跳到主要内容
Sandbox Physics

M033 · 散射 / 矢量动量

二维碰撞桌

瞄准静止目标，拖动圆盘的碰撞参数。观察接触法线、反冲与出射轨迹，检验二维动量多边形闭合。摄影拟合恢复法向恢复系数；圆盘停止、恰好擦边与完全错过揭示不同的测量边界。

交互模型二维碰撞桌
经过时间0 s0\,\mathrm{s}
相机系水平动量0 kg m s−10\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}
相机系动能0 J0\,\mathrm{J}
碰撞耗散能量0 J0\,\mathrm{J}
已传递法向冲量0 N s0\,\mathrm{N\,s}
预测接触时间No event\text{No event}
摄影速度测得的恢复系数Collecting\text{Collecting}
摄影位置残差均方根Collecting\text{Collecting}
动量守恒偏差0 kg m s−10\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}
动能与耗散收支偏差0 J0\,\mathrm{J}
竖直动量0 kg m s−10\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}
入射圆盘速度方向角0∘0{}^{\circ}
目标反冲方向角Stopped\text{Stopped}
参考碰后法向分离速度0 m s−10\,\mathrm{m\,s^{-1}}

物理教程

斜碰撞的几何

背景光滑接触沿两圆盘中心连线传递冲量。动量是矢量，反冲必须同时闭合两个坐标方向的收支。

为什么值得理解OpenStax《University Physics》第一卷第 9.5 节讨论多维碰撞。气垫桌展示法向冲量，并把摄影速度拟合与精确接触求解比较。

先抓重点

核心问题
为什么斜碰时恢复系数为零，两圆盘仍可能分开运动？
一句话直觉
恢复系数只约束相对法向分量；光滑接触不改变相对切向运动。

核心数学模型

接近法向与冲量

gn=(u1−u2)⋅n<0,J=−(1+e)gn1/m1+1/m2g_n=(\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\mathbf n<0,\qquad J=-\frac{(1+e)g_n}{1/m_1+1/m_2}

法线在接触时从目标中心指向入射圆盘。分离或恰好擦边不传递冲量。

二维速度更新

v1=u1+Jm1n,v2=u2−Jm2n\mathbf v_1=\mathbf u_1+\frac{J}{m_1}\mathbf n,\qquad\mathbf v_2=\mathbf u_2-\frac{J}{m_2}\mathbf n

大小相等、方向相反的冲量同时守恒两方向动量。

法向恢复与切向运动

(v1−v2)⋅n=−e gn,(v1−v2)⋅t=(u1−u2)⋅t(\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot\mathbf n=-e\,g_n,\quad(\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot\mathbf t=(\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\mathbf t

恢复系数为零只消除法向相对运动，不施加粘合约束。

接触几何与耗散

∣r1(tc)−r2(tc)∣=R1+R2,ΔK=12m1m2m1+m2(1−e2)gn2|\mathbf r_1(t_c)-\mathbf r_2(t_c)|=R_1+R_2,\qquad\Delta K=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1-e^2)g_n^2

直线运动确定首次接触根。偏移超过半径和时错过；恰好擦边没有法向冲量。

常见难点

法向恢复为零不是粘合

容易误解恢复系数为零必然让斜碰圆盘合并。

正确理解保留非零偏移：未改变的相对切向运动使圆盘分开。

零矢量没有方向

容易误解停止的入射圆盘具有零散射角。

正确理解等质量弹性正碰使入射圆盘停止，方向读数报告停止。

接触不一定有冲量

容易误解每次看见接触都改变速度。

正确理解恰好擦边没有接近法向速度，也没有动量传递。

动手实验

  1. 01

    散射并闭合多边形

    记录斜向弹性预设。

    应该观察到： 两条出射动量箭头之和等于原始入射箭头。
  2. 02

    改变几何

    拖动蓝色发射标记穿过正负偏移。

    应该观察到： 接触法线与带符号偏转随偏移翻转。
  3. 03

    只耗散法向运动

    非零偏移下选择法向恢复为零。

    应该观察到： 法向分离速度消失，相对切向运动仍在。
  4. 04

    寻找边界

    比较正碰、擦边与错过预设。

    应该观察到： 停止圆盘、零冲量接触与错过具有不同几何含义。