Q046 · 相位钟 / 有限精度

量子相位估计

量子相位估计每多读出一位，演化要多做多少？ 翻一倍。每多一个计数比特，最长的受控演化就加倍。逆 Fourier 变换把概率集中到离真实相位最近的格点；真实相位若落在两个格点之间，结果仍会散到相邻几个答案上。

在相位钟上设定相位，选好计数寄存器的位数，看受控演化在上面写出一组相位。逆 Fourier 变换把这组相位变成一个能测出来的数。采集直方图，再比较得到的精度和花掉的总演化次数。

相位网格间隔（周） $\text{—}$

每试次单位演化次数 $\text{—}$

做一个预测

相位落在两个格点之间，重复测量会得到什么？

转动橙色相位钟，增加计数位，采集读出。把网格间隔与演化成本放在一起比较。

先试几个对照情形，再用记录的数据检验预测。

查看某一步；采集始终执行完整电路

回放显示模型，不增加采样事件。

一次只改一个条件

比较对照

第一本征相位（周）

\theta_0

0.375

计数量子比特

m

3

第一本征态权重

w

1.000

拖动钟面或使用相位滑块。改变位数会保留对照记录。

误差、资源与采样

第二本征相位（周）

\theta_1

0.750

每单位演化的相位偏差（周）

\delta

0.000

每比特读出翻转概率

p_{\mathrm{read}}

0.000

每设置采样次数

N_{\mathrm{shots}}

400

随机种子

s

1998

用经典计算机模拟一个给定的对角单量子比特酉算符，以及二到六个量子比特的计数寄存器。两个本征态的相干叠加，在计数读出里表现为混合分布。模型包含两种误差：系统相位偏差，以及各位独立的读出翻转。钟面指针表示相位，不是空间运动；本页也不展示运行时间上的加速。

证据与查询次数

模拟测量记录

重复读出的数字

采集后查看记录。

彩色柱和点来自记录，灰色细标记是计入当前误差设置的模型。误差棒是输出比例或成功率的逐点 95% Wilson 区间。它不是相位置信区间，也不是同时置信带；看着数据决定何时停止时，它也不再有保证。

当前记录中出现最多的相位格点

\text{—}

当前位数的试次数

\text{—}

全部记录的单位演化次数

\text{—}

出现最多的格点只由计数决定。样本越多，频率越稳定，但寄存器网格不会变。没有单独的校准，就无法把偏差和本征相位区分开；输入含两个本征态时，可能出现两个峰。

从可导出的试次重算
位数	试次	众数整数	单位演化次数

最近 12 次；CSV 保留全部试次
试次	设置	报告比特串	整数	电路查询

先抓重点

核心问题: 格点数翻倍，真的只要多做一次基本演化吗？
一句话直觉: 每多一个计数位，最长的受控演化就翻一倍。Fourier 干涉把概率集中到相位附近的格点上；相位如果落在格点之间，读数仍可能有好几个。

核心数学模型

酉算符与输入态

U=\operatorname{diag}(e^{2\pi i\theta_0},e^{2\pi i\theta_1}),\quad |\psi\rangle=\sqrt w|0\rangle+\sqrt{1-w}|1\rangle

两个输入振幅是相干的。只测计数寄存器，分不出这个叠加态和权重相同的非相干混合。

受控幂

|x\rangle|j\rangle\longmapsto e^{2\pi ix(\theta_j+\delta)}|x\rangle|j\rangle

整数标记计数基态。每次单位演化都加上同样的偏差，受控幂越高，偏差被放大的倍数就越大。

逆 Fourier 振幅

a_y(\theta)=\frac{1}{L}\sum_{x=0}^{L-1}e^{2\pi ix(\theta-y/L)},\quad L=2^m

对每个目标分支做一次精确的有限 Fourier 变换。电路图里的控制位从最低有效位开始数，输出比特串则把最高有效位写在前面。

对目标寄存器取迹

P(y)=w|a_y(\theta_0+\delta)|^2+(1-w)|a_y(\theta_1+\delta)|^2

目标态彼此正交，它们的寄存器又没有被测量，交叉项就消失了。出现两个峰，说明有两个相位，并不是测到了介于两者之间的某一个相位。

分辨率与总演化次数

\Delta\theta=2^{-m},\qquad C_U=\sum_{j=0}^{m-1}2^j=2^m-1

这里把酉算符当作黑箱，数单位演化一共重复了多少次。编译后的高次幂门可能有不同的实现成本；这里不估算硬件时间。

取出现最多的格点

\widehat y\in\operatorname*{arg\,max}_y N_y,\quad\widehat\theta=\widehat y/2^m

出现次数最多的格点只根据报告的结果来定，并列的就保持并列。它不是连续相位的最大似然拟合，也不给出相位的置信区间。

常见难点

钟面不是粒子

容易误解指针代表量子比特在空间里转动。

正确理解指针画的是数学上的相位。每一行代表一步操作，不是粒子轨迹。

相位会绕回

容易误解相位为零和相位为一整圈，差得很远。

正确理解二者对应同一个本征值。相位靠近这个边界时，最后一个格点和第一个格点都可能出现概率。

模型曲线与采样

容易误解灰色模型曲线是从探测器的点击数据重建出来的。

正确理解灰色曲线按当前设置由模型算出。彩色柱和众数估计只用采样结果。比例的误差棒并不能限定未知相位的范围。

动手实验

01
先落在格点上
选择恰好落在格点，在无读出误差时采集。
你会看到： 默认本征相位能用二进制精确表示，所有输出都一样。
02
移到格点之间
选择处于两个格点之间，分别用 2–6 位采集并对照。
你会看到： 格点变细，峰就变窄，单位演化次数却在增加。位数不变时多采样，格点也不会变细。
03
制备两个本征态
选择两个本征相位，改变第一态权重。
你会看到： 两个峰的高度跟着变。每次测量从本征谱里取出一个相位，不会给出它们的平均值。
04
区分精度与偏差
选择系统偏差，再增加位数。
你会看到： 分布变窄了，中心却仍可能落在有偏的相位上。多加几位并不能校准酉算符。