Q047 · 标记 / 反射 / 停止

Grover 振幅放大

再做一轮，答案反而更难找到？ 会。每做一次 oracle 加反射，量子态就朝目标转过一个固定角度。超过最佳轮数就转过了头，成功概率反而下降。什么时候停，很关键。

选一个小搜索空间，标出目标条目，再一轮一轮往前走。跟着相位 oracle 和均值反射，看概率流向目标，又从目标流走。对读出采样，根据测到的成功率决定在哪一轮停下。

读出前目标概率 $\text{—}$

每试次电路 oracle 查询 $\text{—}$

做一个预测

增加 oracle 查询，总能提高找到目标的概率吗？

橙色边框标出目标。拖动轮数选择条，采集一组轮数扫描，再按测得的成功率决定何时停下。

先试几个对照情形，再用记录的数据检验预测。

查看某一步；采集始终执行完整电路

回放显示模型，不增加采样事件。

一次只改一个条件

比较对照

Oracle 与反射轮数

k

3

搜索量子比特

n

4

目标条目数

M

1

拖动轮数选择条或使用滑块。改变轮数，扫描会保留；改变 oracle，就开始新记录。

误差、资源与采样

首个目标编号；其余目标依次排列，越过末尾就回到开头

j_0

0

Oracle 相位偏移

\epsilon_O

0^{\circ}

反射相位偏移

\epsilon_D

0^{\circ}

每比特读出翻转概率

p_{\mathrm{read}}

0.000

每设置采样次数

N_{\mathrm{shots}}

400

随机种子

s

1996

对四到六十四个条目，完整模拟复数状态向量。目标集合事先写进教学用的 oracle，并不是在真实数据库里查找。Oracle 和反射里的相位偏移属于相干误差；经典比特翻转作用在最后的读出上。电路中的查询单独计数；每个结果还要再用一次查询验证是不是目标，这一次也单独计数。没有计入 oracle 的构造成本和硬件成本。

证据与查询次数

模拟测量记录

寻找停止点

采集后查看记录。

彩色柱和点来自记录，灰色细标记是计入当前误差设置的模型。误差棒是输出比例或成功率的逐点 95% Wilson 区间。它不是相位置信区间，也不是同时置信带；看着数据决定何时停止时，它也不再有保证。

记录成功率与 95% Wilson 范围

\text{—}

已采样轮数中成功率最高的一轮

\text{—}

全部电路查询 / 结果验证查询

\text{—}

成功率最高的那一轮只是对这次有限扫描的描述，不是经过认证的最优值。每个输出都要用已知的教学 oracle 检验，这会多算一次验证查询。这里没有演示如何用真实数据构造 oracle，也没有展示硬件优势。

从可导出的试次重算
轮数	试次	成功	电路 / 验证查询

最近 12 次；CSV 保留全部试次
试次	设置	报告比特串	整数	电路查询

先抓重点

核心问题: 测过的轮数里，哪一轮实测成功率最高？这次扫描一共用了多少次查询？
一句话直觉: 单靠 oracle 不改变任何概率，改变概率的是反射里的干涉。两步合起来让理想状态不停地转，停在哪一轮就很要紧。

核心数学模型

均匀制备

|s\rangle=\frac{1}{\sqrt N}\sum_{x=0}^{N-1}|x\rangle,\quad N=2^n

目标是从选定编号开始的一串连续条目，排到末尾就绕回开头。模拟器事先知道它们。

相位 oracle

O_{\epsilon_O}|x\rangle=\begin{cases}e^{i(\pi+\epsilon_O)}|x\rangle&x\in\mathcal M\\|x\rangle&x\notin\mathcal M\end{cases}

相位偏移以度输入，计算时换成弧度。这种相干误差和随机的比特翻转不是一回事。

含相位误差的反射

D_{\epsilon_D}=-I+\bigl(1-e^{i(\pi+\epsilon_D)}\bigr)|s\rangle\langle s|

前面的整体负号让无误差的算符正好是常见的均值反射。有误差时，算符仍然是酉的。

完整电路

|\psi_k\rangle=(D_{\epsilon_D}O_{\epsilon_O})^k|s\rangle

每个复振幅都逐步更新。可以查看任意一次 oracle 或反射刚做完时的状态。

理想情况的旋转公式

P_{\mathcal M}(k)=\sin^2((2k+1)\alpha),\quad\sin^2\alpha=M/N

这个旋转公式只在相位理想、还没有读出误差时成立。它用来独立对照，状态向量不是用它算的。

实测成功率与电路成本

\widehat P_{\mathcal M}(k)=N_{\mathrm{success},k}/N_{\mathrm{shots},k},\quad C_O=kN_{\mathrm{shots},k}

每个报告的输出还要拿目标集合验证一次，这次额外查询单独记在验证查询里。

常见难点

Oracle 本身也有成本

容易误解模拟器在真实数据库里找出了一个秘密。

正确理解目标集合是事先交给教学 oracle 的。构造真实的 oracle 可能很昂贵，这个模型没有考虑这部分成本。

负振幅不是负概率

容易误解箭头朝负方向，就表示概率是负的。

正确理解箭头方向是复相位，长度是振幅的模。概率是模的平方，永远不会是负的。

动画快不等于量子优势

容易误解浏览器动画很快，所以证明了量子优势。

正确理解这里只是一个小规模的经典模拟。查询计数描述的是这个模型，不是真实量子硬件上的测量，也不是和经典搜索的完整对比。

动手实验

01
先看相位，再看概率
选择尚未放大，设为一轮，查看 oracle 那一步。
你会看到： 目标振幅改变符号，此时概率还没有上升。
02
停在峰值，再转过头
比较在峰值附近停下与转过了头。
你会看到： 同样的目标，多做几轮后反而可能难找得多。
03
根据数据选轮数
采集完整的轮数扫描。
你会看到： 成功比例会有涨落。观测到的最高那一轮只描述这批有限数据，不保证就是最优轮数。
04
加入误差
分别尝试不完美 oracle 与读出翻转。
你会看到： 相干相位误差在演化过程中改变振幅；读出翻转则在演化结束后改动报告的比特串。