M014 · 绳索约束与做功

Atwood 机

Atwood 机两侧的绳子张力为什么不相等？ 因为滑轮有转动惯量，绳子也有重量。要改变滑轮的转速就需要力矩，而力矩只能来自两侧张力之差。绳子边走边从一侧挪到另一侧，它自身的重量也会改变两侧的差别。

这台 Atwood 机的绳沿真实路径绕过滑轮。可以比较理想、惯性滑轮、重绳和轴阻尼四种情形，分别读出两个物块处和轮缘两侧的张力，采集位置，再用测到的数据拟合加速度。

左轮缘张力 $0\,\mathrm N$

右轮缘张力 $0\,\mathrm N$

记录时刻 $0\,\mathrm s$

负载坐标，向上为正 $0\,\mathrm m$

负载速度 $0\,\mathrm{m/s}$

负载瞬时加速度 $0\,\mathrm{m/s^2}$

广义惯性质量 $0\,\mathrm{kg}$

平动动能 $0\,\mathrm J$

滑轮转动能 $0\,\mathrm J$

绳动能 $0\,\mathrm J$

重力势能变化 $0\,\mathrm J$

输入端有符号行程 $0\,\mathrm m$

自由端做功 $0\,\mathrm J$

轴黏性阻尼做功 $0\,\mathrm J$

积分能量残差 $0\,\mathrm J$

已采位置样本 $1$

当前记录二次拟合加速度 $\text{Need 3 samples}$

二次位置拟合均方根残差 $\text{Need 3 samples}$

记录结束时刻 $0\,\mathrm s$

记录首个边界 $\text{Travel boundary}$

左侧物块绳力 $0\,\mathrm N$

右侧物块绳力 $0\,\mathrm N$

绳索、运动与功

Atwood 机两侧的绳子张力为什么不相等？

物理受力每次试验里，力箭头都用同一个固定比例。左侧物块质量

m_1

1.00\,\mathrm{kg}

右侧物块质量

m_2

1.50\,\mathrm{kg}

滑轮半径

R

0.22\,\mathrm m

绳线密度

\lambda

0.00\,\mathrm{kg/m}

滑轮转动惯量

I

0.04\,\mathrm{kg\,m^2}

轴黏性阻尼系数

B

0.00\,\mathrm{N\,m\,s}

负载初始坐标

q_0

0.00\,\mathrm m

位置传感器采样间隔

\Delta t

0.10\,\mathrm s

有界位置噪声幅度

\varepsilon

0.00\,\mathrm{mm}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

正方向的运动让左侧物块上升、右侧下降。两段竖直悬垂的绳长加起来始终是四米。绳子有质量，重力不平衡和惯性就都会变。轮缘处的张力算上了悬垂绳的重量；物块上的箭头只表示绳子作用在这个物块上的力。

传感器只记录到游标所在的时刻。噪声有界，而且可以重复；改动任何设置都会开始一次新试验。二次位置拟合要三个样本，并假设加速度恒定。绳重和黏性阻尼都可能让这个假设不成立，这时要看拟合残差和瞬时加速度。CSV 导出采集到的位置和拟合结果，与模型真值分开。

滑轮是刚性的，固定不动；绳始终绷紧、不可伸长，在轮缘上不打滑。重绳的线密度均匀。轴阻尼是黏性阻尼，没有静摩擦。物块走到行程尽头时模拟结束，不模拟碰撞。外形和绳粗只是示意，没有考虑弹性、空气阻力和材料标定。

先抓重点

核心问题: 理想模型会漏掉多少加速度？
一句话直觉: 驱动运动的重力差和阻碍运动的惯性，都要把绳算进去。滑轮要转起来需要力矩，这个力矩来自轮缘两侧不相等的张力。

核心数学模型

整根绳用同一个坐标

\ell_1=\ell_0-q,\quad\ell_2=\ell_0+q,\quad\ell_0=2\,\mathrm m,\quad\omega=-\dot q/R

左侧向上为正。整个过程中两段悬垂绳的长度都大于零，顶部半圆那段绳长不变。

惯性与驱动力

\left[m_1+m_2+\lambda(2\ell_0+\pi R)+\frac I{R^2}\right]\ddot q+\frac B{R^2}\dot q=(m_2-m_1)g+2\lambda gq

重绳增加平动惯性，还带来随位置变化的重力差。黏性力矩总是阻碍转动，它不是库仑式的轴摩擦。

物块受到的绳力

T_1=m_1(g+\ddot q),\qquad T_2=m_2(g-\ddot q)

这两项就是物块上向上的箭头。分析每个物块时，都不把绳算进去。

轮缘张力包含悬垂绳

T_{1r}=(m_1+\lambda\ell_1)(g+\ddot q),\quad T_{2r}=(m_2+\lambda\ell_2)(g-\ddot q)

两侧轮缘张力之差，要转动滑轮、带动顶部弧段的绳，还要克服轴损耗。只有滑轮无惯量、无摩擦，而且绳也无质量时，两侧轮缘张力才相等。

能量要把绳也算进去

\Delta K+\Delta U=-\int_0^t\frac B{R^2}\dot q^2\,\mathrm dt,\quad \Delta U=(m_1-m_2)g\Delta q-\lambda g(q^2-q_0^2)

动能包括两个物块、整根绳和滑轮转动。轴承损耗的功率单独积分，不从能量差倒推。

拟合测到的位置，而不是理论答案

q_i\simeq c_0+c_1t_i+\tfrac12a_{\mathrm{fit}}t_i^2

至少要三个样本。拟合只给出一个加速度，这个数依赖模型：有重绳或阻尼时，轨迹并不是严格的二次曲线。均方根衡量的是位置残差，不能保证加速度准确。

常见难点

同一根绳，张力可以不同

容易误解整根绳的张力处处相同。

正确理解给滑轮加上惯量，或者给绳加上质量，再比较四处张力读数。

质量相等也可能动起来

容易误解两边质量相等，就一定静止。

正确理解用重绳，从偏离中间的位置释放。悬垂得长的一侧，绳也更重。

拟合看着好，也可能有偏差

容易误解位置残差小，就说明加速度是对的。

正确理解换一个观察时段，再看瞬时加速度。噪声和加速度本身的变化，是两种不同的误差。

动手实验

01
重现理想结果
选择“两侧张力相等”，展开“位置传感器与更多读数”。把噪声设为零，点“完成记录”。
你会看到： 二次拟合得到的就是恒定加速度，两个物块受到的绳力相等。
02
换上转起来需要力矩
选择“转起来需要力矩”，比较结束时刻。
你会看到： 加速度变小，两侧轮缘张力拉开差距，转动动能增加。
03
让绳本身不平衡
选择“长绳一侧下落”，两边质量保持相等，再把初始偏移反过来。
你会看到： 物块质量仍然相等，运动方向却反过来了。
04
检查一次测量
加入轴阻尼，改变采样间隔和噪声，再导出位置。
你会看到： 分清三件事：传感器扰动、恒加速度近似带来的误差，以及轴承损耗的能量。