流体力学 · 三维涡丝工作台

Vortex Rings

后面的涡环为什么会收缩，从前面的涡环中间钻过去？ 两个环在交换大小和速度。前环的流动把后环往里吸，后环收缩、变快；后环的流动把前环往外推，前环张大、变慢，后环就从前环中间钻了过去。整个过程中，两个涡核始终没有断开或重连。

两个已经成形的涡环，在彼此诱导的速度场里收缩、扩张，交换前后位置。旋转三维视角，看被动示踪粒子随算出的速度场运动；再把穿越过程和环的位置、半径曲线、守恒误差以及单环速度基准对照起来。

模拟时间 $0.00\,\mathrm{s}$

环 A 速度

U_A

$0.000\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

前后位置交换 $0$

归一化冲量漂移 $0.000\%$

能量积分漂移 $0.00\%$

非局部间距

d_{\min}/a

$0.00$

最大曲率

\kappa_{\max}R_0

$1.00$

推进与粒子耗时 $0.0\,\mathrm{ms}$

模型边界无黏性 · 固定正则核

一次可控的相互作用

让两个涡环互相推动

物质粒子轨迹在计算速度场中推进被动粒子，不使用预设圆轨道。轴向切片速度在穿过环心的切片上采样同一个三维速度场。显示离散节点显示环核管面之下的数值多边形节点。跟随环心保持相互作用位于视野内；关闭后可观察绝对平移。初始涡环半径

R_0

0.16\,\mathrm{m}

环流强度

|\Gamma|

0.12\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}

初始轴向间距

d_0/R_0

0.70

正则核尺度

a/R_0

0.09

每环离散段数

N

64

四波扰动幅度

\varepsilon/R_0

0.06

播放倍率

0.45

三叶结是一根首尾相连、打了结的涡丝，和圆环用同一个 Biot–Savart 求解器推进。圆环推进速度的基准对它不适用，应该看冲量、能量、曲率和核间距。两段涡核一接触，模型就停止，不模拟涡结重连。

选“单环基准”，再增加每环段数。参考值是用同一个正则核，对一个光滑圆环单独积分得到的；细核公式的核约定不同，所以没有用它。

非局部间距满足 $d_{\min}<2a$ ，或者弯曲太急、离散段分辨不了时，求解器就暂停；它不推断重连或黏性碰撞。

概念灵感：Bugman123 Fluid Motion。正则涡丝核参见 Ruban，Physics of Fluids 30, 084104（2018）的非局部项；本实验不使用该文的量子涡核模型。

模型用无黏、正则化的涡丝：每段涡丝通过 Biot–Savart 核影响其余各段，时间推进用四阶 Runge–Kutta。固定的核尺度只是数值正则化，模型不求解烟雾密度，也不模拟黏性核的扩散。环核靠近或分段不够细时，模拟暂停。喷嘴成环、黏性、湍流和重连都不在模型之内。

物理教程

涡环为什么会互相穿越

背景烟圈的核心是一根首尾相接的涡管。这个实验从已经成形的涡环开始，不模拟喷嘴口剪切层卷起成环的过程。每根涡管的中心线分成许多小段，围成一个闭合的三维多边形；每一段都会在其余节点和示踪粒子处产生诱导速度。

为什么值得理解两个同向运动的涡环不是刚体，也不是各走各的圆轨道。后环可以收缩、加速，前环扩张、减速，然后两者互换角色。三维画面、位置曲线和半径曲线讲的应是同一次交换。

先抓重点

核心问题: 后面的涡环从前环中间穿过去时，是两个环核互相切断了，还是它们交换了半径和速度？
一句话直觉: 穿越换的是前后顺序，涡丝的连接方式没有变。两个同向涡环在彼此诱导的速度场里改变半径；在这个模型里，闭合涡丝从不被人为重连。

核心数学模型

正则化 Biot–Savart 速度

\mathbf u(\mathbf x)=\sum_j\frac{\Gamma_j}{4\pi}\oint_{C_j}\frac{d\mathbf X\times(\mathbf x-\mathbf X)}{\left(|\mathbf x-\mathbf X|^2+a^2\right)^{3/2}}

节点之间用周期三次曲线插值，每段上用三点 Gauss 求积计算 Rosenhead–Moore 核，再用四阶 Runge–Kutta 推进节点。核尺度 $a$ 固定不变，它是数值正则化参数，不是求解得到的黏性核半径。

光滑圆环的独立推进基准

U_{\rm ref}=\frac{\Gamma}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R^2(1-\cos\theta)}{\left[2R^2(1-\cos\theta)+a^2\right]^{3/2}}\,d\theta

这个基准直接在光滑圆环上积分，不用求解器的多边形段。段数加密后，单环速度应趋近这个同核结果。它检验的是离散是否自洽，不能证明与真实流体实验相符。

闭合涡丝冲量

\frac{\mathbf I}{\rho}=\frac12\sum_j\Gamma_j\oint_{C_j}\mathbf X\times d\mathbf X

界面显示冲量矢量相对初值的变化，再除以各环初始冲量大小之和来归一化。两个反向环的总冲量可能为零，所以不能直接除以初始总冲量。

同核能量积分

\frac{H}{\rho}=\frac{1}{8\pi}\sum_{i,j}\Gamma_i\Gamma_j\oint\!\oint\frac{d\mathbf X_i\cdot d\mathbf X_j}{\sqrt{|\mathbf X_i-\mathbf X_j|^2+a^2}}

在各段上用三点 Gauss 双重求积监测能量漂移。节点数固定、多边形近似和时间积分都会带来误差；涡丝变形严重时出现的漂移，不能当成真实的黏性耗散。

常见难点

环核管面不是烟雾密度

容易误解颜色更亮、管面更粗，说明这里算出了更浓的烟雾。

正确理解管面粗细只标出正则化尺度，颜色用来区分两个环。被动粒子跟着算出的速度场运动，但不会反过来影响流场，也不代表可压缩烟雾的密度。隐藏粒子不会改变涡丝的运动。

反向环靠近，模型并不模拟重连

容易误解在这个模型里，两个反向环最后一定会合并、湮灭或变成小环。

正确理解环核靠得太近时，细涡丝近似就不再可信，实验会明确暂停。要模拟重连，需要另外的黏性或量子流体模型，不能靠一段动画补出来。

动手实验

01
用三种方式看同一次穿越
选择“双环穿越”，播放或单步推进。环 A 是青绿色，环 B 是琥珀色。
你会看到： 两条轴向位置曲线相交时，交换次数加一，这时较小的环正从较大的环中间穿过。关掉“跟随环心”，就能看出整体在平移。
02
检查离散段数，别只看画面圆不圆滑
选择“单环基准”，依次比较较粗和较密的离散段数，再打开离散节点。
你会看到： 多边形算出的速度和光滑圆环基准越来越接近。只减小核尺度而不加密分段，误差反而可能变大。
03
找到模型失效的地方
选择“反向接近”，再对比“波状扰动”，其他参数保持不变。
你会看到： 反向环相互靠近并扩张；强扰动会改变局部曲率。环核接触或分段不够细时，实验暂停并给出原因，不会画出假想的重连。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。