M051 · 转动与质量分布

转动惯量设计器

哪些距离决定转动惯量？ 到所选转轴的距离。每个质量贡献质量乘以距离的平方，珠子挪到两倍远，贡献就变成四倍。转轴离开质心一段距离，还要加上总质量乘以这段距离的平方。

用环形载体和两对对称质点搭一个三维转子。在坐标图里拖动质点的初始位置或轴承，总质量保持不变，再施加标定好的力矩。观察实际轴承、移动的质心和带符号的轴向矢量。惯量分解、角速度和做功同步更新；灰色参考线是同质量、同半径、绕中心轴转动的均匀圆盘。

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

相对轴承的转动惯量 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

相对质心的转动惯量 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

相对轴承的回转半径 $0\,\mathrm{m}$

角加速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$

角速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

未折回的转角 $0\,\mathrm{rad}$

相对轴承的角动量 $0\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$

转动动能 $0\,J$

力偶做功 $0\,J$

功与能量收支偏差 $0\,J$

角冲量收支偏差 $0\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$

同质量中心轴圆盘参考 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

同质量中心轴薄环参考 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

先预测运动，再检验你的设计

哪些距离决定转动惯量？

有向轴向矢量角动量、角速度和力矩的箭头，各用一套固定比例。释放位置金色线框标出各质量中心的初始位置。运动按真实比例画出，位移没有放大。总质量

M

2.00\,\mathrm{kg}

外半径

R

0.60\,\mathrm{m}

载体孔径比

R_{\mathrm{hole}}/R

0.00\,

质点质量占比

f

0.60\,

水平质点距离比

r_x/R

0.80\,

竖直质点距离比

r_y/R

0.45\,

轴承有向偏置比

d/R

0.00\,

施加力偶

\tau

0.40\,\mathrm{N\,m}

初始角速度

\omega_0

0.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

拖动空心紫色质点，可以调每一对离中心多远；拖动红色轴承，可以换一根平行转轴。所有拖动都有对应的键盘滑块。比较不同布局时，保持质量、半径和力矩相同。转子偏心转动时，动能还包括质心运动的那一份；轴承本身固定不动。

转子是水平面内的理想刚体，装在固定轴承上，由纯力偶驱动；每个质点占质点总质量的四分之一。环形载体质量均匀，支撑杆不计质量。改动布局会重新设定初态，不模拟转动中的质量重新分布。恒力矩下的运动按解析解计算，做功和角冲量分别独立检验。

先抓重点

核心问题: 怎样在总质量与力矩不变时改变角加速度？
一句话直觉: 先定转轴。质点离轴的距离加倍，它对惯量的贡献变成四倍；移动轴承，就多出平行轴项。

核心数学模型

对轴承的转动惯量

I=\int r_\perp^2\,\mathrm{d}m=I_{\mathrm{CM}}+Md^2

转子是平衡的，质心在载体中心；轴承偏移从这个中心量起。

均匀环体与成对质点

I_{\mathrm{CM}}=\frac{M(1-f)}2(R^2+R_{\mathrm{hole}}^2)+\frac{Mf}2(r_x^2+r_y^2)

质点总质量平分给四个质点；支撑杆不计质量。

恒定力偶驱动

\dot\omega=\frac\tau I,\qquad\theta(t)=\omega_0t+\frac{\tau t^2}{2I}

试验过程中，质量分布和轴承都不动，变的只有角速度。

分别检验做功和角冲量

\Delta K=\tau\Delta\theta,\qquad\Delta L=\tau t,\qquad K=\frac12I\omega^2

做功和角冲量用的是同一个带符号的力矩，只是一个对转角积分，一个对时间积分。

常见难点

质量相同，惯量不同

容易误解转动响应只由总质量决定。

正确理解在相同力矩下，比较质点集中在中间和分布在轮缘两种布局；按距离平方加权后，两者的总和不一样。

必须指定转轴

容易误解一个物体只有一个转动惯量，和转轴无关。

正确理解移动轴承，看多出来的平行轴贡献。

改布局就是重新开始

容易误解播放时拖动质点，角动量会守恒。

正确理解改动布局会让刚体试验重新开始；转子边转边变形，需要另建内力做功的模型。

动手实验

01
设计快速响应
把质点对移近转轴，然后完成力矩试验。
你会看到： 惯量越小，角加速度越大。
02
比较轮缘与圆盘
选择轮缘场景，和圆盘参考曲线对比。
你会看到： 同样的总质量，离转轴越远，加速越慢。
03
移动轴承
拖动红色标记，保持质量和力矩不变。
你会看到： 转动惯量里多出一项平行轴项。
04
制动，然后反转
设置正的初始角速度和负的力矩。
你会看到： 电机做功先把动能取走；转向反过来以后，再把动能加回去。