M056 · 自由刚体的中间轴不稳定

网球拍定理

自由物体绕中间那根轴旋转，为什么会一次次翻过来？ 因为绕中间轴转本身就不稳定。另外两个方向上一点点晃动，起初会指数式长大，物体一次又一次翻转，角动量和能量却始终不变。绕惯量最大或最小的轴转，只会轻轻摇晃。

让不对称刚体分别绕三个主轴自转，再加上一点微小的横向自转。转动三维视角，比较半周翻转和稳定旋转。观察体轴角速度，以及角动量球和能量椭球的交线。

实际经过时间 $\text{Pending}$

第一主惯量 $\text{Pending}$

第二主惯量 $\text{Pending}$

第三主惯量 $\text{Pending}$

第一体轴角速度 $\text{Pending}$

第二体轴角速度 $\text{Pending}$

第三体轴角速度 $\text{Pending}$

所选轴偏离角 $\text{Pending}$

本体转动动能 $\text{Pending}$

总角动量大小 $\text{Pending}$

设置状态 $\text{Pending}$

局部增长或摆动速率 $\text{Pending}$

最大归一化能量收支误差 $\text{Pending}$

两步长姿态角差 $\text{Pending}$

世界角动量误差 $\text{Pending}$

设置、比较，再验证

设置刚体初态

显示角动量与轴线每种箭头的长度各自归一化。装置尺寸共用一个比例；地球和轨道只是插图背景。刚体质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

第一轴尺寸

a

0.60\,\mathrm{m}

第二轴尺寸

b

0.35\,\mathrm{m}

第三轴尺寸

c

0.08\,\mathrm{m}

设置主轴编号

j

2.00\,

初始主轴自转

\Omega

8.00\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

横向自转比例

\epsilon

0.02\,

记录时长

T

8.00\,\mathrm{s}

回放比例

t/T

0.00\,\%

第一、二、三轴跟着装置的尺寸走，改了形状，三根轴按惯量大小的排序就可能变。另外两根轴的初始角速度，各等于横向比例乘以主轴自转角速度的绝对值。拖动橙色手柄可以改这个比例。完全没有扰动的旋转检验不了稳定性。

物体是自由空间里的均匀长方体，不受外力矩，也不考虑阻尼、形变和碰撞。定理以网球拍命名，模型却是长方体，不是标定过的真实球拍。面上的条纹是无质量的标记。相机跟随质心，平动与转动互不影响。主轴按尺寸编号，编号不一定对应惯量大小顺序。线性增长率和振荡速率只是局部估计；大幅翻转用完整的非线性方程计算。不加扰动、精确绕主轴的旋转始终是精确解，绕不稳定轴也一样。球面和椭球画在同一套体坐标角动量坐标里。完整记录的曲线包含已经算好的后续时刻样本。自转太快时，屏幕帧率可能造成混叠；暂停后用精细单步观察。

先抓重点

核心问题: 绕哪个主轴自转时，微小的横向自转会被放大？
一句话直觉: 绕中间惯量轴自转时，小扰动起初按指数增长；随后的非线性运动让体轴一次次翻转，守恒的角动量矢量在空间中始终不变。

核心数学模型

长方体的主惯量

I_1=\frac{m(b^2+c^2)}{12},\quad I_2=\frac{m(a^2+c^2)}{12},\quad I_3=\frac{m(a^2+b^2)}{12}

改变尺寸可能打乱惯量的大小顺序，但轴的编号始终跟着刚体。

欧拉方程

I_1\dot\omega_1=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3\quad\text{and cyclic permutations}

没有力矩，体坐标系里的角速度也可能变化，因为体坐标系本身在转。

惯性系中的角动量

\mathbf L=R I\boldsymbol\omega_b,\qquad\dot{\mathbf L}=\mathbf 0

这个矢量在惯性系中固定不动，它沿运动体轴的分量却在变。

角动量球与能量椭球

\sum_i L_{b,i}^2=|\mathbf L|^2,\qquad\sum_i\frac{L_{b,i}^2}{I_i}=2E

两个曲面都用体坐标角动量表示，不是角速度。青色轨迹就在两者的交线上。

中间轴附近的增长率

\lambda=|\Omega|\sqrt{\frac{(I_j-I_{\min})(I_{\max}-I_j)}{I_{\min}I_{\max}}}

只有所选轴的惯量严格居中时，才有这个正的增长率。它描述无穷小扰动刚开始怎样增长，不是翻转频率。

稳定轴附近的振荡

\nu=|\Omega|\sqrt{\frac{(I_j-I_k)(I_j-I_\ell)}{I_k I_\ell}}

对最小和最大惯量轴，根号里的乘积为正。两个惯量相等时，指数增长的预测不再成立，但这不代表运动会因耗散而停下来。

常见难点

没有力矩也会翻转

容易误解没有外力矩，角速度就应该保持不变。

正确理解保持不变的是惯性系中的角动量。刚体沿不同轴的惯量不同，物体一转，同样的角动量对应的角速度就跟着变。

轴的编号不决定稳定性

容易误解第二轴永远是中间轴，看编号就知道稳不稳定。

正确理解编号跟着刚体走。改了尺寸以后，要读出三个惯量，才知道哪根轴居中。

动手实验

01
比较三个轴
依次运行“最小惯量轴”“中间轴翻转”“最大惯量轴”预设，再点“回看完整记录”。
你会看到： 绕中间轴自转时，这根轴会翻过来；绕另外两个轴时，偏离始终很小。
02
扰动精确解
比较“精确无扰动”和“极小扰动”预设，再拖动橙色手柄改变扰动大小。
你会看到： 没有扰动时，不稳定的自转也能一直精确保持。初始扰动越小，离开这个状态就越晚。
03
跟随两个曲面的交线
在翻转附近暂停，观察体轴角速度，以及角动量球和能量椭球。
你会看到： 体坐标分量同时沿两个守恒曲面移动，惯性系中的角动量保持不变。
04
改变形状
让两个或三个尺寸相等，再比较改变质量的效果，以及不同步长下的误差。
你会看到： 惯量相等时，小偏离的增长规律随之改变。质量只按比例缩放能量和角动量，不改变姿态。