M054 · 转动 / 内力做功

角动量滑冰者

用旋转载体上的两个对称径向质点类比滑冰者。指定平滑收拢或展开过程，比较慢拉与快拉，再加入有向外力矩。在任意时刻检查真实半径、角动量、径向动能与独立积分的执行器做功。

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

实际滑块半径 $0\,\mathrm{m}$

向外为正的径向速度 $0\,\mathrm{m/s}$

瞬时轴向惯量 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

有向角速度 $0\,\mathrm{rad/s}$

角加速度 $0\,\mathrm{rad/s^2}$

轴向角动量 $0\,\mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}}$

转动动能 $0\,\mathrm{J}$

径向动能 $0\,\mathrm{J}$

模型总动能 $0\,\mathrm{J}$

积分的径向执行器做功 $0\,\mathrm{J}$

积分的外力矩做功 $0\,\mathrm{J}$

每个质点的执行器力 · 向外为正 $0\,\mathrm{N}$

径向执行器总功率 $0\,\mathrm{W}$

能量与独立做功积分偏差 $0\,\mathrm{J}$

角冲量收支偏差 $0\,\mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}}$

预测 / 收拢 / 核对

角动量不变，动能却能增加吗？

有向轴向与径向矢量角动量、角速度、力矩与径向执行器力分别使用固定尺度。释放位置金色线框标出初始质量中心；物理运动不放大位移。每个滑块质量

m

0.50\,\mathrm{kg}

中心载体惯量

I_c

0.12\,\mathrm{kg\,m^2}

释放半径

r_0

0.65\,\mathrm{m}

最终半径

r_1

0.22\,\mathrm{m}

径向运动时长

T

3.00\,\mathrm{s}

初始角速度

\omega_0

1.50\,\mathrm{rad/s}

外力矩

\tau

0.00\,\mathrm{N\,m}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

在坐标面板中拖动金色释放半径手柄与青色最终半径手柄，或使用键盘滑块。编辑会创建新试验。径向运动在一秒后开始，结束时径向速度和加速度均为零，再记录一秒。做功账本的紫色点表示执行器与电机总做功。快速运动增加暂态径向动能。不释放质量，执行器需求力未施加硬件上限。

理想水平径向滑块，指定五次平滑运动，中心载体惯量固定，导轨无质量。这是机械类比，省略人体力学、摩擦、执行器力上限与质量抛射；所有质量始终连接。转动与径向动能均计入。角动量服从外力矩的角冲量；执行器做功由径向力乘速度积分得到，不复制能量变化。三维标记大小与载体厚度为示意。

先抓重点

核心问题: 没有外力矩时，增加的动能由谁提供？
一句话直觉: 轴向角动量约束变化的角速度。径向执行器输入或移除动能；运动过程中，一部分动能属于径向运动。

核心数学模型

轴向惯量与外部角冲量

I(t)=I_c+2mr(t)^2,\qquad L(t)=I(0)\omega_0+\tau t,\qquad\omega(t)=\frac{L(t)}{I(t)}

两个质点的质量均为所选滑块质量，始终连接。中心载体惯量固定。从上方看逆时针自转为正。

径向执行器力

F_r=m(\ddot r-r\omega^2),\qquad P_{\mathrm{act}}=2F_r\dot r

径向力和速度向外为正。这是每个质点上的实际径向力，不是在惯性系方程中额外加入离心力。

两类动能

K=\frac12I\omega^2+m\dot r^2,\qquad\frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=\tau\omega+2F_r\dot r

两个滑块除了转动，还有径向动能。做功由分别计算的物理功率积分得到。

平滑径向程序

r=r_0+(r_1-r_0)(10s^3-15s^4+6s^5),\qquad s=\frac{t-1\,\mathrm{s}}{T}

该程序只用于径向运动区间；之前和之后半径固定。两端速度与加速度为零。这是指定运动，不是带力上限的控制器。

常见难点

内力也能做功

容易误解没有外力矩，动能就不会改变。

正确理解径向力没有轴向力矩，但质量径向运动时具有非零功率。检查执行器做功曲线。

快拉还有另一条能量通道

容易误解整个运动过程中，全部动能都属于转动。

正确理解选择快速收拢，在运动中点检查径向动能。只有径向运动停止时，该动能才消失。

类比有边界

容易误解画面能预测真人肌肉负担或释放配重。

正确理解模型没有人体力学、执行器上限、摩擦或抛射。所有质量保持连接，并遵循指定的平滑半径程序。

动手实验

01
预测最终自转
外力矩为零时，比较释放与最终惯量，然后完成径向运动。
应该观察到： 惯量比的倒数给出角速度比，轴向角动量保持不变。
02
找到做功来源
检查执行器积分做功与总动能变化。
应该观察到： 向内收拢增加最终转动动能，由执行器供能。
03
比较快慢
保持两端半径，改变径向运动时长。
应该观察到： 零外力矩下，最终角速度与净做功相同，但过程中的径向动能与峰值力不同。
04
加入外力矩
选择制动力矩场景，检查角冲量收支。
应该观察到： 角动量按外力矩乘经过时间变化，一秒保持阶段也计入。