跳到主要内容
Sandbox Physics

M016 · 牛顿接触力学

可移动楔块与滑块

水平可动楔块与无摩擦滑块形成耦合运动。改变两物体质量、坡角、释放位置与初始相对速度，对楔块施加有正负方向的水平力。对比固定底座参考，检查相互作用力，并核对水平冲量与支持力传递的能量。

交互模型可移动楔块与滑块
记录时刻0 s0\,\mathrm{s}
斜面向下坐标1.4 m1.4\,\mathrm{m}
沿斜面速度0 m/s0\,\mathrm{m/s}
沿斜面加速度0 m/s20\,\mathrm{m/s^2}
滑块所受支持力0 N0\,\mathrm{N}
楔块位移0 m0\,\mathrm{m}
楔块速度0 m/s0\,\mathrm{m/s}
楔块加速度0 m/s20\,\mathrm{m/s^2}
滑块动能0 J0\,\mathrm{J}
楔块动能0 J0\,\mathrm{J}
支持力对滑块做功0 J0\,\mathrm{J}
水平外力做功0 J0\,\mathrm{J}
总水平动量0 kg ms0\,\mathrm{\frac{kg\,m}{s}}
水平冲量残差0 kg ms0\,\mathrm{\frac{kg\,m}{s}}
记录结束时刻0 s0\,\mathrm{s}
能量账本残差0 J0\,\mathrm{J}

物理教程

运动约束会同时改变轨迹与做功

背景熟悉的斜面公式假设支撑固定。放开楔块后，其水平反冲与滑块沿斜面的运动相互耦合。

为什么值得理解牛顿方程与水平动量守恒给出双坐标精确解。OpenStax 5.7 与 9.3 提供系统受力边界与动量原则；运动楔块推导记录在本仓库文档中。

先抓重点

核心问题
无摩擦的支持力能在两物体之间传递能量吗？
一句话直觉
支持力沿相对斜面运动不做功，却能通过平移接触在地面系中把能量从一个物体传给另一个。

核心数学模型

定义两个坐标

xb=X+(s−ℓ/2)cos⁡θ,yb=(ℓ−s)sin⁡θx_b=X+(s-\ell/2)\cos\theta,\qquad y_b=(\ell-s)\sin\theta

楔块的地面坐标向右为正，滑块相对坐标沿斜面向下。绘制滑块的恒定法向示意偏移不改变加速度与能量差。

耦合牛顿方程

(M+m)X¨+mcos⁡θ s¨=H,s¨+cos⁡θ X¨=gsin⁡θ(M+m)\ddot X+m\cos\theta\,\ddot s=H,\qquad\ddot s+\cos\theta\,\ddot X=g\sin\theta

第一式是两物体的水平动量平衡，第二式将滑块方程投影至无摩擦斜面。水平外力只作用于楔块。

反冲与接触

X¨=H−mgsin⁡θcos⁡θM+msin⁡2θ,N=m(gcos⁡θ+X¨sin⁡θ)\ddot X=\frac{H-mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta},\qquad N=m(g\cos\theta+\ddot X\sin\theta)

无外力时楔块向左反冲。允许控制范围内支持力始终为正。本模型不发生脱离。

动量与总能量

px=(M+m)X˙+ms˙cos⁡θ=px(0)+Ht,Δ(Kb+Kw+U)=H(X−X0)p_x=(M+m)\dot X+m\dot s\cos\theta=p_x(0)+Ht,\qquad\Delta(K_b+K_w+U)=H(X-X_0)

两份动能均在地面系计算，包含滑块速度的交叉项。外力为零时，总能量与水平动量保持不变。

无摩擦接触也能交换功

WN,b=Nsin⁡θ (X−X0),WN,w=−WN,bW_{N,b}=N\sin\theta\,(X-X_0),\qquad W_{N,w}=-W_{N,b}

支持力垂直于沿斜面的相对位移，却未必垂直于滑块在地面系中的位移。它能在两物体之间传递能量，而内部总做功相抵。

常见难点

固定底座公式有适用边界

容易误解同一坡角下，滑块向下加速度始终相同。

正确理解运动楔块改变约束加速度。将自由楔块、重底座与灰色固定底座参考比较。

支持力可在地面系做功

容易误解支持力永远不做功。

正确理解它沿相对运动不做功，却能通过平移支撑传递能量。两物体的支持力做功互为相反数。

参考系力并非新的接触力

容易误解动画在惯性系中额外添加离心力或惯性力。

正确理解三维箭头只显示实际物理力。相对加速度来自地面系约束方程。

动手实验

  1. 01

    释放底座

    使用自由楔块场景并完成记录。

    应该观察到： 楔块向左的动量平衡滑块动量，相对滑动比固定底座参考更快。
  2. 02

    加重底座

    保持滑块与坡角，增加楔块质量。

    应该观察到： 反冲减小，滑块运动接近固定底座极限。
  3. 03

    驱动楔块

    选择驱动上滑并检查相对速度。

    应该观察到： 加速支撑能使无摩擦滑块上滑，外力做功与冲量核对其运动。
  4. 04

    检查能量传递

    显示接触反力并检查支持力做功。

    应该观察到： 滑块与楔块通过接触交换动能，不发生摩擦耗散。