M059 · 地球自转 / 两个时间尺度

傅科摆与地球自转

傅科摆的摆长能改变摆动周期，为什么改变不了摆面转动的快慢？ 两件事各管各的。摆长决定每次摆动有多快。摆动平面会转，是因为地球在下面转，起作用的只是地球自转在当地竖直方向上的那一份，它取决于纬度：在两极，摆面一天转一圈；在赤道，摆面不转。摆长怎么变，这个转速都不变。

转动视角，从各个方向看支架、悬线和摆锤，也可以放大位移。把摆从赤道移到两极，既看一次次摆动，也看几个小时的进动。对照两种局部坐标视图，用每摆一次采一次样的同相探针测出进动速率，再看阻尼耗掉了多少能量。

回放时间 $\text{Pending}$

纬度 $\text{Pending}$

地球转速竖直分量 $\text{Pending}$

快速摆动周期 $\text{Pending}$

解析局部载波速率 $\text{Pending}$

有向整周周期 $\text{Pending}$

未取模载波转角 $\text{Pending}$

局部模态长半轴 $\text{Pending}$

短长半轴之比 $\text{Pending}$

摆锤相对地面速率 $\text{Pending}$

机械能比例 $\text{Pending}$

耗散能比例 $\text{Pending}$

归一化能量守恒误差 $\text{Pending}$

科里奥利加速度大小 $\text{Pending}$

省略的平面周期修正估计 $\text{Pending}$

摆动主轴可辨状态 $\text{Pending}$

同相位置探针测得速率 $\text{Pending}$

已回放有效同相探针 $\text{Pending}$

观察运动，比较不同情形

一只摆能揭示地球自转吗？

纬度

\varphi

48.86\,\mathrm{{}^\circ}

摆长

L

67.00\,\mathrm{m}

初始位移与摆长之比

A/L

0.03\,

从东方向量起的释放角

\alpha_0

30.00\,\mathrm{{}^\circ}

横向初速度比例

v_\perp/(A\omega_0)

0.00\,

振幅衰减时间；零表示无阻尼

\tau_A

0.00\,\mathrm{h}

观察时长

T

12.00\,\mathrm{h}

已回放时长比例

t/T

0.00\,\%

拖动橙色释放环，可以改变初始位移和方向；也可以用滑块，滑块支持键盘操作。每次前进八分之一次摆动，能看清快速的摆动；拖动时长滑块，能看清缓慢的进动。轨迹只显示最近两次充分采样的摆动。青色同相探针在每个完整的快速周期之后采样摆锤的真实位置，测的是相位漂移，不是拟合出的椭圆主轴。模态载波的相位按整周累计；摆动轴没有方向，转半圈就回到原样。接近圆周的运动没有清楚的摆动平面。小于初始位移百万分之一的探针点会被丢弃。稀疏的能量点和参考线覆盖整段记录；播放时时间被压缩，快速摆动看上去可能出现混叠。

模型是小振幅摆，在各个水平方向上性质相同；有效重力恒定，阻尼是相对地面的线性阻尼。三维装置默认把水平位移放大八倍，关掉放大就是真实比例。悬线高度按几何关系画出，不带来竖直方向的运动。科里奥利项只用地球自转的竖直分量；随位置变化的高阶离心修正、竖直耦合、有限振幅 Airy 进动、各向异性和驱动都没有考虑。解析解对这个线性模型是精确的，但它不是完整的球面摆。恒星日取一个舍入后的固定值。第二种坐标视图只是在局部扣掉了进动，并不是全局惯性系。

物理教程

从数秒摆动中读出一天自转

背景摆锤几秒摆一次，摆动平面的转动却以小时计。在摆锤活动的这一小片水平范围里，模型保留的科里奥利耦合来自地球自转的竖直分量。当地恒定的离心效应已经算进有效重力。

为什么值得理解一只长摆就能在一个地方测出地球自转。它还告诉我们怎样从快速振荡里分离出缓慢的相位，以及为什么阻尼和近圆形的初始运动会让摆轴看不清。

先抓重点

核心问题: 改变摆长，进动速率会变吗？怎样从摆锤的实际位置测出进动速率？
一句话直觉: 摆长决定摆一次要多久，纬度决定摆动平面转多快、往哪边转。每摆完一整次记一下摆锤位置，就能看出慢转动，不必把相隔很远的快速运动采样点连起来。

核心数学模型

两个时间尺度

\omega_0^2=g_{\rm eff}/L,\qquad\nu=\Omega_\oplus\sin\varphi,\qquad\Omega_\oplus=\frac{2\pi}{23.9345\times3600\,\mathrm s}

这里用一个固定的恒星日作教学常数，它和太阳日不同。纬度为正时，从上往下看，摆动平面顺时针转。

模型中的水平运动方程

\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x-2\nu\dot y=0,\qquad\ddot y+2\gamma\dot y+\omega_0^2y+2\nu\dot x=0

向东为横轴正方向，向北为图中纵轴正方向。阻尼作用在相对地面的速度上。线性方程解得再精确，也补不回被省略的球面效应和有限振幅效应。

精确阻尼模态解

z=c_+e^{\lambda_+t}+c_-e^{\lambda_-t},\qquad\lambda_\pm=-(\gamma+i\nu)\pm\sqrt{(\gamma+i\nu)^2-\omega_0^2}

复振幅由完整的初始位置和初速度决定。每个衰减模态单独计算，长时间的阻尼记录才不会数值溢出。

摆动平面的转动与整周周期

\Delta\psi=-\nu t,\qquad T_{\rm full}=\frac{23.9345\,\mathrm h}{|\sin\varphi|},\qquad\varphi\ne0

图上的转角会一直累计整圈。摆轴不分正反两头，只要这个周期的一半，摆轴就回到原来的方向。在这个模型里，赤道上没有傅科进动。

机械能与耗散

e=\tfrac12(|\dot z|^2+\omega_0^2|z|^2),\qquad q=2\gamma\int_0^t|\dot z|^2\,dt,\qquad e+q=e_0

这些量是线性水平模型的单位质量能量。科里奥利加速度不做功，线性阻尼把机械能转为耗散能。

每摆一整次采一次样

T_{\rm fast}=\frac{2\pi}{\operatorname{Im}\sqrt{(\gamma+i\nu)^2-\omega_0^2}},\qquad t_n=nT_{\rm fast}

每过一个完整的快速周期，读一次摆锤实际的位置角，再把角度连续展开，这一步不用进动公式。没有阻尼时，测出的速率和公式一致；有阻尼时，模态之间可能出现很小的相位偏差。探针只读位置角，不拟合椭圆主轴。

常见难点

长摆进动更快

容易误解在同一个地方，摆越长，进动速率就应该越不一样。

正确理解摆长只改变摆动周期。模型里的进动速率由纬度和地球自转决定，和摆长无关。

第二视图是全局惯性系

容易误解把看得见的进动去掉，就等于站在地心惯性系里观察。

正确理解第二视图只是把当地的水平坐标轴转了一下。除了两极，当地的竖直方向本身也会随地球运动改变朝向。

任何运动点都定义摆动平面

容易误解摆锤当前方位就是进动角，近圆轨道也一样。

正确理解快速摆动和摆动平面的慢转动是两回事。摆锤走近似圆形时，长轴很难稳定地认出来，Lab 会标出这种情况。

数值精确消除了物理近似

容易误解精确解证明真实摆可以连续数日严格沿此曲线运动。

正确理解这个解只对各向同性的线性模型精确。观察时间一长，模型省略的有限振幅 Airy 进动、各向异性、驱动和高阶地球项都可能累积起来。

动手实验

01
分辨一次摆动
选择短摆，每次前进八分之一次摆动，观察地面视图和局部参考视图。
你会看到： 轨迹只画最近两次摆动，采样足够密。Lab 不会用稀疏的采样点画一整天的摆锤路径。
02
比较南北半球
依次查看赤道、两个半球和北极，比较位置探针测得的速率与载波速率。
你会看到： 赤道上摆动平面不转；越过赤道，转向相反；在极点，每个恒星日正好转一整圈。
03
纬度不变，只改摆长
调整摆长，再拖动橙色释放环改变方向与振幅。
你会看到： 摆动周期和位移变了，这个纬度上的进动速率不变。
04
摆轴变得看不清
比较椭圆初态、近圆初态与阻尼一日记录。
你会看到： 近圆初态的长轴不清楚。阻尼让以米计的真实摆幅逐渐变小，但模型里机械能与耗散能之和保持不变。