M016 · 牛顿接触力学

可移动楔块与滑块

无摩擦的支持力也能传递能量吗？ 能。自由反冲时，在地面系中，支持力对滑块做负功，对楔块做等量正功；水平驱动也能改变传递方向。换到楔块系，支持力不对相对滑动做功，能量平衡中要计入惯性力做功。

释放楔块或施加水平驱动，在同一时刻切换地面系与楔块系。一起比较受力、惯性力、动能和功，看能量如何在滑块与底座之间传递。

记录时刻 $0.228\,\mathrm{s}$

斜面向下坐标 $1.6\,\mathrm{m}$

相对斜面速度 $1.79\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

沿斜面加速度 $7.85\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

滑块所受支持力 $6.8\,\mathrm{N}$

所选系中的滑块速率 $1.18\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

所选系滑块水平加速度 $3.4\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

滑块水平惯性力 $0\,\mathrm{N}$

惯性力对滑块做功 $0\,\mathrm{J}$

楔块位移 $-0.0883\,\mathrm{m}$

楔块速度 $-0.775\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

地面系楔块加速度 $-3.4\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

滑块动能 $0.7\,\mathrm{J}$

楔块动能 $0.3\,\mathrm{J}$

所选系中的支持力功 $-0.3\,\mathrm{J}$

水平外力做功 $0\,\mathrm{J}$

总水平动量 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

水平冲量残差 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

记录结束时刻 $0.814\,\mathrm{s}$

能量守恒残差 $0\,\mathrm{J}$

先预测运动，再追踪能量

无摩擦的支持力也能传递能量吗？

物理受力同一次试验里，所有力共用一个固定比例尺。释放位置标出滑块在斜面上的初始相对位置。底座所受接触反力显示接触处作用在底座上的反向支持力。坡角

\theta

30.00\,{}^{\circ}

滑块质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

斜面释放位置比例

s_0/\ell

0.35\,

初始沿斜面速度

\dot s_0

0.00\,\mathrm{m/s}

楔块水平外力

H

0.00\,\mathrm{N}

楔块质量

M

1.00\,\mathrm{kg}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

斜面与水平导轨无摩擦，不求解转动自由度。楔块外力向右为正，滑块位移沿斜面向下为正。切换参考系保留试验和时刻。紫色虚线惯性力只在加速楔块系出现；速度、能量和功按所选系显示，明确标为地面系的楔块加速度除外。观察窗在首个斜面端点、六个模型秒或楔块移动两米时结束，取最早一项。图线为解析预测，后续运动与碰撞不在观察窗内。

模型假设

两个物体都是刚体。地面和斜面都无摩擦，楔块始终保持水平，开始时静止。观察窗在滑块到斜面端点、经过六个模型秒或楔块移动两米时结束，取最早一项；后续运动、碰撞和脱离不在显示范围内。支撑和滑块的尺寸只是示意。

先抓重点

核心问题: 为什么跟着楔块走，支持力做的功会变？
一句话直觉: 支持力垂直于相对斜面的位移，但不一定垂直于地面系位移。换到加速的楔块系，要把惯性力做功计入能量平衡。

核心数学模型

两个坐标描述运动

\begin{aligned}x_b&=X+(s-\ell/2)\cos\theta\\y_b&=(\ell-s)\sin\theta\end{aligned}

楔块水平移动，滑块坐标沿斜面向下增加。画面中的滑块有固定的法向示意偏移；这个常量不改变加速度或能量差。

两者相互影响的运动方程

\begin{aligned}(M+m)\ddot X+m\cos\theta\,\ddot s&=H\\\ddot s+\cos\theta\,\ddot X&=g\sin\theta\end{aligned}

水平外力作用在楔块上，地面和斜面都无摩擦。整个支架只平移，不求解转动自由度。

反冲与支持力

\begin{aligned}\ddot X&=\frac{H-mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}\\N&=m(g\cos\theta+\ddot X\sin\theta)\end{aligned}

自由楔块向左加速。向右驱动力足够大时，滑块会相对楔块上滑；底座的反冲方向也随外力改变。可调范围内始终保持压紧接触。

地面系的动量与能量

\begin{aligned}p_x&=(M+m)\dot X+m\dot s\cos\theta\\\dot p_x&=H\\\Delta(K_b+K_w+U)&=H\Delta X\end{aligned}

没有水平驱动时，总水平动量和机械能守恒。计算两者动能时，都要使用完整的地面系速度。

支持力对两物体做功

\begin{aligned}W_{N,b}&=N\sin\theta\,\Delta X\\W_{N,w}&=-W_{N,b}\end{aligned}

自由反冲时，滑块通过接触失去能量，楔块得到等量能量。水平驱动可以让传递方向反过来；两份接触功仍相互抵消。

跟随加速的楔块

\begin{aligned}\mathbf a_b^{\prime}&=\mathbf a_b-\ddot X\hat{\mathbf x}\\\mathbf F_{\mathrm{in},b}&=-m\ddot X\hat{\mathbf x}\\\Delta(K_b^{\prime}+U)&=W_{\mathrm{in},b}\end{aligned}

这个参考系只平移，不旋转。支持力不对相对滑动做功，惯性力解释相对运动的能量平衡。切换参考系保留同一试验和当前时刻。

常见难点

底座的运动也会改变滑动

容易误解只要坡角相同，沿斜面的加速度就相同。

正确理解比较“自由楔块”和“重底座”。斜面本身会加速，反冲和相对滑动会一起改变。

功需要说明参考系

容易误解支持力永远不能传递能量。

正确理解先看地面系中的支持力功，再切到楔块系。相对斜面的位移垂直于支持力，地面系位移还包含底座的移动。

惯性力来自加速的观察方式

容易误解紫色箭头代表另一个真实接触。

正确理解紫色虚线只在楔块系出现，用来计入观察者的加速度；青色接触力在两种观察方式中对应同一次物理作用。

动手实验

01
先放开底座
观察“自由楔块”预设。
你会看到： 滑块下滑，底座向左退；地面系中，支持力对滑块做负功。
02
跟着楔块观察
暂停后选择“楔块系”。
你会看到： 底座停在画面中，地面基准开始移动。紫色惯性力出现，支持力对滑块做功变成零。
03
在同一时刻比较
来回切换两个参考系。
你会看到： 试验和时刻保留，所选系中的速率、功和动能一起改变。
04
驱动滑块上坡
选“驱动上滑”，查看相对斜面速度。
你会看到： 向右加速的支架可以让滑块相对上滑；外力功和冲量解释地面系的变化。
05
让滑块随底座一起走
选“随楔块平移”。
你会看到： 两个物体一起水平加速，滑块相对斜面的位置不变。
06
抓住相对转向点
选“向上释放”，展开“功、约束与诊断”，点“精确零速度”，再前进一毫秒。
你会看到： 相对速度归零后变号，滑块开始沿斜面向下运动。

核心数学模型

两个坐标描述运动

两者相互影响的运动方程

反冲与支持力

地面系的动量与能量

支持力对两物体做功

跟随加速的楔块

常见难点

底座的运动也会改变滑动

功需要说明参考系

惯性力来自加速的观察方式

动手实验

先放开底座

跟着楔块观察

在同一时刻比较

驱动滑块上坡

让滑块随底座一起走

抓住相对转向点