M056 · 自由刚体 / 中间轴不稳定

网球拍定理

分别绕三个主轴释放不对称刚体。旋转三维视角、设置微小横向自转，比较半周翻转与稳定旋转。跟随体轴角速度，并在角动量球与能量椭球的交线上观察运动。

实际经过时间 $\text{Pending}$

第一主惯量 $\text{Pending}$

第二主惯量 $\text{Pending}$

第三主惯量 $\text{Pending}$

第一体轴角速度 $\text{Pending}$

第二体轴角速度 $\text{Pending}$

第三体轴角速度 $\text{Pending}$

所选轴偏离角 $\text{Pending}$

本体转动动能 $\text{Pending}$

总角动量大小 $\text{Pending}$

设置状态 $\text{Pending}$

局部增长或摆动速率 $\text{Pending}$

最大归一化账本误差 $\text{Pending}$

两步长姿态角差 $\text{Pending}$

世界角动量误差 $\text{Pending}$

设置 / 比较 / 核验

设置刚体初态

显示角动量与轴线箭头长度分别归一化。装置尺寸共用比例；地球与轨道为插图背景。刚体质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

第一轴尺寸

a

0.60\,\mathrm{m}

第二轴尺寸

b

0.35\,\mathrm{m}

第三轴尺寸

c

0.08\,\mathrm{m}

设置主轴编号

j

2.00\,

初始主轴自转

\Omega

8.00\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

横向自转比例

\epsilon

0.02\,

记录时长

T

8.00\,\mathrm{s}

回放比例

t/T

0.00\,\%

第一、第二、第三轴对应装置尺寸；编辑形状后惯量顺序可能改变。其余两轴的初始角速度各为横向比例乘主轴自转绝对值。拖动橙色手柄修改比例。精确无扰动旋转不能检验稳定性。

自由空间中的均匀长方体，忽略外力矩、阻尼、形变和碰撞。名称指该定理；装置模型为长方体，并非标定后的真实网球拍。面条纹是无质量视觉标记。相机跟随质心；平移与转动解耦。主轴编号跟随尺寸，不一定对应惯量大小顺序。线性增长或振荡速率只是局部估计；大幅翻转使用完整非线性方程。精确无扰动主轴旋转始终是解，包括不稳定轴。投影球面与椭球共用体坐标角动量。完整曲线包含未来计算样本。快速自转可能受屏幕帧率混叠；暂停后用精细单步观察。

先抓重点

核心问题: 哪个主轴会放大微小横向自转？
一句话直觉: 中间惯量产生局部指数增长。非线性运动反复翻转体轴，但不改变守恒的世界矢量。

核心数学模型

主惯量

I_1=\frac{m(b^2+c^2)}{12},\quad I_2=\frac{m(a^2+c^2)}{12},\quad I_3=\frac{m(a^2+b^2)}{12}

尺寸变化可重排惯量大小；编号始终固定在刚体上。

欧拉方程

I_1\dot\omega_1=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3\quad\text{and cyclic permutations}

没有力矩不代表体轴角速度恒定；体坐标系本身在旋转。

世界角动量

\mathbf L=R I\boldsymbol\omega_b,\qquad\dot{\mathbf L}=\mathbf 0

惯性系矢量固定，但在运动体坐标中的分量改变。

角动量球与能量椭球

\sum_i L_{b,i}^2=|\mathbf L|^2,\qquad\sum_i\frac{L_{b,i}^2}{I_i}=2E

两个约束都使用体坐标角动量而非角速度；青色轨迹位于交线。

中间轴局部增长

\lambda=|\Omega|\sqrt{\frac{(I_j-I_{\min})(I_{\max}-I_j)}{I_{\min}I_{\max}}}

仅在所选轴惯量严格居中时有此正增长率；它是无穷小估计，不是翻转频率。

稳定轴振荡

\nu=|\Omega|\sqrt{\frac{(I_j-I_k)(I_j-I_\ell)}{I_k I_\ell}}

最小与最大惯量时乘积为正。重复惯量消去指数增长预测，并不意味着耗散收敛。

常见难点

无力矩就不会翻转

容易误解没有外力矩时，角速度必须固定。

正确理解世界角动量固定；各向异性惯量张量随物体旋转，会改变角速度。

第二轴总是中间轴

容易误解轴编号决定稳定性。

正确理解编辑尺寸后读取惯量；编号固定在刚体上。

动手实验

01
比较三个轴
选择最小、中间和最大惯量预设，再回看完整记录。
应该观察到： 中间轴释放会翻转所选轴；其余两种偏离保持很小。
02
扰动精确解
比较精确无扰动与极小扰动预设；拖动橙色幅度手柄。
应该观察到： 无扰动时不稳定解仍可精确保持；更小扰动推迟离开该状态。
03
跟随几何交线
在翻转附近暂停，观察体轴角速度与角动量几何。
应该观察到： 体坐标分量沿两张守恒曲面运动，世界角动量保持固定。
04
改变几何
令两个或三个尺寸相等，再比较质量缩放与步长误差。
应该观察到： 重复惯量改变局部增长定律；质量缩放改变能量和角动量而不改变姿态。