Q023 · 绕一圈的路径与参考臂

Berry 几何相位测量台

自旋绕行一圈，干涉条纹会移动多少？ 移动的量是一个几何相位，等于所围立体角的一半。自旋缓慢跟着磁场绕圆锥一圈就会得到它，与绕多快无关。和动力学相位相同的参考臂一比，它就表现为条纹移动；反着绕，移动方向也反过来。

让有效场沿圆锥转一圈，自旋跟着它走。把这一臂和静止的参考臂重新合到一起，扫描分析器，从输出端口的计数读出相位。然后反转绕行方向，或者转得更快。

模型干涉相位 $\text{—}$

模型自旋泄漏 $\text{—}$

做一个预测

绕完一整圈后，干涉条纹会正好回到原处吗？

橙色箭头是场，蓝色箭头是自旋。绕完一圈后与参考臂汇合，再扫描分析器读出相位。

先预测，再对照并收集证据。

预览时间（每次测量都会跑完整个协议）

反转绕行方向等能静止参考臂圆锥张角

\theta

60^{\circ}

绕行一圈时间

T

60

场强 / 能隙

B

2

拖动张角手柄或滑块。改变分析器相位，已有扫描会保留；改变路径或参考臂，会开始新记录。

模型细节与采样

分析器相位

\alpha

0^{\circ}

每设置试次数

N

400

可复现采样种子

s

1984

能量用选定的尺度作单位，时间用对应角频率的倒数作单位，所有数值都无量纲。采样可以复现，最多 30,000 次。

旋转场下的双能级演化用精确解，分路和重合都是理想的。静止参考臂能量相同，能抵消两臂在绝热极限下共有的动力学相位。速度有限时，测到的条纹位移还含有非绝热修正，不能直接叫作 Berry 相位。球面画的是参数空间和态空间，不是粒子轨道。

记录的证据与模型局限

独立模拟试次

由端口计数恢复相位

蓝点和逐点 95% Wilson 区间来自记录的试次，灰线是有限时间模型。这些区间不是同时置信带；看着数据决定何时停止时，它们也不再有保证。预览和回放不会增加试次。

当前设置：比例 / 95% 范围

\text{—}

由四组正交测量得到的相位

\text{—}

绝热几何参考

\text{—}

相位估计用到四个分析器设置。对比度低于保守阈值时，未分辨的相位不予显示；这个阈值不是相位置信区间。等能参考只能精确抵消两臂共同的绝热动力学项。绕得太快时，态会泄漏到另一个自旋态，条纹也会偏离几何参考。

先抓重点

核心问题: 闭环走得更慢、方向也反过来时，条纹位移里哪一部分还在？
一句话直觉: 自旋慢慢跟着场、一直留在低能态时，几何相位等于闭环所围有向立体角的一半。能量相同的参考臂能抵消两臂共有的动力学相位，但速度有限带来的修正仍然测得出来。

核心数学模型

沿圆锥绕行的场

H/E_0=\tfrac B2\boldsymbol n\cdot\boldsymbol\sigma,\quad\boldsymbol n=(\sin\theta\cos\omega\tau,\sin\theta\sin\omega\tau,\cos\theta)

场在一个周期内正好绕一圈。正向绕行时方位角增大，场强决定能隙。自旋一开始指向场的反方向。能量和时间的无量纲约定与 Landau–Zener 扫掠实验相同。

本实验使用的精确演化

U(\tau)=e^{-i\omega\tau\sigma_z/2}\exp\!\left[-\frac{i\tau}{2}\left(B\sin\theta\,\sigma_x+(B\cos\theta-\omega)\sigma_z\right)\right]

这个旋转参考系解对任何绕行速度都成立。几何相位公式只是慢闭环的参考，模拟信号并不用它。

低能态的几何相位

\gamma_-=\tfrac12\Omega=s\pi(1-\cos\theta)\pmod{2\pi},\qquad s\in\{-1,1\}

场路径围住北极附近的一块球冠，面积带正负号；反转绕行方向，符号就反过来。所有显示的相位都取负圆周率到正圆周率之间的主值。在两极，几何相位按整圈取模后为零。

与参考臂的重叠

C=\langle\psi_0|U(T)|\psi_0\rangle e^{-iBT/2}

这个指数因子对应能量相同的静止参考臂：在绝热极限下，它的低能态积累同样的正动力学相位。冻结的参考臂没有这个因子。去掉这个因子，并不能抵消有限速度下的全部动力学效应。

输出端的条纹

P_+(\alpha)=\tfrac12\left[1+\operatorname{Re}(Ce^{-i\alpha})\right],\qquad V=|C|

两条路径等分，并理想地重新合在一起。输出端只测路径，不测自旋。两臂最后的自旋方向不一致，条纹对比度就会下降；末态自旋泄漏另外显示。

由四组计数比例推断相位

\widehat\phi=\operatorname{atan2}\!\left(\widehat P_{90}-\widehat P_{270},\widehat P_0-\widehat P_{180}\right)

下标是分析器角度，单位为度；四个角度都要各自独立采样。对比度不到三倍标准误时，按一条保守的经验规则不显示相位，视为未分辨。这里不给出标定过的相位区间，不拟合模型相位，也不把对比度估计强行投影到物理范围内。

常见难点

箭头看不出相位

容易误解Bloch 箭头回到起点，相位就一定是零。

正确理解旋量的整体相位在箭头上看不出来，要和参考臂干涉才显现。

绕行速度有影响

容易误解不管绕多快，测到的相位都一样。

正确理解Berry 相位的前提是自旋绝热地跟随场。速度有限时，精确演化会泄漏出低能态，还会带上别的相位贡献。

相位约定不会移动条纹

容易误解换一种本征矢相位约定，计数条纹就会移动。

正确理解只要制备和演化做一致的变换，两臂的重叠就与规范无关。分析器相位不一样，它是仪器上真实可调的相对相位。

动手实验

01
让场绕一圈
回放慢闭环，比较橙色场和蓝色自旋。
你会看到： 自旋一路几乎都指向场的反方向，相对相位却可以变。
02
读取相位
保留等能参考臂，扫完一整条条纹。
你会看到： 报告的相位由四个分析器相位下的原始端口计数算出。
03
反转方向，改变锥角
反转绕行方向，再改变圆锥张角，重新扫描。
你会看到： 慢闭环的相位随有向立体角变化，按整圈取模。
04
让近似失效
快速绕行，或冻结参考臂，比较泄漏和实测相位。
你会看到： Hamiltonian 的路径闭合了，测到的相位也未必是纯几何相位。