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Sandbox Physics

Q023 · 闭合路径 / 参考臂

Berry 几何相位测量台

让有效场沿圆锥绕行一圈。将演化自旋与静止参考臂重合，扫描分析器，从端口计数恢复相位。反转绕行方向，或加快速度。

交互模型Berry 几何相位测量台
模型干涉相位—\text{—}
模型自旋泄漏—\text{—}
记录证据与模型边界

独立模拟试次

由端口计数恢复相位

蓝点及逐点 95% Wilson 区间来自记录试次，灰线为有限时间模型。区间不是同时置信带，也不保证可选停止。预览和回放不采集试次。

当前设置：比例 / 95% 范围

—\text{—}

四组实测正交设置得到的相位

—\text{—}

绝热几何参考

—\text{—}

相位估计使用四个分析器设置。保守的对比度阈值会隐藏未分辨相位，但不是相位置信区间。等能参考只抵消共同的绝热动力学项。快速绕行会泄漏到另一自旋态，条纹位移可能偏离几何参考。

所有已测设置
最近 12 个结果；CSV 保留每次试次与制备设置。

物理教程

通过干涉测量一个闭环

背景自旋从有效场的低能本征态出发。干涉仪一臂让场沿圆锥绕行；参考臂保持初始场，或者冻结自旋。

为什么值得理解态空间箭头不能展示整体相位；参考臂和重合测量可以。

先抓重点

核心问题
当闭环更慢、绕行方向反转，条纹位移的哪部分仍然存在？
一句话直觉
对缓慢跟随的低能自旋态，几何相位是有向立体角的一半。等能参考演化抵消共同动力学相位，但有限速度修正仍会被测到。

核心数学模型

闭合圆锥路径

H/E0=B2n⋅σ,n=(sin⁡θcos⁡ωτ,sin⁡θsin⁡ωτ,cos⁡θ)H/E_0=\tfrac B2\boldsymbol n\cdot\boldsymbol\sigma,\quad\boldsymbol n=(\sin\theta\cos\omega\tau,\sin\theta\sin\omega\tau,\cos\theta)

每个周期恰好绕行一圈。正绕行增加方位角，场强设定能隙，初始自旋反向于场。能量和时间采用与扫掠实验相同的无量纲约定。

本实验使用的精确演化

U(τ)=e−iωτσz/2exp⁡ ⁣[−iτ2(Bsin⁡θ σx+(Bcos⁡θ−ω)σz)]U(\tau)=e^{-i\omega\tau\sigma_z/2}\exp\!\left[-\frac{i\tau}{2}\left(B\sin\theta\,\sigma_x+(B\cos\theta-\omega)\sigma_z\right)\right]

此旋转参考系解适用于所有设定速度。几何公式作为单独的慢闭环参考，不代替信号演化。

低能态的几何参考

γ−=12Ω=sπ(1−cos⁡θ)(mod2π),s∈{−1,1}\gamma_-=\tfrac12\Omega=s\pi(1-\cos\theta)\pmod{2\pi},\qquad s\in\{-1,1\}

场路径包围带方向的北极帽，反转绕行改变符号。所有显示相位采用负到正圆周率的主值。两极的几何相位模完整一圈为零。

参考臂重叠

C=⟨ψ0∣U(T)∣ψ0⟩e−iBT/2C=\langle\psi_0|U(T)|\psi_0\rangle e^{-iBT/2}

等能静止参考臂使用此相位因子。其低能态在绝热极限积累相同的正动力学相位。冻结参考臂省去该因子，不声称抵消所有有限速度动力学效应。

可测条纹

P+(α)=12[1+Re⁡(Ce−iα)],V=∣C∣P_+(\alpha)=\tfrac12\left[1+\operatorname{Re}(Ce^{-i\alpha})\right],\qquad V=|C|

假定理想平衡分臂和重合。输出不测自旋，不平行的最终自旋态会降低路径干涉对比度；最终自旋泄漏单独显示。

由四组计数比例推断相位

ϕ^=atan2⁡ ⁣(P^90−P^270,P^0−P^180)\widehat\phi=\operatorname{atan2}\!\left(\widehat P_{90}-\widehat P_{270},\widehat P_0-\widehat P_{180}\right)

下标是以度表示的分析器角度，需四组独立采样。保守的三倍标准误对比度启发式隐藏未分辨相位，不提供标定相位区间，不拟合模型相位，也不强制投影对比度估计。

常见难点

箭头与相位

容易误解Bloch 箭头回到起点就证明相位为零。

正确理解整体旋量相位在箭头上不可见，与参考臂干涉后才显露。

几何与速度

容易误解任何绕行速度都会测到相同相位。

正确理解Berry 参考假定绝热跟随，精确有限速度信号可能泄漏并含其他相位贡献。

规范与仪器

容易误解改变本征矢相位约定会改变计数条纹。

正确理解一致变换制备与演化时，两臂物理重叠规范不变。分析器相位则是真实的相对相位控制。

动手实验

  1. 01

    闭合场路径

    回放慢闭环，比较橙色场和蓝色自旋。

    应该观察到： 低能自旋几乎始终反向跟随场，相对相位仍可改变。
  2. 02

    读取相位

    保持等能参考臂，采集完整条纹扫描。

    应该观察到： 四个分析器相位下的原始端口计数决定报告的相位。
  3. 03

    反转与变形

    反转绕行，再改变圆锥张角并重扫。

    应该观察到： 慢闭环相位跟随有向立体角，按完整一圈取模。
  4. 04

    打破近似

    快速绕行，或冻结参考臂，比较泄漏和实测相位。

    应该观察到： 仅有 Hamiltonian 路径闭合，并不能让观测相位变成纯几何量。