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Sandbox Physics

M059 · 地球自转 / 两个时间尺度

傅科摆与地球自转

旋转观察三维支架、悬线与摆锤，可切换位移放大。从赤道移动到两极，在逐次摆动之外观察数小时进动。对照局部坐标视图，从同相轨迹探针提取速率，并核对耗散能量。

交互模型傅科摆与地球自转
回放时间Pending\text{Pending}
纬度Pending\text{Pending}
地球转速竖直分量Pending\text{Pending}
快速摆动周期Pending\text{Pending}
解析局部载波速率Pending\text{Pending}
有向整周周期Pending\text{Pending}
未取模载波转角Pending\text{Pending}
局部模态长半轴Pending\text{Pending}
短长半轴之比Pending\text{Pending}
摆锤相对地面速率Pending\text{Pending}
机械能比例Pending\text{Pending}
耗散能比例Pending\text{Pending}
归一化能量闭合误差Pending\text{Pending}
科里奥利加速度大小Pending\text{Pending}
省略的平面周期修正估计Pending\text{Pending}
摆动主轴可辨状态Pending\text{Pending}
同相位置探针测得速率Pending\text{Pending}
已回放有效同相探针Pending\text{Pending}

物理教程

从数秒摆动中读出一天自转

背景摆动以秒计，局部载波转动以小时计。在小水平区域内，地球转速的竖直投影给出所保留的科里奥利耦合。有效重力已经包含局部恒定离心贡献。

为什么值得理解长摆把地球自转变成局部测量，也教会我们分离快速振荡与慢相位，并理解阻尼和近圆初态为何会掩盖可辨摆轴。

先抓重点

核心问题
改变摆长会改变进动速率吗？如何从真实摆锤位置恢复进动速率？
一句话直觉
摆长设定快速摆动周期，纬度设定局部载波的有符号转速。同相位置探针揭示慢转动，无需连接相隔很久的快速运动样本。

核心数学模型

两个时间尺度

ω02=geff/L,ν=Ω⊕sin⁡φ,Ω⊕=2π23.9345×3600 s\omega_0^2=g_{\rm eff}/L,\qquad\nu=\Omega_\oplus\sin\varphi,\qquad\Omega_\oplus=\frac{2\pi}{23.9345\times3600\,\mathrm s}

固定恒星日教学常数不同于太阳日。正纬度的载波从上方看顺时针转动。

保留的水平动力学

x¨+2γx˙+ω02x−2νy˙=0,y¨+2γy˙+ω02y+2νx˙=0\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x-2\nu\dot y=0,\qquad\ddot y+2\gamma\dot y+\omega_0^2y+2\nu\dot x=0

东方为水平正方向，北方为图中竖直正方向。阻尼作用于相对地面的速度；精确线性解不会恢复省略的球面和有限振幅效应。

精确阻尼模态解

z=c+eλ+t+c−eλ−t,λ±=−(γ+iν)±(γ+iν)2−ω02z=c_+e^{\lambda_+t}+c_-e^{\lambda_-t},\qquad\lambda_\pm=-(\gamma+i\nu)\pm\sqrt{(\gamma+i\nu)^2-\omega_0^2}

复振幅由完整初始位置和速度确定。分别计算衰减模态，避免长时间阻尼记录的中间数值溢出。

局部载波与有向周期

Δψ=−νt,Tfull=23.9345 h∣sin⁡φ∣,φ≠0\Delta\psi=-\nu t,\qquad T_{\rm full}=\frac{23.9345\,\mathrm h}{|\sin\varphi|},\qquad\varphi\ne0

载波图保留整周数，无方向摆轴只需这个有向周期的一半就重复。赤道在所保留的模型中没有傅科进动。

机械能与耗散

e=12(∣z˙∣2+ω02∣z∣2),q=2γ∫0t∣z˙∣2 dt,e+q=e0e=\tfrac12(|\dot z|^2+\omega_0^2|z|^2),\qquad q=2\gamma\int_0^t|\dot z|^2\,dt,\qquad e+q=e_0

这些量是线性水平模型的单位质量能量。科里奥利加速度不做功，线性阻尼把机械能转为耗散能。

分辨摆动并采样相位

Tfast=2πIm⁡(γ+iν)2−ω02,tn=nTfastT_{\rm fast}=\frac{2\pi}{\operatorname{Im}\sqrt{(\gamma+i\nu)^2-\omega_0^2}},\qquad t_n=nT_{\rm fast}

在整数快速周期后，独立于载波公式对实际位置角展开。无阻尼时可恢复载波速率；阻尼可能产生微小模态相位偏差，探针不是椭圆主轴拟合。

常见难点

长摆进动更快

容易误解摆越长，地理进动速率应该越不同。

正确理解摆长改变快速周期，所保留的载波速率取决于纬度和地球转速。

第二视图是全局惯性系

容易误解去掉可见进动，就建立了地心惯性观察者。

正确理解第二视图只作局部水平坐标旋转。两极之外，局部竖直方向本身也随地球运动改变空间方向。

任何运动点都定义摆动平面

容易误解摆锤当前方位就是进动角，近圆轨道也一样。

正确理解快速摆动与慢载波相位不同。近圆运动的主轴难以稳定辨认，可辨状态读数会指出这个极限。

数值精确消除了物理近似

容易误解精确解证明真实摆可以连续数日严格沿此曲线运动。

正确理解精确性只针对各向同性线性模型。有限振幅 Airy 进动、各向异性、驱动和高阶地球项，能在长时间中积累。

动手实验

  1. 01

    分辨一次摆动

    选择短摆，以八分之一次摆动前进，观察地面与局部参考视图。

    应该观察到： 近期轨迹在两个快速周期内充分采样，不画稀疏采样的一日摆锤曲线。
  2. 02

    比较南北半球

    回看赤道、两个半球和北极，对照位置探针测得速率与载波。

    应该观察到： 赤道转动为零，跨赤道反向，极点每个恒星日完成有向整周。
  3. 03

    保持纬度而改变摆长

    调整摆长，再拖动橙色释放环改变方向与振幅。

    应该观察到： 摆动周期与位移变化，地理载波速率保持不变。
  4. 04

    失去可辨摆轴

    比较椭圆初态、近圆初态与阻尼一日记录。

    应该观察到： 近圆初态主轴不清晰。阻尼降低固定米尺上的真实信号，模型中的机械能与耗散能合计保持不变。