受迫共振与相位滞后

受迫振动时，振幅最大和吸收功率最大，在同一个频率吗？ 功率峰在固有频率处。有阻尼时，位移峰会移向低频；阻尼足够大时，正频率的位移峰会消失。

扫过驱动频率，看滑块何时振得最猛、何时跟不上推力。由模拟采样测振幅、相位和功率，再比较共振峰。

采集振幅 $\text{Loading}$

采集相位滞后 $\text{Loading}$

采集平均功率 $\text{Loading}$

模型品质因数 $\text{Loading}$

m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\sin\omega t

质量块沿水平方向运动。力执行器推质量块，弹簧的固定端保持不动。

\begin{gathered}A=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}\\\phi=\operatorname{atan2}(c\omega,k-m\omega^2)\end{gathered}

起振时的自由运动衰减后，只留下驱动频率的响应。相位从施加的正弦推力量起，运动会从几乎同相逐渐变到几乎反相。

\begin{gathered}\overline P=\tfrac12 c\omega^2 A^2\\\Delta f=\frac{c}{2\pi m},\qquad Q=\frac{m\omega_0}{c}\end{gathered}

在线性黏性阻尼模型中，这些是精确稳态结果。带宽取吸收功率降到峰值一半的两个频率之差。

\begin{gathered}\omega_{\rm peak}=\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}\\\zeta<1/\sqrt2\end{gathered}

阻尼超过这个范围，就没有正频率的位移峰。功率峰仍在固有频率处，位移也在这里比推力落后四分之一周期。

\begin{gathered}E=\tfrac12 m\dot x^2+\tfrac12kx^2\\E-E_0=W-Q_{\rm heat}\end{gathered}

数值轨迹分别积分推力做功与阻尼发热，再与储能变化比较。

容易误解滑块振得最远时，一定吸收最多功率。

正确理解功率还取决于速度，以及推力何时作用。增大阻尼，比较振幅与平均功率曲线，两个峰就会分开。

01
扫过共振
把驱动频率比调到一以下和一以上，比较振幅长起来与跟快速推力反向的预设。
你会看到： 峰值附近振幅变大，运动从跟着推力逐渐变到与推力近乎反向。
02
把峰压宽
增加阻尼比，再采集扫频。
你会看到： 测得的功率峰变宽，扫频诊断给出带宽和品质因数估计。
03
看一次起振
拖金色滑块设置释放位置，或选看起振。
你会看到： 初始的自由运动逐渐消失，最后按驱动频率运动。
04
保留采样
导出原始CSV，展开模拟观测与扫频结果。
你会看到： 每个频点都有各自的采样轨迹。瞬态还在时，采集点与稳态参考会有差别。