M060 · 卫星指向与角动量交换

卫星姿态与重力梯度

伸杆和动量轮，各能为卫星保持指向做些什么？ 伸杆能让卫星大致朝着地心：引力对近端拉得稍强，质量分布合适时，就形成恢复力矩。可没有阻尼，卫星会一直绕这个方向来回摆，停不下来。动量轮只能把角动量在轮和星体之间搬来搬去，去不掉，转到上限就饱和了。要减少总角动量，得靠外力矩。

用均匀本体和伸杆两端两个等质量的点搭一颗刚性卫星，改变它的惯量、轨道高度和初始翻滚。先比较自由转动和重力梯度引起的摆动，再驱动反作用轮，测一测它饱和前能吸收多少角动量。

实际经过时间 $\text{Pending}$

第一主惯量 $\text{Pending}$

第二主惯量 $\text{Pending}$

第三主惯量 $\text{Pending}$

第一体轴角速度 $\text{Pending}$

第二体轴角速度 $\text{Pending}$

第三体轴角速度 $\text{Pending}$

所选轴偏离角 $\text{Pending}$

本体转动动能 $\text{Pending}$

总角动量大小 $\text{Pending}$

设置状态 $\text{Pending}$

局部增长或摆动速率 $\text{Pending}$

最大归一化能量收支误差 $\text{Pending}$

两步长姿态角差 $\text{Pending}$

圆轨道周期 $\text{Pending}$

姿态相关势能 $\text{Pending}$

旋转系能量 $\text{Pending}$

电机对本体做功 $\text{Pending}$

带符号轮角动量 $\text{Pending}$

轮角动量容量 $\text{Pending}$

反作用轮指令状态 $\text{Pending}$

设置、比较，再验证

设置刚体初态

显示角动量与轴线每种箭头的长度各自归一化。装置尺寸共用一个比例；地球和轨道只是插图背景。卫星总质量

m

100.00\,\mathrm{kg}

本体第一轴尺寸

a

0.80\,\mathrm{m}

本体第二轴尺寸

b

1.20\,\mathrm{m}

本体第三轴尺寸

c

0.60\,\mathrm{m}

质心至每个端点质量

\ell

4.00\,\mathrm{m}

两端质量总比例

f

0.20\,

圆轨道高度

H

500.00\,\mathrm{km}

初始轨道平面内指向角

\theta_0

25.00\,{}^\circ

初始第一轴滚转角

\rho_0

8.00\,{}^\circ

第三轴附加速率

\delta\omega_3/n

0.00\,

第一轴附加速率

\delta\omega_1/n

0.00\,

重力梯度力矩开关

s

1.00\,

轮加速指令

u/(I_3n^2)

0.00\,

轮角动量容量

h_{\max}/(I_3n)

1.00\,

轨道圈数记录时长

nT/(2\pi)

2.00\,

回放比例

t/T

0.00\,\%

拖动橙色指向手柄。初始角速度先跟着轨道坐标系转，再叠加绕两个体轴的扰动。反作用轮绕第三体轴转；它的恒定加速指令最多持续四分之一圈轨道，轮子到达上限时会提前停止。这只是开环指令，没有指向控制器。局部速率估计只适用于对齐态附近、无驱动、在一个平面内的无穷小运动。

卫星沿事先给定的圆轨道运行，地球引力按球对称中心场计算，重力梯度力矩取主阶项。对齐时，第一体轴沿径向朝外；轨道法向是世界坐标系的第三轴。惯量由均匀本体和两个对称点质量决定；杆、面上的标记和画出的轮盘都只是示意，没有质量。理想反作用轮沿第三体轴储存相对本体的角动量，锁定时增加的惯量忽略不计；不模拟轮自身的动能、效率和功率上限。动能和电机功读数只算本体，不包括整个轮和电池系统。旋转系中的能量平衡计入了预设的轨道转动和电机做功。模型不考虑大气阻力、磁场、阻尼、伸杆弯曲、轨道偏心、轨道反馈、闭环控制和角动量卸载。因此，伸杆只让卫星来回摆，不会靠耗散停下来；关掉外力矩后，内部的轮也改变不了世界坐标系中的总角动量。轨道圈数决定无量纲时间；轨道高度改变以秒计的周期和国际单位制下的速率。画面自动统一放大，箭头长度经过归一化。

先抓重点

核心问题: 质量怎样分布，卫星才能一直沿径向指着？轮饱和以后又会怎样？
一句话直觉: 重力梯度是外力矩，反作用轮只是在内部搬运角动量。这个模型里两者都不耗散能量，运动不会自己停下来。

核心数学模型

轨道角速率与周期

n=\sqrt{\frac{\mu}{(R_E+H)^3}},\qquad P=\frac{2\pi}{n}

轨道越高，同一段按圈数计的姿态运动，换成秒就越长。圆轨道是事先给定的，模型不求解轨道。

带端点质量的伸杆惯量

I_1=I_{1,c},\quad I_2=I_{2,c}+fm\ell^2,\quad I_3=I_{3,c}+fm\ell^2

总质量的一部分放在伸杆两端，每端一半，其余留在本体上。

重力梯度力矩

\boldsymbol\tau_b=3n^2\hat{\mathbf r}_b\times I\hat{\mathbf r}_b

径向单位矢量取朝外还是朝向地心，力矩都一样：它在式中出现两次，两次变号正好抵消。卫星尺寸要远小于轨道半径，这个近似才成立。

理想反作用轮的角动量交换

\mathbf L=R(I\boldsymbol\omega_b+h\mathbf e_3),\quad\dot{\mathbf L}=R\boldsymbol\tau_b,\quad\dot h=u

轮只在自己和本体之间搬运角动量。关掉重力力矩后，即使轮正在加速，世界坐标系中的总角动量也不变。

绕径向的平面摆动

\ddot\theta+\frac{3n^2(I_2-I_1)}{2I_3}\sin(2\theta)=0

没有滚转、轮也不动作时，只要第二主惯量大于第一主惯量，卫星就绕径向来回摆。这条只含一个角度的方程，不能证明完整的三维运动也稳定。

旋转系中的能量平衡

J=\frac12\boldsymbol\omega_b\cdot I\boldsymbol\omega_b+\frac32 n^2\hat{\mathbf r}_b\cdot I\hat{\mathbf r}_b-nL_z,\quad\dot J=-u\omega_3

这个量只随电机对本体做的功变化，减去累计的电机功就得到守恒量。势能可以加上任意一个与姿态无关的常数。轮自身的能量和电池做的功不计入。

常见难点

伸杆最终会让摆动停下

容易误解重力梯度姿态既然稳定，卫星就该自己停到这个姿态上。

正确理解没有阻尼，能量守恒，摆动会一直持续。只在一个平面里有回复作用，也证明不了三维运动稳定。

轮能消掉角动量

容易误解内部的轮转快了，卫星的总角动量就少了。

正确理解本体和轮只是互相交换角动量。要把角动量卸掉，必须有外力矩。

动手实验

01
看看伸杆
比较“伸杆摆动”和“移除伸杆”两个预设，分别看全景、侧视和俯视。
你会看到： 端点质量改变了两个主惯量，重力梯度带来的转动也跟着变。
02
分开圈数和秒
在相同的回放位置，比较默认预设和“高圆轨道”预设。
你会看到： 按轨道圈数看，两者姿态一样；换成秒，经过的时间和角速度都不同。
03
驱动反作用轮
关掉外力矩，给轮下指令，比较总角动量和轮的角动量。
你会看到： 本体的转动随之改变，总角动量却不变；能量的变化等于电机做的功。
04
让轮饱和
选择“反作用轮饱和”预设，回看整段运行，再加上三维翻滚。
你会看到： 轮的角动量到达上限，指令就停了。要卸掉存下的角动量，必须有外力矩，模型里没有卸载机构。