M022 · 刚体静力学

质心与倾覆

重新布置刚体组合，以虚拟悬挂试验定位质心，比较支撑几何与倾覆重力势垒。

交互模型质心与倾覆
总质量—\text{—}
模型质心：横向—\text{—}
模型质心：高度—\text{—}
模型质心：纵深—\text{—}
最近边界余量—\text{—}
重力势垒—\text{—}
势垒倾角—\text{—}
初始向外边界力矩—\text{—}
首次新增地面接触—\text{—}
铅垂线拟合：横向—\text{—}
铅垂线拟合：高度—\text{—}
铅垂线拟合：纵深—\text{—}
平衡状态—\text{—}
选定转轴惯量—\text{—}
观测数量—\text{—}
拟合残差均方根—\text{—}
当前转角—\text{—}
角速度—\text{—}
机械能账本误差—\text{—}
终止接触吸收能量—\text{—}

物理教程

质心同时决定稳定性与势垒

背景组合体中的每个构件都对称，整体仍可能倾覆。

为什么值得理解MIT 扩展物体质心与 OpenStax 稳定性把悬挂几何与支撑接触联系起来。

先抓重点

核心问题
哪条边会先失稳？
一句话直觉
质心处于支撑多边形内时，向外旋转先抬高质心。

核心数学模型

质量加权质心

rC=∑imiri∑imi\mathbf r_C=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i}

均匀箱体中心计入固定底座与立柱；无质量支架不进入质量求和。

支撑几何

∣xC∣≤w2,∣zC∣≤d2|x_C|\leq\frac w2,\qquad |z_C|\leq\frac d2

四条边的余量都重要。最小有符号余量选择试验转轴。

关于边界的势能

U(ϕ)=Mg[hcos⁡ϕ+ℓsin⁡ϕ]U(\phi)=Mg\left[h\cos\phi+\ell\sin\phi\right]

高度从地面量起；余量在所选边内部为正；正转角朝外倾覆。

重力势垒

ϕ∗=arctan⁡ℓh,ΔU=Mg(h2+ℓ2−h)\phi_* =\arctan\frac\ell h,\qquad\Delta U=Mg\left(\sqrt{h^2+\ell^2}-h\right)

余量为正时，质心竖直位于边界上方对应势能最高点。非正余量没有向外势垒。

角度铅垂观测

(qC−aq)cos⁡α+(hC−ah)sin⁡α=0(q_C-a_q)\cos\alpha+(h_C-a_h)\sin\alpha=0

每个已知吊眼及测量平面角度给出一条直线约束。组合两个竖直平面，用最小二乘定位三个坐标。

常见难点

高度改变易倾程度

容易误解支撑区与质心投影相同，能量势垒也相同。

正确理解质量和余量相同时，更高质心降低重力势垒。

单个平面缺少纵深

容易误解两条横向平面铅垂线能定位三维坐标。

正确理解纵深需要另一个竖直平面的试验。

接触改变动力学

容易误解边界旋转解可以穿过地面继续。

正确理解本模型在首次新增箱体接触时终止并记录吸收能量。

动手实验

  1. 01

    沿两个方向移动质量

    沿横向及纵深移动载荷，观察支撑区域。

    应该观察到： 即使某个侧视看似稳定，最近边界也可能改变。
  2. 02

    测量质心

    依次悬挂各吊眼或测量四个吊眼；比较拟合与模型质心。

    应该观察到： 原始直线交于模型质心附近；噪声带来可测残差。
  3. 03

    越过势垒

    给高组合体设置低于及高于势垒角的释放倾角。

    应该观察到： 从峰值以下静止释放会回到底座；峰值以上朝外倾覆。
  4. 04

    从已失稳状态开始

    选择横向或纵深越界，从零倾角释放。

    应该观察到： 负余量无需初始扰动就产生向外重力矩。