M060 · 轨道姿态 / 内部角动量交换

卫星姿态与重力梯度

用均匀本体和两个等质量伸杆端点构建刚性卫星。改变惯量、轨道高度与初始翻滚。比较自由旋转和重力梯度摆动，再给有限容量反作用轮下达指令，测量饱和预算。

实际经过时间 $\text{Pending}$

第一主惯量 $\text{Pending}$

第二主惯量 $\text{Pending}$

第三主惯量 $\text{Pending}$

第一体轴角速度 $\text{Pending}$

第二体轴角速度 $\text{Pending}$

第三体轴角速度 $\text{Pending}$

所选轴偏离角 $\text{Pending}$

本体转动动能 $\text{Pending}$

总角动量大小 $\text{Pending}$

设置状态 $\text{Pending}$

局部增长或摆动速率 $\text{Pending}$

最大归一化账本误差 $\text{Pending}$

两步长姿态角差 $\text{Pending}$

圆轨道周期 $\text{Pending}$

姿态相关势能 $\text{Pending}$

旋转系能量 $\text{Pending}$

电机对本体做功 $\text{Pending}$

带符号轮角动量 $\text{Pending}$

轮角动量容量 $\text{Pending}$

反作用轮指令状态 $\text{Pending}$

设置 / 比较 / 核验

设置刚体初态

显示角动量与轴线箭头长度分别归一化。装置尺寸共用比例；地球与轨道为插图背景。卫星总质量

m

100.00\,\mathrm{kg}

本体第一轴尺寸

a

0.80\,\mathrm{m}

本体第二轴尺寸

b

1.20\,\mathrm{m}

本体第三轴尺寸

c

0.60\,\mathrm{m}

质心至每个端点质量

\ell

4.00\,\mathrm{m}

两端质量总比例

f

0.20\,

圆轨道高度

H

500.00\,\mathrm{km}

初始轨道平面内指向角

\theta_0

25.00\,{}^\circ

初始第一轴滚转角

\rho_0

8.00\,{}^\circ

第三轴附加速率

\delta\omega_3/n

0.00\,

第一轴附加速率

\delta\omega_1/n

0.00\,

重力梯度力矩开关

s

1.00\,

轮加速指令

u/(I_3n^2)

0.00\,

轮角动量容量

h_{\max}/(I_3n)

1.00\,

轨道圈数记录时长

nT/(2\pi)

2.00\,

回放比例

t/T

0.00\,\%

拖动橙色指向手柄。初始角速度先跟随轨道系，再加上两个体轴扰动。轮沿第三体轴旋转；恒定加速指令最多持续四分之一轨道，达到容量时提前停止。这是开环指令，不是指向控制器。局部速率估计仅适用于对齐态附近、无驱动的平面无穷小运动。

预设圆形地球轨道、球对称中心引力与主阶重力梯度力矩。对齐时第一体轴指向外径向，轨道法向为世界第三轴。均匀本体与对称点质量决定惯量；杆、面标记与显示的轮盘为无质量示意部件。理想轮沿第三体轴携带相对角动量，新增锁定惯量忽略不计；不模拟轮自身动能、效率与功率上限。动能与电机功读数指本体，不是完整轮与电池系统。旋转系能量账本包含预设轨道转动与电机做功。忽略阻力、磁场、阻尼、柔性杆、偏心轨道、轨道反馈、闭环控制与角动量卸载。重力梯度伸杆产生摆动，不会自行耗散收敛；关闭外力矩时，内部轮不能改变总世界角动量。轨道圈数设置无量纲时间；高度改变实际周期和国际单位制速率。装置自动统一放大；箭头长度归一化。

先抓重点

核心问题: 什么惯量配置支持径向指向，轮饱和后又会怎样？
一句话直觉: 重力梯度提供外力矩；轮重新分配内部角动量。模型中两者均不提供耗散收敛。

核心数学模型

轨道时间尺度

n=\sqrt{\frac{\mu}{(R_E+H)^3}},\qquad P=\frac{2\pi}{n}

高轨道使相同无量纲姿态轨迹在实际时间中变慢；模型预设圆轨道。

伸杆惯量

I_1=I_{1,c},\quad I_2=I_{2,c}+fm\ell^2,\quad I_3=I_{3,c}+fm\ell^2

本体质量比例为一减端点总比例；两端各占端点质量的一半。

重力梯度力矩

\boldsymbol\tau_b=3n^2\hat{\mathbf r}_b\times I\hat{\mathbf r}_b

向外径向与向内天底产生相同力矩，因为两项同时变号。近似要求装置尺寸远小于轨道半径。

理想轮角动量交换

\mathbf L=R(I\boldsymbol\omega_b+h\mathbf e_3),\quad\dot{\mathbf L}=R\boldsymbol\tau_b,\quad\dot h=u

轮改变内部角动量分配。关闭重力力矩时，即使执行指令，总世界角动量也固定。

平面对齐极限

\ddot\theta+\frac{3n^2(I_2-I_1)}{2I_3}\sin(2\theta)=0

零滚转、无轮指令时，第二惯量大于第一惯量会在径向附近摆动。这个标量极限不证明完整三维稳定性。

旋转系做功账本

J=\frac12\boldsymbol\omega_b\cdot I\boldsymbol\omega_b+\frac32 n^2\hat{\mathbf r}_b\cdot I\hat{\mathbf r}_b-nL_z,\quad\dot J=-u\omega_3

减去电机对本体的累计功得到守恒账本。势能略去与姿态无关的任意常数；不包含轮自身能量与电池功。

常见难点

伸杆最终会停止摆动

容易误解稳定的重力梯度姿态必然自行收敛。

正确理解没有阻尼时保守摆动会持续；平面回复速率不能单独证明三维稳定性。

轮能删除角动量

容易误解内部轮加速会移除卫星总角动量。

正确理解本体与轮交换角动量；卸载需要外力矩。

动手实验

01
检查伸杆
比较伸杆摆动和移除伸杆预设；检查全景、侧视和俯视。
应该观察到： 端点质量改变两个主惯量及重力梯度响应。
02
区分轨道与实际时间
在相同回放比例下比较默认和高轨道预设。
应该观察到： 无量纲姿态相同，但实际经过时间和角速度不同。
03
驱动反作用轮
关闭外力矩、执行轮指令，比较总角动量与轮角动量。
应该观察到： 本体会响应，但总世界角动量固定；能量变化与电机功对应。
04
达到容量
选择轮饱和并回看完整记录，再加入三维翻滚。
应该观察到： 达到容量时指令停止。移除储存角动量需要外力矩；模型没有卸载机构。