M033 · 散射 / 矢量动量

二维碰撞桌

二维碰撞里，什么决定散射角？ 接触法线的方向和恢复系数。法线方向由碰撞参数，也就是偏心距离决定。冲量只沿法线作用：恢复系数决定碰后法向相对速度是多少，没有摩擦时，沿接触面的相对速度保持不变。

把圆盘对准气垫桌上静止的目标，拖动碰撞参数，三维视角可以随意旋转。看接触法线、反冲和出射轨迹，验证碰后两个动量箭头加起来等于入射动量。拟合相机轨迹，可以测出法向恢复系数。圆盘停住、恰好擦边、完全错过，三种情况各自给测量带来不同的限制。

质心水平位置 $0\,\mathrm{m}$

质心横向位置 $0\,\mathrm{m}$

质心水平速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

标定法线上的相对速度 $\text{No event}$

标定切线上的相对速度 $\text{No event}$

光标之前的摄影帧数 $1$

经过时间 $0\,\mathrm{s}$

相机系水平动量 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

相机系动能 $0\,\mathrm{J}$

碰撞耗散能量 $0\,\mathrm{J}$

已传递法向冲量 $0\,\mathrm{N\,s}$

预测接触时间 $\text{No event}$

摄影速度测得的恢复系数 $\text{Collecting}$

摄影位置残差均方根 $\text{Collecting}$

动量守恒偏差 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

动能与耗散收支偏差 $0\,\mathrm{J}$

横向动量 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

入射圆盘速度方向角 $0{}^{\circ}$

目标反冲方向角 $\text{Stopped}$

参考碰后法向分离速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

看一次碰撞，再推断发生了什么

二维碰撞里，什么决定散射角？

已发生轨迹解析参考轨迹只画到光标所在的时刻。质心标记标出所选观察者参考系里按质量加权的平均位置。已发生接触事件接触发生以后，才显示接触时刻的轮廓和冲量箭头。速度与接触矢量箭头为示意，数值读数保留物理单位。质量一

m_1

1.00\,\mathrm{kg}

质量二

m_2

1.00\,\mathrm{kg}

入射速度

u

2.40\,\mathrm{m\,s^{-1}}

带符号碰撞参数

b

0.45\,\mathrm{m}

法向恢复系数

e

1.00\,

相机帧率

f_{\mathrm{cam}}

60.00\,\mathrm{Hz}

位置噪声标准差

\sigma_{\mathrm{pos}}

0.00\,\mathrm{m}

已采集轨迹

\tau

0.00\,\%

上下拖动蓝色发射标记。蓝色和橙色轨迹用同一个距离比例尺，速度分量另外画出。方向角从水平正方向量起，带正负号；停住的圆盘没有方向。相机估计值超出物理范围时也照实显示，不会被截到范围以内。

圆盘光滑无摩擦，半径固定，不自转，放在没有边界的气垫桌上。冲量沿两圆心连线，相对切向速度保持不变。斜碰时，法向恢复系数为零并不会让圆盘粘在一起；恰好擦边时不传递冲量。装置镜头跟着圆盘移动，并带米制标尺；轨迹图两个方向用同一比例尺。相机的时间、长度和接触法线都单独标定。

先抓重点

核心问题: 为什么斜碰时恢复系数为零，两圆盘仍可能分开运动？
一句话直觉: 恢复系数只管法向的相对速度；接触面光滑，切向的相对运动不变。

核心数学模型

法向接近速度与冲量

g_n=(\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\mathbf n<0,\qquad J=-\frac{(1+e)g_n}{1/m_1+1/m_2}

接触时，法线从目标圆心指向入射圆盘。两盘正在分开或恰好擦边时，不传递冲量。

二维碰后速度

\mathbf v_1=\mathbf u_1+\frac{J}{m_1}\mathbf n,\qquad\mathbf v_2=\mathbf u_2-\frac{J}{m_2}\mathbf n

冲量大小相等、方向相反，两个方向的动量都守恒。

法向恢复与切向运动

(\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot\mathbf n=-e\,g_n,\quad(\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot\mathbf t=(\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\mathbf t

恢复系数为零只消除法向的相对运动，并不让圆盘粘在一起。

何时接触，损失多少能量

|\mathbf r_1(t_c)-\mathbf r_2(t_c)|=R_1+R_2,\qquad\Delta K=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1-e^2)g_n^2

圆盘走直线，接触方程的第一个根就是接触时刻。偏移超过两半径之和就会错过；恰好擦边时没有法向冲量。

常见难点

恢复系数为零，不等于粘住

容易误解恢复系数为零，斜碰的两个圆盘就一定会粘在一起。

正确理解只要偏移不为零，切向的相对速度就保持不变，两盘照样分开。

停住的圆盘没有方向

容易误解入射圆盘停住了，散射角就是零。

正确理解等质量弹性正碰后，入射圆盘停住。速度为零就没有方向，实验直接报告它已停止。

接触不一定有冲量

容易误解只要看到两盘碰上，速度就会变。

正确理解恰好擦边时，法向上没有接近速度，也就没有动量传递。

动手实验

01
找到碰撞瞬间
依次点“碰撞前一刻”“定位碰撞”“碰撞后一刻”，旋转视角，再切到“守恒收支”。
你会看到： 位置连续变化，速度却突然跳变。紫色箭头是碰撞时已经传递的冲量，不是整个回放中一直作用的力。
02
追踪质心
把两盘质量设得不同，拖动记录进度，看青色的质心标记。
你会看到： 两盘速度变了，质心速度却不变。动量和能量只统计到光标所在的时刻。
03
检查动量是否加得起来
选“斜向弹性碰撞”，点“记录碰撞”。
你会看到： 两条出射动量箭头之和等于原始入射箭头。
04
改变偏移
拖动蓝色发射标记，从正偏移拖到负偏移。
你会看到： 偏移一变号，接触法线和偏转方向都跟着翻过来。
05
只消除法向运动
偏移不为零时，选“法向恢复系数为零”。
你会看到： 法向不再分离，切向的相对运动还在。
06
比较几种极端情况
比较“正碰交换”“恰好擦边”“错过目标”三个预设。
你会看到： 圆盘停住、碰上却没有冲量、根本没碰上，这三种情况的几何含义各不相同。

核心数学模型

法向接近速度与冲量

二维碰后速度

法向恢复与切向运动

何时接触，损失多少能量

常见难点

恢复系数为零，不等于粘住

停住的圆盘没有方向

接触不一定有冲量

动手实验

找到碰撞瞬间

追踪质心

检查动量是否加得起来

改变偏移

只消除法向运动

比较几种极端情况