Q008 · 分束 / 重合 / 计数

原子干涉重力仪

三束激光脉冲，怎样借下落的原子测出重力？ 三束激光脉冲先把每个原子的波一分为二，再让两半转向，最后合到一起。重力带来的相位随脉冲间隔的平方增长，间隔加倍，相位变成四倍。扫描最后一束光的相位、拟合输出计数，就能读出它。等得越久越灵敏，但也越难分清落在第几条条纹上。

把原子波分开、转向，再合到一起。扫描最后一次激光的相位，从计数拟合出重力差，看看为什么等得越久，测量越灵敏，歧义也越多。

信号相位 · 模型 $0$

可见度 · 模型 $1$

01 / 粒子走两个分支，只被探测一次

等得更久，相位积累更多。

采集一次相位扫描。把脉冲间隔加倍再采集：信号相位会变成四倍。

竖直原子喷泉 · 共线 Raman 脉冲 · 反冲分离放大 12 倍

末次脉冲相位

\phi_L/\pi=0

尚无计数。一次扫描在 21 个设置上各采集 100 次。

查看脉冲序列

序列进度 · 仅模型

t=T

拖动预览不采集数据。每次「发送」都完成整个序列。

做一组对照

脉冲间隔

T/\mathrm{ms}

80

重力相对参考值

\delta g/(\mathrm{\mu m\,s^{-2}})

20

频率扫描等效加速度

\delta g_c/(\mathrm{\mu m\,s^{-2}})

0

相干、噪声与探测

重合前的相干度

C_0

1

独立相位噪声

\sigma_\phi/\mathrm{rad}

0.15

探测概率

\eta

0.95

采样种子

s

2026

转动扫描旋钮不会丢失数据。改变制备会开始新样本，想对照就先保存。预设不会自动采集。

模型是均匀重力中的理想短脉冲 Raman 干涉仪。相位噪声彼此独立，两个输出的漏检概率相同。只计算波包中心的一维路径。对有限脉冲、振动、波前和重力梯度，不作任何精度上的声称。

02 / 在当前设置下计数

返回哪个内部态？

模型参考

初始态 · A

转移态 · B

未探测到

当前设置最近 60 次试验。蓝：A · 橙：B · 灰：漏检。每次重新制备一个粒子。

A 态比例 · 已探测试验

\text{—}

逐点 95% Wilson 区间。漏检保留在原始记录里，比例以已探测事件为条件。

\text{—}

03 / 读出干涉条纹

重力带来相位，条纹随之移动。

A 态比例随扫描设置的变化 $\phi_L/\pi$

蓝点：采集计数；细线：Wilson 区间；橙线：模型；蓝虚线：按固定周期拟合记录。点击图表选择扫描设置。

从记录估计

\text{—}

等效重力参考差

\text{—}

这里只显示周期解族中的一个代表值。单条条纹无法选定绝对分支。

\text{—}

至少需要八个设置，每个设置十个有效计数。条纹分辨不出来时不报告相位。误差来自保守的方差界和局部近似，不代表仪器精度。

04 / 把路径与相位联系起来

三次脉冲，让两个分支重合。

\text{—}

时间向右，高度向上。装置中的两个中心沿同一竖直轴运动。图中围绕共同中心把间距放大 12 倍，读数报告真实间距。虚线标出三次脉冲。

第一次脉冲分束，中间脉冲交换动量，最后一次重合。态选择探测在同一收集区域计数两个内部输出态。

05 / 保存证据

先保存样本，只改一项，再比较。

最多保存八组固定样本。保存后再次采集会开始新样本；导出包含活动与保存样本的每次试验及完整制备参数。

模型、约定与来源

P_A=\tfrac12[1+C_0e^{-\sigma_\phi^2/2}\cos\Delta\phi],\quad P_B=1-P_A

\Delta\phi=k_{\rm eff}(g-g_c)T^2+\phi_L

重力和有效波矢都以向下为正。原子取标称的铷 87，波长 780 纳米，有效波矢是光波矢的两倍，参考重力加速度为 9.81 米每二次方秒。初速度选得让原子在序列结束后回到起始高度附近。重力均匀，脉冲理想且瞬时，相位噪声独立且服从 Gaussian 分布；不考虑脉冲的有限时长、相关振动、梯度和波前误差。

McGuirk et al. · 2001

先对噪声做解析平均，再独立采样二元结果。两态的漏检概率相同，漏检没有隐藏结果。谐波回归固定已知周期，并不测量周期；它是无约束描述性拟合，有限样本的拟合可见度可能超过一。

先抓重点

核心问题: 三次激光闪光，怎么就能测出一次下落？
一句话直觉: 多比较几组设置，保留原始计数，拟合时只用采集到的计数。

核心数学模型

下落带来的相位

\Delta\phi=(k_{\rm eff}g-\alpha)T^2+\phi_3

向下的加速度和有效波矢取正。扫描项是角频率扫描率，等于有效波矢乘以扫描加速度；扫描加速度是参考值加上偏置。

反冲速度与最大分离

v_r=\hbar k_{\rm eff}/m,\qquad d_{\max}=v_rT

第一个脉冲加上反冲，中间的脉冲把反冲在两支之间交换，到最后一个脉冲时两支的中心重新重合。在装置里，两支沿竖直方向分开。

相邻等效条纹的重力间隔

\Delta g_{\rm period}=\frac{2\pi}{k_{\rm eff}T^2}

拟合给出一个重力偏置，但把它加减这个间隔的整数倍，拟合得一样好。要选对条纹，还需要别的信息。

激光相位的二阶差分

\phi_L(0)-2\phi_L(T)+\phi_L(2T)=(k_{\rm eff}g-\alpha)T^2

加速度均匀、脉冲瞬时，常数项和初速度项就会消掉。这里不考虑真实振动、有限脉冲长度和波前效应。

漏检与相位噪声

C=C_0e^{-\sigma_\phi^2/2},\quad P_{\varnothing}=1-\eta

独立的 Gaussian 相位噪声做解析平均。两个输出漏检概率相同时，探测到的原子变少，但在这些原子里看，条纹可见度不变。

常见难点

分支不等于轨迹

容易误解彩线画的是每个被探测到的原子实际走的路线。

正确理解彩线表示相干分支或波包中心。模拟里没有记录原子走了哪条路。

拟合误差小不等于仪器准

容易误解拟合误差小，就证明真实仪器准确。

正确理解这里的误差只是模型内部的统计误差。模型没算的装置效应和歧义依然存在。

动手实验

01
预测
对照前两组预设，预测哪个出口的计数会增加。
你会看到： 预设只设置条件，不会自动加入数据。
02
测量
先探测一次，再采集 200 次，最后扫描全部 21 点。
你会看到： 漏检的原子也留在记录里。输出频率和逐点 Wilson 区间只用探测到的原子来算。
03
对照
保存扫描，改变相干度或脉冲间隔，再扫描并导出两组记录。
你会看到： 对比度太低时，不给出相位估计。脉冲间隔越长，重力的歧义间隔越窄。