跳到主要内容
Sandbox Physics

Q007 · 位移更大 / 保留更少

弱测量与条件指针

制备 Gaussian 光束，用双折射晶体分开两种偏振分量，再选择分析器方向。记录两块位置传感器，对照选中光斑和全部光束的质心，也查看另一端口留下了什么。

交互模型弱测量与条件指针
探测前理想选中比例—\text{—}
完整模型的理想选中质心—\text{—}
同一份原始记录中的证据

模拟探测事件

位移与样本成本

采集事件后查看。

上图：各观测分组分别归一化，比较形状；灰线是理想选中形状。下图：每发射试次、每毫米计数，保留样本成本；橙加蓝等于白色总量，灰线是理想总分布。两条灰线都在损失、窗口、噪声和像素化之前。

每发射试次选中比例与 95% Wilson 范围

—\text{—}

选中质心与经验标准误

—\text{—}

全部点击质心与经验标准误

—\text{—}

采集后再进行推断。

质心只用像素记录计算；标准误来自样本方差，对应分组至少 20 个点击后才显示。它们不是精确置信区间，也不构成精度对比。有限窗口会改变质心。

从像素记录重算的预算与矩
分组点击质心 (mm)标准误 (mm)
最近 12 个原始试次；CSV 包含全部试次
试次分析端口位置 (mm)

物理教程

大质心位移不是免费的测量

背景双折射晶体把两种偏振分量沿横向相反移动。分析器把它们的振幅组合到两个出口。接近正交时，相消干涉可以留下偏移却很暗的选中光斑。

为什么值得理解选中位置分布、方差和保留比例都重要。完全正交的分析器还揭示了常用弱值公式不再有定义的地方。

先抓重点

核心问题
制备和后选择完全正交时，实际光斑会怎样？
一句话直觉
任何耦合强度都使用完整平移波形。记录另一端口和无点击成本，再仅用观测位置计算选中质心。

核心数学模型

归一化输入指针

ψ(x)=(2πσ2)−1/4e−x2/(4σ2)\psi(x)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}e^{-x^2/(4\sigma^2)}

宽度是输入强度标准差。横向坐标、分离量和探测宽度都以单位放大率传感器平面上的毫米计。

完整选中振幅

f+(x)=aψ(x−d/2)+beiφψ(x+d/2),a=cos⁡αcos⁡β,b=sin⁡αsin⁡βf_+(x)=a\psi(x-d/2)+b e^{i\varphi}\psi(x+d/2),\quad a=\cos\alpha\cos\beta,\quad b=\sin\alpha\sin\beta

制备设定偏振与相对相位；晶体提供相反平移，正交分析器行得到另一出口。采样分布不用弱耦合展开。

选中概率与完整理想质心

P+=a2+b2+2abcos⁡φ e−d2/(8σ2),⟨x⟩+=d(a2−b2)2P+P_+=a^2+b^2+2ab\cos\varphi\,e^{-d^2/(8\sigma^2)},\quad \langle x\rangle_+=\frac{d(a^2-b^2)}{2P_+}

这些无限传感器理想值只供参考。选中概率为零时，质心无定义。窗口和损失改变观测比例，窗口裁切还会改变观测质心。

两端口之和保持不变

∣f+(x)∣2+∣f−(x)∣2=cos⁡2α ∣ψ(x−d/2)∣2+sin⁡2α ∣ψ(x+d/2)∣2|f_+(x)|^2+|f_-(x)|^2=\cos^2\alpha\,|\psi(x-d/2)|^2+\sin^2\alpha\,|\psi(x+d/2)|^2

总分布与分析基无关。两个 Gaussian 分量构成采样提议；不会把隐藏偏振轨迹记成观测。

有条件的弱值展开

Aw=a−beiφa+beiφ,⟨x⟩+≈d2Re⁡AwA_w=\frac{a-b e^{i\varphi}}{a+b e^{i\varphi}},\quad \langle x\rangle_+\approx\frac d2\operatorname{Re}A_w

分母必须非零，诱导形变须相对束宽很小。本实验始终用完整模型。完全正交且耦合非零时，选中分布可以是对称双峰，保留概率有限，质心为零。

记录质心与采样成本

x^+=1N+∑i∈+xi,SE(x^+)=s+N+,p^+=N+Nemit\widehat x_+=\frac1{N_+}\sum_{i\in +}x_i,\quad \mathrm{SE}(\widehat x_+)=\frac{s_+}{\sqrt{N_+}},\quad \widehat p_+=\frac{N_+}{N_{\mathrm{emit}}}

位置是像素化探测坐标。少于 20 个选中点击时不报告经验标准误；它不是精确置信区间。这里没有证明固定资源的估计优势或 Fisher 信息优势。

常见难点

不会出现无限光斑

容易误解弱值无定义就意味着探测器看到无限位移。

正确理解实际形状由有限耦合波形决定；正交制备与后选择也可以得到对称选中分布。

没有免费的精度增益

容易误解大质心自动证明每个发射光子的灵敏度更高。

正确理解精度比较需要明确估计器、同等资源和竞争测量。本实验呈现位移及成本，没有声称完成该比较。

经典光学也能实现

容易误解这个质心放大本身证明光源非经典。

正确理解经典相干偏振场也产生同一干涉；光子计数是这里明确的采样解释。

动手实验

  1. 01

    和全部光束比较

    以接近正交设置采集，再用相同发射试次数比较对齐分析器。

    应该观察到： 选中质心可以超出两个裸分量的平移量，选中样本却明显变少。
  2. 02

    保持成本可见

    查看两端口计数、无点击预算和经验标准误，导出全部试次。

    应该观察到： 大位移不是估计精度对比；保留比例、宽度、干扰参数和丢弃的信息也有影响。
  3. 03

    检验完全正交

    选择完全正交，采集几组，再试无耦合且正交。

    应该观察到： 有限耦合留下暗的对称双峰；无耦合时没有选中样本，也没有可估计的质心。
  4. 04

    走出弱近似

    试强分离，再改变传感器或缩小窗口。

    应该观察到： 完整分布仍然有定义；无限传感器的理想质心未必等于裁切、带噪的像素质心。