M087 · 几何 / 碰撞映射

混沌台球竞技场

仅凭几何就能产生混沌吗？ 能。每张台子在边上都遵守同一条规则：入射角等于反射角，不损失能量。圆形、椭圆形台子上，反弹始终有规律；换成体育场形，或在中间放一个圆形障碍，两条几乎一样的球路很快就分道扬镳。变的只是边界形状。

把两条挨得很近的射线射进圆、椭圆、体育场形，或中间放一个圆盘的正方形，每张台面都按同一条弹性反射定律反弹。比较精确算出的碰撞点、可积台面的焦散线、边界截面和微小间距的增长，分辨哪些是规则弹跳，哪些轨道对起点很敏感。

回放碰撞编号 $\text{Pending}$

保留碰撞数 $\text{Pending}$

主轨道经过时间 $\text{Pending}$

边界弧长比例 $\text{Pending}$

单位速率切向分量 $\text{Pending}$

按碰撞编号的邻近距离 $\text{Pending}$

每次碰撞的有限时间增长率 $\text{Pending}$

有效切向前缀长度 $\text{Pending}$

初态局部面积行列式 $\text{Pending}$

导数细化差异 $\text{Pending}$

最大切向反射误差 $\text{Pending}$

最大局部速率平方误差 $\text{Pending}$

圆或椭圆不变量 $\text{Pending}$

最大不变量漂移 $\text{Pending}$

单段飞行反演误差 $\text{Pending}$

主轨道记录状态 $\text{Pending}$

观察运动，比较不同情形

仅凭几何就能产生混沌吗？

台面：圆 / 椭圆 / 体育场 / Sinai

\mathcal B

2.00\,

形状：椭圆拉伸 / 直段半长 / 散射盘半径

\eta

0.80\,

发射边界弧长比例

s_0/\mathcal P

0.14\,

初始切向速度分量

p_0

0.37\,

初始位置扰动指数

\log_{10}\epsilon

-6.00\,

请求碰撞数

N

600.00\,

种子图谱轨道数

N_{\rm atlas}

10.00\,

回放碰撞或踢动

n/N

0.00\,\%

在边界截面里拖动橙色环，可以改发射位置和切向速度；两个滑块也能用键盘调节。回放按碰撞编号推进，不按共同的物理时间，因为邻近轨道有自己的飞行时间。灰色图谱每条轨道最多保留 500 次碰撞，装置图只画最近 40 段飞行。增长率用局部展开的边界坐标计算，切向量每次碰撞后重新归一。邻近记录或切向记录失败时会单独停下，主轨道可能仍然有效。全局漂移读数概括的是保留下来的全部记录。

小球是理想质点，以单位速率运动，碰到固定的解析边界时像镜子一样无摩擦地反射。Sinai 台面是正方形里放一个圆形散射盘，小球可以沿空旷的通道飞很远。正好打在角点或几乎擦边时，后续运动没有可靠的光滑延续，受影响的记录就此停止。有限时间内测到的切向增长只是诊断，证明不了运动是遍历的。

先抓重点

核心问题: 仅凭几何就能产生混沌吗？
一句话直觉: 守恒量、微小偏差的增长、有限次碰撞画出的图，各自回答不同的问题。

核心数学模型

相同反射律，不同动力学

\mathbf v_{+}=\mathbf v_{-}-2(\mathbf v_{-}\cdot\mathbf n)\mathbf n,\qquad |\mathbf v_{+}|=|\mathbf v_{-}|

每段直线飞行都在第一次碰到有效边界的地方结束，交点用解析方法求出。法向量朝哪一侧都行，反射结果一样。打在角点和擦边而过是奇异情形。

保持面积的碰撞坐标

q=\frac{s}{\mathcal P},\qquad p=\mathbf v\cdot\mathbf t,\qquad T^{*}(dq\wedge dp)=dq\wedge dp

沿边界走时，台面内部始终在左手边：外壁逆时针，障碍物顺时针。各段边界的弧长首尾接起来，再除以总周长。椭圆的弧长用高阶数值积分求出，不把极角当作正则坐标。

圆形台面的焦散固定不变

L=xv_y-yv_x,\qquad r_{\rm caustic}=|L|

在单位半径的圆里，角动量保持不变，每根弦都与同一个同心圆相切，这个圆就是焦散。三角形轨道周而复始；每次转过的角度若是一圈的无理数倍，截面上的点会铺满一条线。弦线再密、图像再复杂，也不代表混沌。

共焦椭圆与双曲线

\lambda=b^2v_x^2+a^2v_y^2-(xv_y-yv_x)^2,\qquad \frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}=1

短半轴取为一。不变量的取值决定焦散是椭圆还是双曲线，穿过焦点的分界轨道是两者之间的退化情形。焦散由解析公式预言，第四张图则沿算出的碰撞检查不变量是否保持。

邻近射线和切向量测的不是一回事

\lambda_N=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}\log\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|,\qquad \widehat{\delta z}_{j+1}=\frac{DT(z_j)\widehat{\delta z}_j}{\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|}

切向量一开始沿边界位置方向，每次碰撞后都重新缩放到单位长度。邻近射线是另一条隔着有限距离的轨道，从不重置，间距可能饱和。增长率按每次碰撞计，不按物理时间计。距离由边界坐标上的最短间隔和切向速度之差组成。

用数值方法检查光滑局部映射

\det DT\approx1,\qquad D_hT(z)=\frac{T(z+h\mathbf e_i)-T(z-h\mathbf e_i)}{2h}

显示的行列式用中心差分求出，坐标在该点附近展开。把差分步长减半后结果变了多少，只是数值证据，不是严格的误差界。邻近点撞上另一段边界，或跨过曲率突变的接缝时，就不再计算导数。有限次碰撞得到的正增长率，证明不了整个台面是遍历的。

常见难点

复杂不等于混沌

容易误解在圆里把台面画得密密麻麻的轨道，一定是混沌的。

正确理解它的焦散不变，截面上的点落在一条线上，说明运动是规则的。

碰撞坐标要选对

容易误解随便取一个均匀的角度参数，截面面积都会保持。

正确理解要用真实弧长和单位速率下的切向速度分量。椭圆的极角并不对应弧长。

碰撞数不是时间

容易误解两条路径是在同一时刻比较的。

正确理解按碰撞编号配对，两条轨道的飞行时长各自不同。

角点没有确定的反弹

容易误解碰到角点时，程序随便给个反弹方向就行。

正确理解角点处的法向不唯一，模拟会停下，需要换一个初态。切向检查也可能比主轨道更早停下。

动手实验

01
从三角形开始
选“周期三角形”，再点“回看完整记录”。
你会看到： 同样三个碰撞点反复出现，圆形焦散不动。
02
在两类共焦焦散间切换
比较“椭圆焦散”和“双曲焦散”两个预设。
你会看到： 两类焦散对应的运动都可积，不变量只漂移一点点。
03
只改形状
比较“体育场敏感性”和“平行壁弹跳”。
你会看到： 同一张体育场台面上，有少数例外的规则轨道，典型轨道却对起点很敏感。
04
看诊断方法在哪里失效
试试“Sinai 散射盘”，改变扰动，点“记录长度翻倍”，最后选“未定义角点发射”。
你会看到： 邻近射线的间距会饱和，切向量还能继续增长；角点发射的碰撞没有定义，始终停着。