M014 · 绳索约束与做功

Atwood 机

沿真实绳路的 Atwood 装置，比较理想、惯性、重绳与轴阻尼试验。区分两侧物块端和轮缘端张力，采集位置并从观测拟合加速度。

记录时刻 $0\,\mathrm s$

负载坐标，向上为正 $0\,\mathrm m$

负载速度 $0\,\mathrm{m/s}$

负载瞬时加速度 $0\,\mathrm{m/s^2}$

广义惯性质量 $0\,\mathrm{kg}$

平动动能 $0\,\mathrm J$

滑轮转动能 $0\,\mathrm J$

绳动能 $0\,\mathrm J$

重力势能变化 $0\,\mathrm J$

输入端有符号行程 $0\,\mathrm m$

自由端做功 $0\,\mathrm J$

轴黏性阻尼做功 $0\,\mathrm J$

积分能量残差 $0\,\mathrm J$

已采位置样本 $1$

当前记录二次拟合加速度 $\text{Need 3 samples}$

二次位置拟合均方根残差 $\text{Need 3 samples}$

记录结束时刻 $0\,\mathrm s$

记录首个边界 $\text{Travel boundary}$

左侧物块绳力 $0\,\mathrm N$

右侧物块绳力 $0\,\mathrm N$

预测 / 采样 / 核对

两侧绳力为什么不相等？

物理受力每次试验使用固定受力比例尺左侧物块质量

m_1

1.00\,\mathrm{kg}

右侧物块质量

m_2

1.50\,\mathrm{kg}

滑轮半径

R

0.22\,\mathrm m

绳线密度

\lambda

0.00\,\mathrm{kg/m}

滑轮转动惯量

I

0.00\,\mathrm{kg\,m^2}

轴黏性阻尼系数

B

0.00\,\mathrm{N\,m\,s}

负载初始坐标

q_0

0.00\,\mathrm m

位置传感器采样间隔

\Delta t

0.10\,\mathrm s

有界位置噪声幅度

\varepsilon

0.00\,\mathrm{mm}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

负载正方向使左侧上升、右侧下降；两条悬垂绳长之和为四米。绳重同时改变重力不平衡和惯性。轮缘张力包含悬垂绳重；物块箭头只显示作用在物块上的绳力。

传感器只采集到当前游标时刻。噪声有界且可重复；编辑创建新试验。二次位置拟合需要三个样本并假设恒定加速度。绳重与黏性阻尼会破坏该假设；核对拟合残差与瞬时加速度。CSV 导出采集位置及其拟合，与模型真值分开。

固定刚性滑轮、绷紧不可伸长绳及轮缘无滑动。重绳线密度均匀；轴阻尼为黏性形式，无静摩擦。记录在行程边界结束，不模拟碰撞。外形与绳粗为示意；未计弹性、空气阻力和材料标定。

先抓重点

核心问题: 理想模型会漏掉多少加速度？
一句话直觉: 驱动不平衡与惯性都必须包含绳。滑轮转动需要力矩，由不等的轮缘张力提供。

核心数学模型

统一绳坐标

\ell_1=\ell_0-q,\quad\ell_2=\ell_0+q,\quad\ell_0=2\,\mathrm m,\quad\omega=-\dot q/R

左侧向上为正。有限记录内两条悬垂段长度始终为正；顶部半圆绳长恒定。

惯性与驱动力

\left[m_1+m_2+\lambda(2\ell_0+\pi R)+\frac I{R^2}\right]\ddot q+\frac B{R^2}\dot q=(m_2-m_1)g+2\lambda gq

重绳增加惯性，并带来随位置变化的重力不平衡。黏性力矩阻碍角速度，并非库仑轴摩擦。

物块端受力

T_1=m_1(g+\ddot q),\qquad T_2=m_2(g-\ddot q)

这两项对应物块向上箭头；两个物块系统都不包含绳。

轮缘力包含悬垂绳

T_{1r}=(m_1+\lambda\ell_1)(g+\ddot q),\quad T_{2r}=(m_2+\lambda\ell_2)(g-\ddot q)

轮缘差值提供滑轮力矩、顶部弧段绳惯性和轴损耗。绳也无质量时，无惯量无损滑轮的轮缘力才相等。

能量包含绳

\Delta K+\Delta U=-\int_0^t\frac B{R^2}\dot q^2\,\mathrm dt,\quad \Delta U=(m_1-m_2)g\Delta q-\lambda g(q^2-q_0^2)

动能包含两物块、整根绳和滑轮转动。轴损耗功率独立积分，不由能量差倒算。

拟合观测而非理论答案

q_i\simeq c_0+c_1t_i+\tfrac12a_{\mathrm{fit}}t_i^2

至少需要三个样本。单一加速度估计依赖模型；重绳或阻尼轨迹并非精确二次曲线。均方根读数是位置残差，不保证加速度准确。

常见难点

约束与力

容易误解整根绳的张力相同。

正确理解加入惯量或绳密度，比较四条张力曲线。

等质量不一定平衡重绳

容易误解等质量一定静止。

正确理解重绳场景从偏心位置释放，较长的悬垂段也更重。

漂亮拟合也可能有偏差

容易误解小位置残差就能证明加速度正确。

正确理解改变观察时段，检查瞬时加速度；噪声与加速度变化是不同误差。

动手实验

01
恢复理想结果
选择理想物块，关闭噪声，完成记录。
应该观察到： 二次拟合等于恒定加速度，两侧物块端张力相等。
02
转动惯性滑轮
选择惯性滑轮，比较结束时刻。
应该观察到： 加速度下降，轮缘张力分开，转动能增加。
03
让绳本身不平衡
选择等质量重绳场景，反转初始偏移。
应该观察到： 物块质量不变，运动方向仍会反转。
04
核对一次测量
加入轴阻尼，改变采样间隔与噪声，再导出位置。
应该观察到： 区分传感器扰动、恒加速度近似与轴能量损耗。