M054 · 转动 / 内力做功

角动量滑冰者

角动量不变，动能却能增加吗？ 能。没有外力矩，角动量不变，把质量往里收，转得就更快。动能也跟着涨：转动惯量减半，转速和动能都翻倍。多出来的能量，来自把质量往里拉的那个力做的功，比如滑冰者收臂时使的劲。

旋转载体上有两个对称的质点，可以沿径向滑动，用来模拟旋转的滑冰者。设定平滑的收拢或展开过程，比较慢拉和快拉，再加上方向可选的外力矩。任何时刻都能查看实际半径、角动量、径向动能，以及单独积分得到的执行器做功。

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

实际滑块半径 $0\,\mathrm{m}$

向外为正的径向速度 $0\,\mathrm{m/s}$

瞬时轴向惯量 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

有向角速度 $0\,\mathrm{rad/s}$

角加速度 $0\,\mathrm{rad/s^2}$

轴向角动量 $0\,\mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}}$

转动动能 $0\,\mathrm{J}$

径向动能 $0\,\mathrm{J}$

模型总动能 $0\,\mathrm{J}$

径向执行器累计做功 $0\,\mathrm{J}$

积分的外力矩做功 $0\,\mathrm{J}$

每个质点的执行器力 · 向外为正 $0\,\mathrm{N}$

径向执行器总功率 $0\,\mathrm{W}$

能量减去独立积分的功 $0\,\mathrm{J}$

角冲量收支偏差 $0\,\mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}}$

先预测，再收拢，跟踪能量

角动量不变，动能却能增加吗？

有向轴向与径向矢量角动量、角速度、力矩和径向执行器力的箭头，各用一套固定比例。释放位置金色线框标出各质量中心的初始位置。运动按真实比例画出，位移没有放大。每个滑块质量

m

0.50\,\mathrm{kg}

中心载体惯量

I_c

0.12\,\mathrm{kg\,m^2}

释放半径

r_0

0.65\,\mathrm{m}

最终半径

r_1

0.22\,\mathrm{m}

径向运动时长

T

3.00\,\mathrm{s}

初始角速度

\omega_0

1.50\,\mathrm{rad/s}

外力矩

\tau

0.00\,\mathrm{N\,m}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

在坐标面板里拖动金色的释放半径手柄和青色的最终半径手柄，或者用键盘操作滑块。任何改动都会开始一次新试验。径向运动在第一秒结束时开始，结束时径向速度和径向加速度都为零，之后再记录一秒。能量与做功图里，紫色点是执行器和电机做的总功。收拢得越快，过程中多出来的径向动能越多，这部分动能只在质量移动时存在。质量始终不会脱手，执行器需要多大的力就给多大，没有硬件上限。

滑块是理想的，沿无质量导轨水平移动；半径按指定的五次曲线变化，中心载体的转动惯量固定。这是机械类比，不考虑人体力学、摩擦和执行器力上限，也没有质量甩出，所有质量始终连着。转动动能和径向动能都计入。角动量随外力矩的角冲量变化；执行器做功由径向力乘径向速度积分得到，和能量变化分开计算。三维标记大小和载体厚度只是示意。

先抓重点

核心问题: 没有外力矩时，增加的动能由谁提供？
一句话直觉: 绕轴的角动量决定了质量移动时角速度怎样变。径向执行器往系统里输入动能，或者取走动能；收放过程中，有一部分动能在径向运动里。

核心数学模型

转动惯量与外力矩的角冲量

I(t)=I_c+2mr(t)^2,\qquad L(t)=I(0)\omega_0+\tau t,\qquad\omega(t)=\frac{L(t)}{I(t)}

两个质点的质量都等于所选滑块质量，始终连在载体上。中心载体的转动惯量固定。从上往下看，逆时针转为正。

执行器沿径向的拉力

F_r=m(\ddot r-r\omega^2),\qquad P_{\mathrm{act}}=2F_r\dot r

径向力和径向速度都以向外为正。这是每个质点实际受到的径向力，写在惯性系里，没有另加离心力。

转动动能和径向动能

K=\frac12I\omega^2+m\dot r^2,\qquad\frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=\tau\omega+2F_r\dot r

两个滑块除了跟着转，还有沿径向运动的动能。做的功由各个物理功率分别算出，再积分得到。

平滑的半径变化曲线

r=r_0+(r_1-r_0)(10s^3-15s^4+6s^5),\qquad s=\frac{t-1\,\mathrm{s}}{T}

这条曲线只在收放过程中起作用，之前和之后半径不变。两端衔接处的径向速度和加速度都为零。半径按指定方式变化，没有带力上限的控制器。

常见难点

内力也能做功

容易误解没有外力矩，动能就不会改变。

正确理解径向力对转轴没有力矩，但质量沿径向移动时，它的功率不为零。看执行器做功曲线就知道。

快拉时，一部分动能在径向运动里

容易误解整个过程中，动能全都是转动动能。

正确理解快速收拢时，到过程中点看径向动能。径向运动停下来，这部分动能才消失。

这是机械类比，不是真人

容易误解画面能预测真人的肌肉用力，或者甩出配重后的情形。

正确理解模型里没有人体力学、执行器上限和摩擦，也没有质量甩出。两个质量始终连着，半径按指定的平滑曲线变化。

动手实验

01
预测最终转速
外力矩为零时，先比较释放时和最终的转动惯量，再完成收放。
你会看到： 角速度之比等于惯量之比的倒数，绕轴的角动量保持不变。
02
找到能量来源
查看执行器累计做的功和总动能变化。
你会看到： 向内收拢后，转动动能变大，多出来的能量由执行器提供。
03
比较快拉和慢拉
两端半径不变，改变收放时长。
你会看到： 外力矩为零时，最终角速度和净做功都一样，但过程中的径向动能和峰值力不同。
04
加入外力矩
选择“外部制动力矩”，查看角冲量。
你会看到： 角动量的变化等于外力矩乘经过的时间，一秒的保持阶段也算在内。