流体力学 · 三维涡丝工作台

Vortex Rings

两个已经形成的涡环，在彼此诱导的速度场中收缩、扩张、交换前后位置。旋转三维视角，跟随真实速度场中的被动示踪粒子；把穿越动画与环的位置、半径、守恒误差和单环速度基准接在一起。

模拟时间 $0.00\,\mathrm{s}$

环 A 速度

U_A

$0.000\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

前后位置交换 $0$

归一化冲量漂移 $0.000\%$

能量积分漂移 $0.00\%$

非局部间距

d_{\min}/a

$0.00$

最大曲率

\kappa_{\max}R_0

$1.00$

推进与粒子耗时 $0.0\,\mathrm{ms}$

模型边界无黏性 · 固定正则核

一次可控的相互作用

让两个涡环互相推动

物质粒子轨迹在计算速度场中推进被动粒子，不使用预设圆轨道。轴向切片速度在穿过环心的切片上采样同一个三维速度场。显示离散节点显示环核管面之下的数值多边形节点。跟随环心保持相互作用位于视野内；关闭后可观察绝对平移。初始涡环半径

R_0

0.16\,\mathrm{m}

环流强度

|\Gamma|

0.12\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}

初始轴向间距

d_0/R_0

0.70

正则核尺度

a/R_0

0.09

每环离散段数

N

64

四波扰动幅度

\varepsilon/R_0

0.06

播放倍率

0.45

三叶结是由同一个 Biot–Savart 求解器推进的闭合涡丝，不是预设动画。圆环推进速度基准不适用于涡结，应观察冲量、能量、曲率与核间距；模型在环核接触时停止，不模拟涡结重连。

选择单环后加密离散段。基准独立积分同一正则核下的光滑圆环，不混用不同核模型的细核公式。

当非局部间距达到 $d_{\min}<2a$ 或弯曲离散不足时暂停；不推断重连或黏性碰撞。

概念灵感：Bugman123 Fluid Motion。正则涡丝核参见 Ruban，Physics of Fluids 30, 084104（2018）的非局部项；本实验不使用该文的量子涡核模型。

无黏性正则化涡丝模型：每段涡丝通过 Biot–Savart 核相互诱导，四阶 Runge–Kutta 推进。固定核尺度是数值正则化，不是求解烟雾密度或黏性核扩散。环核接近或离散不足时暂停；不模拟喷嘴成环、黏性、湍流或重连。

物理教程

涡环为什么会互相穿越

背景烟圈的环核是一根闭合的涡管。这个实验从已经形成的环开始，不模拟喷嘴的剪切层卷起；把涡管中心线离散成闭合三维多边形，每一段都对其余节点和示踪粒子诱导速度。

为什么值得理解同向双环既不是刚体，也不是两条独立的圆轨道：后环可以收缩加速，前环扩张减速，然后角色交换。三维视图、位置曲线和半径曲线应当同时解释这一次交换。

先抓重点

核心问题: 后面的涡环从前环的洞里穿过时，是环核互相切断了，还是半径与速度发生了交换？
一句话直觉: 穿越交换的是轴向顺序，而不是涡丝拓扑。两个同向涡环在彼此诱导的速度场中改变半径；本模型中闭合涡丝从不人为重连。

核心数学模型

正则化 Biot–Savart 速度

\mathbf u(\mathbf x)=\sum_j\frac{\Gamma_j}{4\pi}\oint_{C_j}\frac{d\mathbf X\times(\mathbf x-\mathbf X)}{\left(|\mathbf x-\mathbf X|^2+a^2\right)^{3/2}}

对节点作周期三次曲线插值，在每段上用三点 Gauss 积分 Rosenhead–Moore 核，再用四阶 Runge–Kutta 更新节点。核尺度 $a$ 保持固定；它不是已解析的黏性核半径。

光滑圆环的独立推进基准

U_{\rm ref}=\frac{\Gamma}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R^2(1-\cos\theta)}{\left[2R^2(1-\cos\theta)+a^2\right]^{3/2}}\,d\theta

基准在光滑圆环上独立积分，不使用求解器的多边形段；提高离散段数应让单环速度趋近这个同核结果。它是离散一致性检验，不是实验流体的认证。

闭合涡丝冲量

\frac{\mathbf I}{\rho}=\frac12\sum_j\Gamma_j\oint_{C_j}\mathbf X\times d\mathbf X

界面显示冲量矢量相对初值的变化，以初始各环冲量尺度的总和归一化。反向双环总冲量可为零，因此不能直接除以初始总冲量。

同核能量积分

\frac{H}{\rho}=\frac{1}{8\pi}\sum_{i,j}\Gamma_i\Gamma_j\oint\!\oint\frac{d\mathbf X_i\cdot d\mathbf X_j}{\sqrt{|\mathbf X_i-\mathbf X_j|^2+a^2}}

用段上的三点 Gauss 双重积分监测能量漂移。固定节点数、多边形近似和时间积分均会产生误差；数值变形严重时，漂移不能被解释成真实黏性耗散。

常见难点

环核管面不是烟雾密度

容易误解颜色更亮、管面更粗，说明这里计算出了更浓的烟雾。

正确理解管面仅标记正则化尺度，颜色区分环的身份。被动粒子在计算速度场中推进，但不反馈流场，也不代表可压缩烟雾密度。隐藏粒子不会改变涡丝动力学。

反向接近不是重连模拟

容易误解两个反向环最后必然在这个模型中合并、湮灭或变成小环。

正确理解核距离变小后，细涡丝近似不再可信。实验会明确暂停；重连需要另外的黏性或量子流体模型，不能用一段视觉动画补出来。

动手实验

01
让三种读法对上同一次穿越
选择双环穿越，播放或单步推进。环 A 为青绿，环 B 为琥珀色。
应该观察到： 轴向位置曲线相交时，交换计数增加；较小的环正从较大的环内部穿过。关闭跟随环心，可分辨整体平移。
02
检查段数，而不是只相信圆滑的画面
选择单环基准，依次比较较粗和较密的离散段数，再打开离散节点。
应该观察到： 多边形速度与光滑圆环基准之间的误差减小。减小核尺度却不加密网格，反而可能让误差增大。
03
找到模型不该继续解释的地方
选择反向接近，再对比波状扰动。保持其他参数不变。
应该观察到： 反向环接近并扩张；强扰动会改变局部曲率。到达核接触或离散不足的边界后，实验暂停并给出原因，不绘制假想的重连结果。

概念灵感：FluidMotion。模拟与图形均为原创，模型适用边界见上文。