机械晶格与色散

波峰与包络速度不同，波包怎样传播？ 窄带波包远离边界时，波峰按相速度穿过包络，包络携带能量按群速度传播。群速度就是色散曲线的斜率。质量缺陷还可能支持局域模，让振动留在缺陷附近。

在质点弹簧链中发射波包，比较色散、反射和局域缺陷模。

载波群速度 $0$

载波相速度 $0$

体晶格带隙宽度 $0$

有限链能量质心 $0$

归一时间 $0$

检查节点 $0$

节点速度 $0$

左弹簧作用力 $0$

右弹簧作用力 $0$

总机械能 $0$

有向能量误差 $0$

整条记录最大能量误差 $0$

总动量 $0$

净墙面冲量 $0$

动量平衡误差 $0$

位移显示增益 $0$

所选有限模态频率 $0$

质量加权参与节点数 $0$

所选模态能量份额 $0$

最大本征对残差 $0$

数值积分步长 $0$

能量质心位移除以时间 $0$

跟着波包走

交替质量比

m_B/m_A

1.00\,

载波／约化区边界

2q/\pi

0.75\,

缺陷质量倍率

m_d/m_{\rm host}

1.00\,

波包分支

b

0.00\,

键刚度

\kappa

1.00\,

运动节点数

N

18.00\,

波包宽度

\sigma

2.70\,

波包释放中心

s_0/L

28.00\,\%

释放振幅

A

0.20\,

波包或有限模态

j

0.00\,

有限模态百分位

r_{\rm mode}

20.00\,\%

观测窗口

\tau_{\rm end}

32.00\,

最大积分步长

h_{\rm max}

0.03\,

探针位置

r_{\rm probe}

50.00\,\%

缺陷位置

r_d

50.00\,\%

固定端链由交替质量和相同线性弹簧组成。有限高斯初态用速度 Verlet 法记录运动，并另行积分墙面力。无限周期链的色散曲线是独立参考；波包带宽、链端截断和反射都会影响能量质心。单个缺陷不改变体晶格参考。缺陷模由有限链的质量加权本征问题给出，参与数也按质量加权。位移、质量球尺寸、导轨和回放速度均作示意；不计算摩擦、碰撞、弹簧质量和量子声子。

核心问题: 什么时候波包和波峰会向相反方向运动？
一句话直觉: 色散曲线的斜率给出载波群速度。光学支上斜率可以为负，而相速度仍为正。

核心数学模型

每个节点受两侧弹簧作用

\begin{gathered}F_i^L=-\kappa(u_i-u_{i-1})\\F_i^R=\kappa(u_{i+1}-u_i)\\m_i\ddot u_i=F_i^L+F_i^R\end{gathered}

两端墙位移为零。局部能量把内部键的势能各分一半给两侧节点，端部键的势能全部计入相邻端节点。

周期参考的两条支

\begin{gathered}\mu=m_B/m_A\\S=\kappa(1+1/\mu)\\D^2(q)=S^2-\frac{4\kappa^2}{\mu}\sin^2q\\D(q)\ge0\\\omega_\pm^2=S\pm D(q)\end{gathered}

原胞长度为二，约化区从零到半个圆周率。较低的一支称声学支，较高的一支称光学支。

相速度与群速度

v_{\rm ph}=\frac{\omega}{q},\qquad v_g=\frac{d\omega}{dq}

群速度预测适用于无限晶格中的窄载波包；色散、截断或反射起作用时，有限链能量质心的漂移可能偏离这一预测。

第二种质量更重时的体带隙

\begin{gathered}\omega_{\rm ac}^{\max}=\sqrt{2\kappa/\mu}\\\omega_{\rm op}^{\min}=\sqrt{2\kappa},\quad\mu\ge1\end{gathered}

两种质量相等时，这个折叠区的带隙宽度变为零。单个缺陷改变有限链模态，不改变周期体晶格参考。

有限链的本征问题

\begin{gathered}H=M^{-1/2}KM^{-1/2}\\He_p=\omega_p^2e_p\\u_i\propto e_{pi}/\sqrt{m_i}\end{gathered}

所示参与数按质量加权本征向量计算，是有效参与程度，可以不是整数。

轻缺陷的独立解析极限

\begin{gathered}\omega_d^2=\frac{4\kappa}{\mu_d(2-\mu_d)}\\r=-\frac{\mu_d}{2-\mu_d},\quad0<\mu_d<1\end{gathered}

在其余质量相等的无限链中，离开缺陷后，相邻位移振幅之比为所示比值；有限墙面会带来修正。

常见难点

什么量守恒？

容易误解小球暂时不动，就表示振动能量消失了。

正确理解速度、位移和局部弹性能会随周期变化。无阻尼全链守恒总能量；固定墙面仍可以与链交换动量。

动手实验

01
打开带隙
比较“声学波包”和“打开带隙”，再改变交替质量比。
你会看到： 两条支在频率上分开；有限链中还可能出现位于体频带之外的缺陷模。
02
跟踪反向包络
选择“包络反向走”，查看时空记录。
你会看到： 光学载波的相速度为正、群速度为负，边界反射还能在记录里单独辨认。
03
移动轻缺陷
选择“缺陷困住振动”，沿链拖动金色手柄。
你会看到： 局域模跟着缺陷移动；靠近墙时，有限链频率可以偏移，体晶格参考仍不变。