M051 · 转动 / 质量分布

转动惯量设计器

用环形载体与两对对称质点构造平衡转子。拖动空心初始质点或轴承，在总质量不变时重新分配质量，再施加标定力矩。惯量分解、角速度和能量收支同步更新；灰色参考线对应同质量、同半径的中心轴均匀圆盘。

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

相对轴承的转动惯量 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

相对质心的转动惯量 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

相对轴承的回转半径 $0\,\mathrm{m}$

角加速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$

角速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

未折回的转角 $0\,\mathrm{rad}$

相对轴承的角动量 $0\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$

转动动能 $0\,J$

力偶做功 $0\,J$

功与能量收支偏差 $0\,J$

角冲量收支偏差 $0\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$

同质量中心轴圆盘参考 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

同质量中心轴薄环参考 $0\,\mathrm{kg\,m^2}$

设计 / 预测 / 核验

哪些距离决定转动惯量？

总质量

M

2.00\,\mathrm{kg}

外半径

R

0.60\,\mathrm{m}

载体孔径比

R_{\mathrm{hole}}/R

0.00\,

质点质量占比

f

0.60\,

水平质点距离比

r_x/R

0.80\,

竖直质点距离比

r_y/R

0.45\,

轴承有向偏置比

d/R

0.00\,

施加力偶

\tau

0.40\,\mathrm{N\,m}

初始角速度

\omega_0

0.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

空心紫色质点设置每对的距离；红色轴承设置平行转轴。所有拖动都有等效键盘滑块。在相同质量、半径与力矩下比较布局。偏心转子的动能包含运动质心的平动贡献，轴承保持固定。

理想水平面刚性转子、固定轴承与纯力偶驱动；每个质点占质点总质量的四分之一。环形载体均匀，支撑杆无质量。编辑布局会重置释放初态，不模拟旋转中的质量重排。恒力矩采用解析运动，并独立核对做功与角冲量。

先抓重点

核心问题: 怎样在总质量与力矩不变时改变角加速度？
一句话直觉: 先明确转轴。质点到轴的距离加倍，该质点的惯量贡献变为四倍；移动轴承则增加平行轴项。

核心数学模型

相对轴承求和

I=\int r_\perp^2\,\mathrm{d}m=I_{\mathrm{CM}}+Md^2

平衡转子的质心位于载体中心；轴承偏置从该中心计算。

均匀环体与成对质点

I_{\mathrm{CM}}=\frac{M(1-f)}2(R^2+R_{\mathrm{hole}}^2)+\frac{Mf}2(r_x^2+r_y^2)

质点总质量均分到四个质点；支撑杆无质量。

恒定力偶驱动

\dot\omega=\frac\tau I,\qquad\theta(t)=\omega_0t+\frac{\tau t^2}{2I}

试验期间质量分布与轴承固定，只有角速度发生变化。

独立收支核对

\Delta K=\tau\Delta\theta,\qquad\Delta L=\tau t,\qquad K=\frac12I\omega^2

做功和角冲量使用同一个有向力矩，但积分变量不同。

常见难点

质量相同，惯量不同

容易误解转动响应只由总质量决定。

正确理解在相同力矩下比较集中布局和轮缘布局；按距离平方加权的质量不同。

必须指定转轴

容易误解一个物体只有一个通用惯量。

正确理解移动轴承，检查增加的平行轴贡献。

编辑意味着新的释放

容易误解播放时拖动质点会保持角动量。

正确理解布局编辑会重置刚体试验；旋转中的形变需要额外的内力做功模型。

动手实验

01
设计快速响应
把质点对移近转轴，然后完成力矩试验。
应该观察到： 惯量越小，角加速度越大。
02
比较轮缘与圆盘
选择轮缘场景，与圆盘参考曲线比较。
应该观察到： 相同总质量离转轴更远，加速更慢。
03
移动轴承
拖动红色标记，保持质量和力矩不变。
应该观察到： 惯量分解增加平行轴项。
04
制动，然后反转
设置正初始角速度和负力矩。
应该观察到： 电机做功先移除动能，反转后再增加动能。