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Sandbox Physics

M064 · 振动 / 频率响应

受迫共振与相位滞后

正弦力驱动器推动弹簧与阻尼器。拖动频率游标，检查启动瞬态，在三个完整驱动周期中测量振幅与相位；扫描十九次独立数值实验，与解析响应曲线比较，并记录驱动做功、耗散与储能。

交互模型受迫共振与相位滞后
经过时间0 s0\,\mathrm{s}
相对平衡位置的位移0 m0\,\mathrm{m}
速度0 m s−10\,\mathrm{m\,s^{-1}}
无阻尼参考周期0 s0\,\mathrm{s}
相对平衡位置的机械能0 J0\,\mathrm{J}
积分耗散能量0 J0\,\mathrm{J}
积分驱动做功0 J0\,\mathrm{J}
能量收支误差0 J0\,\mathrm{J}
相对解析解的位移误差0 m0\,\mathrm{m}
步长减半后的终点变化0 m0\,\mathrm{m}
实际积分步长0 ms0\,\mathrm{ms}
解析稳态振幅0 m0\,\mathrm{m}
解析稳态相位滞后0∘0{}^{\circ}
三个周期测得的振幅采样中\text{采样中}
三个周期测得的相位滞后采样中\text{采样中}
谐波投影残差均方根采样中\text{采样中}
解析稳态吸收功率0 W0\,\mathrm{W}
吸收功率半峰宽0 Hz0\,\mathrm{Hz}
品质因数00
已测量频率点数00
位移峰值位置采样中\text{采样中}

物理教程

把共振与启动过程分开

背景周期驱动器持续输入能量，阻尼持续移走能量。运动包含衰减的启动瞬态和驱动频率处的稳态响应；只看振幅会遗漏相位与功率平衡。

为什么值得理解OpenStax《University Physics》第一卷第 15.6 节提供受迫振动参考。十九条独立数值轨迹与三个周期的傅里叶测量，让响应曲线经过实际测量流程。

先抓重点

核心问题
位移峰值在哪里，功率峰值在哪里，测得的响应已经稳定了吗？
一句话直觉
频率响应取决于测量量。等待瞬态、检查投影残差，同时比较相位和振幅。

核心数学模型

复频率响应

mx¨+cx˙+kx=F0sin⁡(ωt),A=F0(k−mω2)2+c2ω2m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\sin(\omega t),\quad A=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}

解析振幅描述无限时间特解；实际轨迹还含有由初始位移与速度决定的齐次瞬态。

相位与位移峰值

ϕ=atan2⁡(cω,k−mω2),ωpeak=ω01−2ζ2(ζ<1/2)\phi=\operatorname{atan2}(c\omega,k-m\omega^2),\quad\omega_{\mathrm{peak}}=\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}\quad(\zeta<1/\sqrt2)

位移滞后于力。超过所示阻尼阈值后，振幅从零频开始单调下降；寻峰按钮限于显示的扫描区间，因此可能选择区间下边界。

功率共振与带宽

P‾=F02cω22[(k−mω2)2+c2ω2],ΔωP=cm,Q=mω0c\overline P=\frac{F_0^2c\omega^2}{2[(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2]},\quad\Delta\omega_{P}=\frac cm,\quad Q=\frac{m\omega_0}{c}

吸收功率在固有频率达到峰值，即使位移峰值在别处。精确的功率半峰宽并非位移半峰宽；显示带宽已从角频率换算为每秒周期数。

三个周期投影与能量收支

A^=as2+ac2,ϕ^=atan2⁡(−ac,as),E−E0−Wdrive+Q=0\widehat A=\sqrt{a_s^2+a_c^2},\quad\widehat\phi=\operatorname{atan2}(-a_c,a_s),\quad E-E_0-W_{\mathrm{drive}}+Q=0

正弦与余弦投影仅使用过去三个完整驱动周期，每周期采用 128 个均匀相位样本。启动瞬态污染投影并体现于非谐波残差；做功与耗散各自独立积分。

常见难点

两种不同的共振峰

容易误解位移与吸收功率必须在同一频率达到峰值。

正确理解提高阻尼并寻找位移峰值；功率仍在固有频率达到峰值，强阻尼会消除区间内的位移峰。

完整窗口仍可能包含瞬态

容易误解三个完整周期自动意味着测到了稳态。

正确理解比较早期与晚期。两时刻都可定义傅里叶投影，但早期残差和相位可能显露启动污染。

带宽必须说明测量量

容易误解功率带宽就是位移半峰宽。

正确理解显示带宽属于吸收功率，在此黏性阻尼模型中为精确值；不能套用到另一种响应曲线。

动手实验

  1. 01

    分辨启动过程

    检查最初三个驱动周期，再在终点测量当前频率。

    应该观察到： 完整窗口之前没有测量值；晚期振幅与相位逐渐接近稳态参考。
  2. 02

    建立响应曲线

    测量十九个频率，跨过峰值拖动振幅游标。

    应该观察到： 每个蓝点来自独立求解的实验，不是复制解析曲线。
  3. 03

    区分振幅与功率

    提高阻尼，寻找振幅峰值，并比较固有频率处的吸收功率。

    应该观察到： 位移峰值向低频移动，功率共振仍在固有频率。
  4. 04

    检验能量预算

    在实验后期比较驱动做功、耗散和储能。

    应该观察到： 阻尼器持续移走能量，因此做功可以超过当前储能。