M070 · 离散力学

机械晶格与色散

构建单原子或交替质量链，发射声学或光学波包，比较波峰、包络与能量运动。加入质量缺陷，激发有限链本征模并测量局域程度。点击轨道放置波包；有限模态与无限晶格曲线分别测量。

已采集归一时间 $0$

总机械能 $0$

动能 $0$

键势能 $0$

有向能量误差 $0$

链动量 $0$

独立积分净墙面冲量 $0$

动量减初值与墙面冲量 $0$

步长减半位移差 · 最初十个时间单位 $0$

实际归一积分步长 $0$

最大积分能量误差 · 完整记录 $0$

记录与模型范围 $0$

无限链载波群速度 $0$

无限链载波相速度 $0$

无限链带隙宽度 $0$

有限链能量质心 $0$

已采集能量质心位移除以时间 $0$

选定有限链本征频率 $0$

选定模态参与节点数 $0$

选定有限模态谐波能量份额 $0$

最大本征对残差 $0$

释放 / 采集 / 核验

波峰与包络速度不同，波包怎样传播？

运动节点数

N

40.00\,

交替质量比

m_B/m_A

1.00\,

归一键刚度

\kappa

1.00\,

中间节点质量倍率

m_d/m_{host}

1.00\,

载波波数与约化区边界之比

2q/\pi

0.22\,

波包包络宽度 · 节点数

\sigma

5.00\,

波包沿轨道中心位置

s_0/L

28.00\,

归一释放振幅

A

0.12\,

波包分支 · 声学为零，光学为一

b

0.00\,

释放方式 · 波包为零，本征模为一

j

0.00\,

有限本征模选择

s

20.00\,

归一观测时长

\tau_{end}

50.00\,

最大归一步长

h_{max}

0.03\,

检查已采集记录

t/t_{end}

0.00\,\%

全部量归一；可操作轨道、位移图和键盘滑块。记录在模型边界或步数预算处停止，不裁剪运动。

全部量使用参考质量、最近邻间距和参考刚度归一。运动为纵向；下方位移图用竖向绘图轴。墙面固定。无限双原子参考采用等刚度弹簧与两节点原胞；单个质量缺陷不改变该体材料参考。高斯波包存在有限带宽、截断与反射，有限链能量质心漂移不必等于载波群速度。光学支群速度可以为负。有限本征模由对称质量加权矩阵求解并显示残差。此线性模型中的谐波能量分解是精确的。

先抓重点

核心问题: 什么速度携带波包的能量？
一句话直觉: 比较载波的群速度导数与有限链能量质心运动，再用本征向量及参与节点数检查质量缺陷。

核心数学模型

纵向力平衡

m_i\ddot u_i=\kappa(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})

两固定端提供外部动量冲量，但不做功。

等刚度双原子色散

\omega_\pm^2=\kappa\left(\frac1{m_A}+\frac1{m_B}\right)\pm\kappa\sqrt{\left(\frac1{m_A}+\frac1{m_B}\right)^2-\frac{4\sin^2q}{m_Am_B}}

最近邻间距为一，两节点原胞长度为二。

相速度与群速度

v_p=\omega/q,\qquad v_g=\partial\omega/\partial q

载波处导数是无限链窄带参考。

有限质量加权本征问题

M^{-1/2}KM^{-1/2}e_j=\omega_j^2e_j,\qquad e_j^{\mathsf T}e_j=1

显示残差检查每个计算模态的矩阵方程。

局域化与能量运动

P_j=\left(\sum_i e_{ji}^4\right)^{-1},\qquad \bar s_E=\frac{\sum_i s_iE_i}{\sum_iE_i}

参与数测量质量加权节点数；质心跟踪局部能量。

常见难点

光学模仍是机械振动

容易误解光学分支是在模拟光。

正确理解名称描述两子晶格相对运动；这里两分支都是弹簧链振动。

体带隙不等于所有有限本征值

容易误解有限模态不可能出现在无限带外。

正确理解局域缺陷模不必位于体能带内；检查有限本征向量。

能量漂移包含边界影响

容易误解质心速度始终等于群速度。

正确理解有限带宽、包络截断和反射波会改变有限链测量。

动手实验

01
跟踪声学波包
采集均匀链并检查时空记录。
应该观察到： 包络、波峰和能量质心是不同观测量。
02
打开带隙
选择交替质量并改变质量比。
应该观察到： 两约化区分支分离；等质量时带隙闭合。
03
反转光学包络
采集光学波包并比较群速度符号。
应该观察到： 包络可以与相位波峰反向运动。
04
测量缺陷模
选择轻缺陷释放，检查本征向量，再改变选定模态。
应该观察到： 高频局域模具有较小参与节点数。