转动惯量设计器

哪些距离决定转动惯量？ 质量离所选转轴越远，对转动惯量的贡献越大；距离加倍，贡献变成四倍。力矩相同时，质量越靠轴，角加速度越大。把轴移离质心，还会多出总质量乘偏移距离平方这一项。

拖动两对配重，改变连续环体和轴承位置，在相同力矩下比较角加速度、转速与转动能。

绕轴承的转动惯量 $0.326\,\mathrm{kg\,m^2}$

角速度 $2.66\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

转子角动量 $0.867\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$

电机做功 $1.15\,\mathrm{J}$

模型假设

水平转子由均匀环体和四颗等质量质点组成，支撑杆不计质量；调整配重比例时总质量保持不变。轴承固定在惯性系中，可相对转子质心偏移；偏心时，质心绕轴承做圆周运动。轴承提供约束力，不提供轴向力矩，也不做功；驱动采用恒定纯力偶。改布局会准备一次新的刚体试验，不表示转动中搬运质量。数据图中的理想圆盘和薄环，使用相同总质量、外半径和力矩。质点大小、支撑、载体厚度与表面标记为示意，不计平面内重力、摩擦和形变。高加速度时缩短展示的试验时段；显示结果均为模型计算。

核心问题: 怎样在总质量与力矩不变时改变角加速度？
一句话直觉: 先定转轴。质点离轴的距离加倍，它对惯量的贡献变成四倍；移动轴承，就多出平行轴项。

核心数学模型

对轴承的转动惯量

I=\int r_\perp^2\,\mathrm{d}m=I_{\mathrm{CM}}+Md^2

转子是平衡的，质心在载体中心；轴承偏移从这个中心量起。

均匀环体与成对质点

I_{\mathrm{CM}}=\frac{M(1-f)}2(R^2+R_{\mathrm{hole}}^2)+\frac{Mf}2(r_x^2+r_y^2)

质点总质量平分给四个质点；支撑杆不计质量。

恒定力偶驱动

\dot\omega=\frac\tau I,\qquad\theta(t)=\omega_0t+\frac{\tau t^2}{2I}

试验过程中，质量分布和轴承都不动，变的只有角速度。

分别检验做功和角冲量

\Delta K=\tau\Delta\theta,\qquad\Delta L=\tau t,\qquad K=\frac12I\omega^2

做功和角冲量用的是同一个带符号的力矩，只是一个对转角积分，一个对时间积分。

常见难点

质量相同，惯量不同

容易误解转动响应只由总质量决定。

正确理解在相同力矩下，比较质点集中在中间和分布在轮缘两种布局；按距离平方加权后，两者的总和不一样。

必须指定转轴

容易误解一个物体只有一个转动惯量，和转轴无关。

正确理解移动轴承，看多出来的平行轴贡献。

改布局就是重新开始

容易误解播放时拖动质点，角动量会守恒。

正确理解改动布局会让刚体试验重新开始；转子边转边变形，需要另建内力做功的模型。

动手实验

01
设计快速响应
把质点对移近转轴，然后完成力矩试验。
你会看到： 惯量越小，角加速度越大。
02
比较轮缘与圆盘
选择轮缘场景，和圆盘参考曲线对比。
你会看到： 同样的总质量，离转轴越远，加速越慢。
03
移动轴承
改变轴承偏移，保持质量和力矩不变。
你会看到： 转动惯量里多出一项平行轴项。
04
制动，然后反转
设置正的初始角速度和负的力矩。
你会看到： 电机做功先把动能取走；转向反过来以后，再把动能加回去。