M070 · 质点链上的波

机械晶格与色散

波峰与包络速度不同，波包怎样传播？ 波峰以相速度在包络里穿行，包络连同能量一起以群速度前进。群速度就是频率对波数那条曲线的斜率。链上要是有个质量不同的缺陷，还能把某种振动拴在它附近，不让它传走。

搭一条等质量或两种质量交替的链，发射声学或光学波包，看波峰、包络和能量各自怎么移动。加入一个质量缺陷，激发有限链的本征模，量一量它有多局域。在三维视图里选一个节点，查看它两侧弹簧的力，再回看记录下来的能量和墙面冲量。在数据行点击轨道可以放置波包；有限链模态和无限晶格曲线是分开算的。

检查节点编号 $0$

检查节点纵向位移 $0$

检查节点纵向速度 $0$

左侧键施力 $0$

右侧键施力 $0$

纵向合力 $0$

检查节点纵向加速度 $0$

绘图位移与平衡间距的比例尺度 $0$

已采集归一时间 $0$

总机械能 $0$

动能 $0$

键势能 $0$

有向能量误差 $0$

链动量 $0$

独立积分净墙面冲量 $0$

动量减初值与墙面冲量 $0$

步长减半位移差 · 最初十个时间单位 $0$

实际归一积分步长 $0$

最大积分能量误差 · 完整记录 $0$

记录与模型范围 $0$

无限链载波群速度 $0$

无限链载波相速度 $0$

无限链带隙宽度 $0$

有限链能量质心 $0$

已采集能量质心位移除以时间 $0$

选定有限链本征频率 $0$

选定模态参与节点数 $0$

选定有限模态谐波能量份额 $0$

最大本征对残差 $0$

设好释放条件，再记录运动

波峰与包络速度不同，波包怎样传播？

检查节点键力青色是左侧键的力，金色是右侧键的力，紫色是两者的合力；三者每一时刻共用一个比例。检查节点速度蓝色箭头，比例与力分开。向右为正。释放初态轮廓线框标出这次释放时的初始位置，它们固定不动。沿链选择检查节点

s/L

50.00\,\%

运动节点数

N

40.00\,

交替质量比

m_B/m_A

1.00\,

归一键刚度

\kappa

1.00\,

中间节点质量倍率

m_d/m_{host}

1.00\,

载波波数与约化区边界之比

2q/\pi

0.22\,

波包包络宽度 · 节点数

\sigma

5.00\,

波包沿轨道中心位置

s_0/L

28.00\,

归一释放振幅

A

0.12\,

波包分支 · 声学为零，光学为一

b

0.00\,

释放方式 · 波包为零，本征模为一

j

0.00\,

有限本征模选择

s

20.00\,

归一观测时长

\tau_{end}

50.00\,

最大归一步长

h_{max}

0.03\,

检查已采集记录

t/t_{end}

0.00\,\%

所有量都已归一化。可以直接操作轨道和位移图，也可以用键盘调滑块。运动超出模型适用范围或步数用完时，记录就停止；运动本身不会被截断。

三维装置是示意图：纵向位移按每条记录固定的比例尺画出，与平衡间距的比例无关；质点尺寸和弹簧线圈不用来计算碰撞。颜色表示每个节点当前的局部能量，相对于当前最大值。所有量都用参考质量、最近邻间距和参考刚度归一。质点只沿链的方向运动；下方位移图用竖轴表示位移。墙面固定。无限双原子参考取相同的弹簧和两节点原胞；单个质量缺陷不改变这个参考。高斯波包带宽有限，会被链端截断，也会被墙反射，所以有限链里能量质心的漂移速度不一定等于载波群速度。光学支的群速度可以为负。有限链本征模由对称的质量加权矩阵求出，并显示残差。对这个线性模型，谐波能量分解是精确的。

物理教程

离散链中的波包、带隙与缺陷

背景质点用弹簧和相邻质点连在一起，整条链会一起振动，形成集体模态。如果两种质量交替排列，无限长链的频率就分成两支：声学支和光学支。有限长链里只要有一个质量与众不同的“缺陷”，就可能出现一个集中在它附近的局域模态。

为什么值得理解MIT 的晶格振动讲义推导了无限长链的声学支和光学支。这里拿这个理论结果，和一条两端固定的有限长链对照。

先抓重点

核心问题: 波包的能量按哪个速度传播？
一句话直觉: 先拿载波处的群速度，也就是色散曲线的斜率，和有限链里能量质心的实际移动比一比；再看缺陷模长什么样，数一数有多少节点参与振动。

核心数学模型

每个节点的牛顿第二定律

m_i\ddot u_i=\kappa(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})

两个固定端给链施加冲量、改变它的动量，但不对它做功。

弹簧相同时双原子链的色散关系

\omega_\pm^2=\kappa\left(\frac1{m_A}+\frac1{m_B}\right)\pm\kappa\sqrt{\left(\frac1{m_A}+\frac1{m_B}\right)^2-\frac{4\sin^2q}{m_Am_B}}

相邻节点间距取为一，两个节点组成的原胞长为二。

相速度与群速度

v_p=\omega/q,\qquad v_g=\partial\omega/\partial q

载波处的导数是个参考值，对应无限长链上的窄带波包。

有限链的简正模

M^{-1/2}KM^{-1/2}e_j=\omega_j^2e_j,\qquad e_j^{\mathsf T}e_j=1

显示的残差检查每个算出的模态在多大程度上满足这个矩阵方程。

模态有多局域，能量在哪里

P_j=\left(\sum_i e_{ji}^4\right)^{-1},\qquad \bar s_E=\frac{\sum_i s_iE_i}{\sum_iE_i}

参与数根据质量加权后的模态形状，数出有多少节点参与振动；能量质心跟着局部能量走。

常见难点

光学模仍是机械振动

容易误解光学支肯定是在模拟光。

正确理解这个名字来自两套子晶格彼此反向运动；这里两支都是弹簧链的振动。

有限链可以有落在能带外的模态

容易误解有限链的模态频率不可能落在无限链的能带外面。

正确理解缺陷处的局域模不一定在体能带里；查看有限链的本征向量就能看到它。

边界和波包宽度会影响能量漂移

容易误解能量质心总是以群速度移动。

正确理解波包带宽有限，包络会被链端截断，波还会被墙反射，这些都会改变有限链上测到的结果。

动手实验

01
在三维装置里查看一个节点受的力
暂停，选一个节点检查，并使用精细运动单步。对照青色和金色的两侧键力、紫色合力和加速度读数。
你会看到： 质点只沿链的方向运动；下方的位移曲线只是一张图，质点尺寸和绘图放大倍数都是示意。
02
跟踪能量和墙面冲量
打开“能量与墙面冲量”，拖动浏览已采集的记录，再回到“运动与模态”。
你会看到： 完整的能量分解和带符号的数值误差跟着同一个光标；固定的墙和链交换动量，但不做功。
03
跟踪声学波包
采集均匀链的记录，查看它的时空图。
你会看到： 包络、波峰和能量质心是三个不同的观测量。
04
打开带隙
选择交替质量，改变质量比。
你会看到： 约化区里的两支彼此分开；两种质量相等时，带隙消失。
05
看光学包络倒着走
采集光学波包，比较群速度的正负。
你会看到： 包络可以朝着和波峰相反的方向移动。
06
测量缺陷模
选择轻缺陷释放，查看本征向量，再换一个选定模态。
你会看到： 高频局域模的参与节点数较少。

核心数学模型

每个节点的牛顿第二定律

弹簧相同时双原子链的色散关系

相速度与群速度

有限链的简正模

模态有多局域，能量在哪里

常见难点

光学模仍是机械振动

有限链可以有落在能带外的模态

边界和波包宽度会影响能量漂移

动手实验

在三维装置里查看一个节点受的力

跟踪能量和墙面冲量

跟踪声学波包

打开带隙

看光学包络倒着走

测量缺陷模