M064 · 振动 / 频率响应

受迫共振与相位滞后

受迫振动时，振幅最大和吸收功率最大，在同一个频率吗？ 稍微错开一点。有阻尼时，位移振幅在略低于固有频率处达到峰值。从驱动吸收的功率恰好在固有频率处最大，运动比驱动落后四分之一周期，也正好在这里。测这些量之前，要等起振时的瞬态衰减干净。

驱动器用正弦力推动一个连着弹簧和阻尼器的质量块。拖动频率游标，看启动瞬态怎样消退，再用三个完整驱动周期测出振幅和相位。扫过十九次各自独立的数值实验，与解析响应曲线对比，同时记录驱动做功、耗散和储能。

经过时间 $0\,\mathrm{s}$

相对平衡位置的位移 $0\,\mathrm{m}$

速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

无阻尼参考周期 $0\,\mathrm{s}$

相对平衡位置的机械能 $0\,\mathrm{J}$

积分耗散能量 $0\,\mathrm{J}$

积分驱动做功 $0\,\mathrm{J}$

能量收支误差 $0\,\mathrm{J}$

相对解析解的位移误差 $0\,\mathrm{m}$

步长减半后的终点变化 $0\,\mathrm{m}$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

沿运动坐标的有向弹簧力 $0\,N$

沿运动坐标的加速度 $0\,\mathrm{m/s^2}$

执行器瞬时功率 $0\,W$

瞬时耗散功率 $0\,W$

解析稳态振幅 $0\,\mathrm{m}$

解析稳态相位滞后 $0{}^{\circ}$

三个周期测得的振幅 $\text{采样中}$

三个周期测得的相位滞后 $\text{采样中}$

谐波投影残差均方根 $\text{采样中}$

解析稳态吸收功率 $0\,\mathrm{W}$

吸收功率半峰宽 $0\,\mathrm{Hz}$

品质因数 $0$

已测量频率点数 $0$

位移峰值位置 $\text{采样中}$

扫过驱动频率，看系统如何响应

设计频率响应

物理受力矢量弹簧力、驱动力、阻尼力、重力和轨道反力，每一时刻都按同一个比例画出。速度矢量蓝色箭头，比例与力分开。正方向是向右或向下。近期已采集轨迹只显示最近两个参考周期，不画未来的运动。无限时间稳态参考和金色虚线的稳态运动对比，就能看出启动瞬态。运动质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

弹簧刚度

k

20.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}

释放位移

x_0

0.00\,\mathrm{m}

阻尼比

\zeta

0.08\,

驱动力振幅

F_0

2.00\,\mathrm{N}

驱动与固有频率之比

\omega/\omega_0

1.00\,

最大积分步长

\Delta t_{\max}

20.00\,\mathrm{ms}

检查实验时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

可以旋转视角观察三维力驱动器和阻尼器。在坐标视图里拖动质量块设定初始状态，或在振幅图上拖动设定频率。切到能量回看，游标和已测的扫频点都会保留。每个控件都有对应的键盘滑块。蓝色扫描点来自数值轨迹，改动物理系统后，旧的扫描会被清空。

质量块在水平轨道上运动，连着一根遵守胡克定律的无质量弹簧，受线性黏性阻尼，阻尼系数为正。驱动器直接施加模型里的正弦力，不移动弹簧的固定端。画面长度按算出的完整运动范围缩放。驱动器、箭头、弹簧等硬件都是示意，不计算碰撞，也不计算弹簧丝的形变。位移和吸收功率在不同频率达到峰值；显示的带宽是吸收功率半峰宽的精确值。三个周期的傅里叶测量仍可能混有瞬态，残差衡量的是信号里不属于驱动频率正弦的部分，不是测量不确定度。每个扫描点至少等待八个标称衰减时间，但最多等 200 秒。解析响应是经过无限长时间后的稳态。

物理教程

把共振与启动过程分开

背景周期驱动不断输入能量，阻尼不断把能量带走。运动由两部分叠加而成：逐渐衰减的启动瞬态，和以驱动频率振动的稳态响应。只看振幅，会漏掉相位和功率平衡。

为什么值得理解受迫振动的理论参照 OpenStax《University Physics》第一卷第 15.6 节。本实验像真实测量一样得到响应曲线：十九次独立的数值模拟，每次都用三个周期的傅里叶分析来测量。

先抓重点

核心问题: 位移峰值在哪里，功率峰值在哪里，测得的响应已经稳定了吗？
一句话直觉: 频率响应要看测的是哪个量。先等瞬态消退，检查投影残差，再同时比较相位和振幅。

核心数学模型

复频率响应

m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\sin(\omega t),\quad A=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}

这个解析振幅属于无限长时间后的稳态解。实际运动还叠加着一个瞬态，由初始位移和初速度决定。

相位与位移峰值

\phi=\operatorname{atan2}(c\omega,k-m\omega^2),\quad\omega_{\mathrm{peak}}=\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}\quad(\zeta<1/\sqrt2)

位移落后于力。阻尼超过图中给出的阈值后，振幅从零频开始一路下降。寻峰只在显示的扫描区间里找，所以可能停在区间的下边界。

功率共振与带宽

\overline P=\frac{F_0^2c\omega^2}{2[(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2]},\quad\Delta\omega_{P}=\frac cm,\quad Q=\frac{m\omega_0}{c}

即使位移峰在别处，吸收功率也在固有频率处最大。功率曲线的精确半峰宽和位移曲线的半高宽不是一回事。显示的带宽已从角频率换算成每秒周期数。

三个周期的测量与能量收支

\widehat A=\sqrt{a_s^2+a_c^2},\quad\widehat\phi=\operatorname{atan2}(-a_c,a_s),\quad E-E_0-W_{\mathrm{drive}}+Q=0

正弦和余弦投影只用最近三个完整驱动周期，每个周期在 128 个均匀分布的相位上取样。残留的启动瞬态会让结果失真，并出现在非谐波残差里。做功和耗散各自独立积分。

常见难点

两种不同的共振峰

容易误解位移与吸收功率必须在同一频率达到峰值。

正确理解加大阻尼，再找位移峰。功率峰仍在固有频率；阻尼足够强时，位移曲线在零频以上就没有峰了。

完整窗口仍可能包含瞬态

容易误解三个完整周期自动意味着测到了稳态。

正确理解早测一次，晚测一次。两次都能算出傅里叶投影，但早期的残差和相位可能暴露出启动瞬态还没消失。

带宽必须说明测量量

容易误解功率带宽就是位移半峰宽。

正确理解显示的带宽属于吸收功率，在这个黏性阻尼模型里是精确值，不能套用到别的响应曲线上。

动手实验

01
观察启动过程
绕着力驱动器旋转视角，用精细单步比较驱动力和速度。拖动查看最初三个驱动周期，再点“测量当前频率”，它在运行终点测量。
你会看到： 凑满三个完整周期之前没有测量值；越往后，测得的振幅和相位越接近稳态参考。
02
建立响应曲线
点“测量十九个频率”，再拖动振幅游标扫过峰值。
你会看到： 每个蓝点都来自一次独立求解的数值实验。
03
区分振幅与功率
加大阻尼，找到振幅峰值，再比较固有频率处的吸收功率。
你会看到： 位移峰值向低频移动，功率共振仍在固有频率。
04
看能量去了哪里
切换到能量回看，在实验后段比较驱动做功、耗散和储能。切换视图不会丢掉已测的扫频点和游标。
你会看到： 阻尼器持续移走能量，因此做功可以超过当前储能。