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Sandbox Physics

M087 · 几何 / 碰撞映射

混沌台球竞技场

把两条邻近射线发射进圆、椭圆、体育场或带中心散射盘的正方形。比较解析碰撞、可积焦散、边界截面与切向增长；保持相同弹性反射定律，区分规则弹跳与敏感轨道。

交互模型混沌台球竞技场
回放碰撞编号Pending\text{Pending}
保留碰撞数Pending\text{Pending}
主轨道经过时间Pending\text{Pending}
边界弧长比例Pending\text{Pending}
单位速率切向分量Pending\text{Pending}
按碰撞编号的邻近距离Pending\text{Pending}
每次碰撞的有限时间增长率Pending\text{Pending}
有效切向前缀长度Pending\text{Pending}
初态局部面积行列式Pending\text{Pending}
导数细化差异Pending\text{Pending}
最大切向反射误差Pending\text{Pending}
最大局部速率平方误差Pending\text{Pending}
圆或椭圆不变量Pending\text{Pending}
最大不变量漂移Pending\text{Pending}
单段飞行反演误差Pending\text{Pending}
主轨道记录状态Pending\text{Pending}

物理教程

几何组织保守运动

背景数学台球把自由运动和弹性反射约化为边界映射。

为什么值得理解几何改变可以影响轨道稳定性，而无需改变反射定律。

先抓重点

核心问题
仅凭几何就能产生混沌吗？
一句话直觉
守恒、局部稳定性与有限统计图像回答不同问题。

核心数学模型

相同反射律，不同动力学

v+=v−−2(v−⋅n)n,∣v+∣=∣v−∣\mathbf v_{+}=\mathbf v_{-}-2(\mathbf v_{-}\cdot\mathbf n)\mathbf n,\qquad |\mathbf v_{+}|=|\mathbf v_{-}|

每段自由飞行终止于最近可达解析边界交点。法向量可指向任一侧，反射结果相同。角点与擦碰为奇异事件。

使用不变碰撞测度

q=sP,p=v⋅t,T∗(dq∧dp)=dq∧dpq=\frac{s}{\mathcal P},\qquad p=\mathbf v\cdot\mathbf t,\qquad T^{*}(dq\wedge dp)=dq\wedge dp

边界定向使可达内部在其左侧：外壁逆时针，障碍物顺时针。拼接弧长使用总周长。椭圆采用高阶弧长求积，不把极角当作正则坐标。

圆形焦散是不变量

L=xvy−yvx,rcaustic=∣L∣L=xv_y-yv_x,\qquad r_{\rm caustic}=|L|

单位半径圆的角动量恒定。每根弦切于同一同心焦散；三角形轨道周期重复，无理边界转动填满一维截面。稠密弦线与复杂图像均不意味着混沌。

共焦椭圆与双曲线

λ=b2vx2+a2vy2−(xvy−yvx)2,x2a2−λ+y2b2−λ=1\lambda=b^2v_x^2+a^2v_y^2-(xv_y-yv_x)^2,\qquad \frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}=1

短半轴为一。不变量区分椭圆与双曲焦散，焦点分界轨道为退化极限。焦散是解析预测，第四图沿计算碰撞核验其不变量。

有限邻近对与切向量不同

λN=1N∑j=0N−1log⁡∥DT(zj)δz^j∥,δz^j+1=DT(zj)δz^j∥DT(zj)δz^j∥\lambda_N=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}\log\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|,\qquad \widehat{\delta z}_{j+1}=\frac{DT(z_j)\widehat{\delta z}_j}{\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|}

初始切向量沿边界位置方向，每步重归一。单独的有限邻近射线从不重置，可能饱和。增长率按碰撞计，不按物理时间计。度量采用最短边界坐标距离与切向速度差。

核验光滑局部映射

det⁡DT≈1,DhT(z)=T(z+hei)−T(z−hei)2h\det DT\approx1,\qquad D_hT(z)=\frac{T(z+h\mathbf e_i)-T(z-h\mathbf e_i)}{2h}

显示行列式使用局部展开坐标的中心差分。差分间距减半的差异是数值证据，不是严格误差界。碰撞分支改变或曲率接缝使导数停止。有限正增长率不能证明全局遍历性。

常见难点

复杂不等于混沌

容易误解稠密圆形轨道一定混沌。

正确理解恒定焦散与一维截面显示规则运动。

选择碰撞坐标

容易误解均匀角参数总保持截面面积。

正确理解采用真实弧长和单位速率切向分量，椭圆极角不是弧长。

碰撞数不是时间

容易误解两条路径在相同物理时间比较。

正确理解按碰撞编号配对，两条轨道的飞行时长各自不同。

奇异方向需要明确标记

容易误解求解器应该在角点创造一次反弹。

正确理解反射法向不唯一，停止并改变初态。切向核验可能在主轨道之前停止。

动手实验

  1. 01

    从三角形开始

    选择周期三角形并回看记录。

    应该观察到： 相同三个碰撞点重复，圆形焦散固定。
  2. 02

    改变共焦族

    比较椭圆与双曲焦散预设。

    应该观察到： 不同焦散族仍然可积，不变量漂移保持很小。
  3. 03

    只改变几何

    比较体育场敏感性与平行壁弹跳。

    应该观察到： 同一台面包含例外规则轨道与敏感的典型运动。
  4. 04

    检验诊断边界

    尝试 Sinai，改变扰动并延长记录，最后选择角点。

    应该观察到： 有限邻近对饱和，切向增长可持续，未定义碰撞保持停止。