Q007 · 位移更大，留下的事件更少

弱测量与条件指针

弱测量里要把指针位移放大，得舍弃多少事件？ 大部分事件。检偏器转到接近正交，选中事件的指针平均位移确实放大了，可通过的只剩很小一部分。算代价要把所有试验都算上，从另一端口出去的、根本没响的都得计入，不能只看那点位移。

准备一束 Gaussian 光，用双折射晶体把它的两个偏振分量错开，再选定分析器方向。记录两块位置传感器，比较选中光斑和整束光的质心，也看看另一个端口留下了什么。

探测前理想选中比例 $\text{—}$

完整模型的理想选中质心 $\text{—}$

先做一个预测

选中光斑位移更大，就一定测得更准吗？

晶体让两个分量各移动一点，分析器改变它们的干涉。把位移、光斑宽度和保留下来的点击数放在一起比较。

先选一个预测，再采集并查看记录。

还没有采集事件。回放只演示几种模式，不会增加记录。

一次只改一个条件

比较对照

分析器基角度

\beta

-40^{\circ}

偏振分量间距

d

0.1\,\mathrm{mm}

输入强度标准差

\sigma

0.6\,\mathrm{mm}

拖动橙色的分析器轴，也可以用滑块和键盘设置。

制备、相干与探测设置

制备偏振角

\alpha

45^{\circ}

偏振相对相位

\varphi

0^{\circ}

探测效率

\eta

1

传感器半窗口

W

3\,\mathrm{mm}

坐标噪声标准差

\sigma_{\mathrm{read}}

0\,\mathrm{mm}

每组发射试次

N

3000

采样种子

\mathrm{seed}

1991

模型是一维近轴光学，Gaussian 振幅按精确平移计算；晶体造成的位移在成像后的传感器平面上定义。两个端口和没有点击的试次，都算进总试次。有限的探测窗口、坐标噪声和像素化在采集时起作用。经典相干光也有这个效应；单凭位移大，证明不了精度更高。

同一批点击说明了什么

模拟探测事件

这个位移要花多少次点击

采集事件后查看。

上图：每个分组各自归一化，用来比较形状；灰线是理想的选中形状。下图：按每次发射、每毫米计数，能看出丢掉了多少样本；橙加蓝等于白色总量，灰线是理想总分布。两条灰线都没有计入损失、窗口、噪声和像素化。

每发射试次选中比例与 95% Wilson 范围

\text{—}

选中质心与经验标准误

\text{—}

全部点击质心与经验标准误

\text{—}

采集到事件后才能估计。

质心只用像素记录计算。标准误由样本方差得出，分组攒够 20 个点击后才显示。它们不是精确的置信区间，不能拿来比精度。有限窗口会让质心偏移。

由像素记录重算的点击数、质心与标准误
分组	点击	质心 (mm)	标准误 (mm)

最近 12 个原始试次；CSV 包含全部试次
试次	分析端口	位置 (mm)

先抓重点

核心问题: 制备和后选择完全正交时，实际光斑会怎样？
一句话直觉: 无论耦合强弱，都用完整平移后的波形。另一个端口和没有点击的试次都要算上，选中质心只用真正观测到的位置来算。

核心数学模型

归一化输入指针

\psi(x)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}e^{-x^2/(4\sigma^2)}

宽度指输入强度的标准差。横向坐标、分离量和探测器宽度都以毫米计，在放大率为一的传感器成像平面上量取。

选中端口的精确振幅

f_+(x)=a\psi(x-d/2)+b e^{i\varphi}\psi(x+d/2),\quad a=\cos\alpha\cos\beta,\quad b=\sin\alpha\sin\beta

制备决定偏振和相对相位。晶体把两个分量往相反方向平移，分析器正交的那一行给出另一个出口。采样分布没有用弱耦合展开。

选中概率与理想质心的精确值

P_+=a^2+b^2+2ab\cos\varphi\,e^{-d^2/(8\sigma^2)},\quad \langle x\rangle_+=\frac{d(a^2-b^2)}{2P_+}

这些是无限大理想传感器上的数值，只作参考。选中概率为零时，质心没有定义。窗口和损耗会改变观测到的比例，窗口边缘的裁切还会让观测质心偏移。

两端口之和保持不变

|f_+(x)|^2+|f_-(x)|^2=\cos^2\alpha\,|\psi(x-d/2)|^2+\sin^2\alpha\,|\psi(x+d/2)|^2

总分布与分析基无关。它的两个 Gaussian 分量只用来抽样，不会把隐藏的偏振路径当作观测记录下来。

弱值公式的适用范围

A_w=\frac{a-b e^{i\varphi}}{a+b e^{i\varphi}},\quad \langle x\rangle_+\approx\frac d2\operatorname{Re}A_w

公式要求分母不为零，而且引起的形变比束宽小得多。本实验始终用精确模型。制备与选择完全正交、耦合又不为零时，选中分布可以是对称的双峰，被选中的概率有限，质心为零。

测得的质心与样本代价

\widehat x_+=\frac1{N_+}\sum_{i\in +}x_i,\quad \mathrm{SE}(\widehat x_+)=\frac{s_+}{\sqrt{N_+}},\quad \widehat p_+=\frac{N_+}{N_{\mathrm{emit}}}

位置是取整到像素的探测坐标。选中点击少于 20 个时，不报告经验标准误；它也不是精确的置信区间。本实验没有证明资源相同时估计更好，也没有证明 Fisher 信息更高。

常见难点

光斑不会跑到无穷远

容易误解弱值没有定义，就说明探测器会看到无穷大的位移。

正确理解实际光斑由有限耦合下的波形决定；制备和后选择正交时，选中分布反而可以是对称的。

精度不会白白提高

容易误解质心位移大，就自动证明每个发射光子的灵敏度更高。

正确理解要说精度更高，得有明确的估计方法、相同的资源，以及一个拿来比较的测量。本实验展示位移和代价，但没有做这种比较。

经典光学也能实现

容易误解这种质心放大本身，就证明了光源是非经典的。

正确理解经典的相干偏振光也会产生同样的干涉；把数据当作光子计数，是本实验明确选用的采样解读。

动手实验

01
和整束光比较
用接近正交设置采集，再在相同的发射试次数下，和对齐分析器比较。
你会看到： 选中质心的位移可以超过任何一个分量本身的平移量，被选中的事件却少了很多。
02
看清位移的代价
查看两个端口的计数、无点击试次数和经验标准误，导出全部试次。
你会看到： 位移大，本身并不是在比较估计精度。留下的比例、光斑宽度、干扰参数和丢掉的信息，都会影响结论。
03
检验完全正交
选择完全正交，采集几组，再试无耦合且正交。
你会看到： 耦合有限时，留下一个很暗的对称双峰；耦合为零时，没有事件被选中，也就没有质心可估。
04
超出弱近似
先试强分离，再换成不完美的传感器或缩小窗口。
你会看到： 精确分布仍然有定义；无限大传感器上的理想质心，不一定等于裁切过、带噪声的像素质心。