压力失配 · 可压缩流

超声速喷流与激波菱形

超声速喷流的出口压力和周围不一样时，为什么会出现一串菱形？ 出口压力比环境高，喷流先膨胀；比环境低，先被压缩。每次冲过头，波在喷流边界上反射成相反的类型，膨胀和压缩就沿喷流交替出现，画出一串菱形。压力正好匹配、又没有黏性的理想喷流，会一直保持笔直。

收缩—扩张喷管为一股平面喷流提供出口状态，喷流由 Euler 方程实时算出。在马赫数、压力和数值纹影视图里比较欠膨胀、压力匹配和过膨胀三种喷流。沿中心线追踪波系，检查开放箱域是否守恒，再拿一道有精确解的法向激波检验代码。

模拟时间

t

$0$

喷管总压

p_0/p_a

$0$

出口 / 喉部面积

A_e/A_*

$0$

入口质量流率

\dot m

$0$

理想喷管推力

F

$0$

探针马赫数

M_p

$0$

探针压力

p_p/p_a

$0$

探针压力（千帕）

p_p\;[\mathrm{kPa}]

$0$

开放箱守恒误差

\varepsilon_U

$0$

相对状态变化率

r_U

$0$

法向激波压力误差

\varepsilon_s

$\mathrm{n/a}$

一阶回退步数

n_{\mathrm{lim}}

$0$

单步耗时

\mathrm{ms}

$0$

喷管出口与喷流

让出口压力与环境压力匹配

喷流质量分数轮廓被动输运的接触层，不是固体壁面。压缩区提示标出有压力梯度、速度散度为负的网格，只是提示，不能精确定位激波。出口 / 上游马赫数

M_e

2

出口 / 环境压力

p_e/p_a

1.8

比热比

\gamma

1.4

一维基线喷管长度

L_n

2.5

一维基线轮廓形状

q_n

1

环境压力（千帕）

p_a\;[\mathrm{kPa}]

101.3

网格分辨率

N

1

多维 CFL 限制

\mathrm{CFL}

0.4

期望模拟速度

s

1

流场图层

\mathcal V

2

点击流场或中心线图可以移动探针；选中画布后，也可以用方向键移动。改变物理参数或网格会重新开始计算，切换图层或调整速度不会。修改预设后，喷流属于哪种膨胀状态，仍按实际压力比判断。

归一化单位： $R=T_0=T_a=p_a=D_e=1$ 。喷管外的完整箱域长 12 个出口宽度、高 5 个出口宽度。手机上只显示近场窗口，计算的仍是整个箱域。计算从一股预先填好的笔直喷流开始，随后逐渐松弛。要给波系时间发展，开头的图像只是瞬态。

求解器采用 MUSCL 重建、混合 HLLC/HLLE 通量和 SSP-RK2 时间推进。压缩性的压力跳跃用 HLLE。某一步不合格时，先改用一阶格式重算，再把步长减半。密度和压力不设下限，能量也不做修正。守恒检查积分的是实际边界通量；误差小并不证明网格已经收敛。

喷管长度和轮廓形状改变一维基线的面积和马赫数剖面，不改变设定的出口状态。环境压力决定有量纲的压力尺度：出口与环境的压力比固定时，归一化的无黏喷流完全相同。质量流率和推力仍是归一化值，不是 SI 单位下的预测。出口位于一块滑移壁面的喷口板上。环境储库和下游外推都是近似的开放边界，不能完全消除反射。分辨率高时，每帧计算时间有限，推进可能变慢。

气体按量热完全气体处理。模型不含燃烧、黏性和热传导，也不预测声音。上游喷管用一维等熵关系计算，不在二维网格里。喷管外的喷流是平面流，不是轴对称流。可调的压力范围假定出口为超声速，喷管内没有激波。数值纹影也会显示接触层，只看到暗边不能断定有激波。

物理教程

压力失配产生一组波系

背景超声速喷管出口的压力不一定等于周围环境的压力。喷流离开喷管后，要靠膨胀波和压缩波来调整。这些波在喷流里来回交叉，可能形成一串重复的激波单元。

为什么值得理解一段发光菱形的动画，看不出压力、质量流率或激波跳跃是否合理。这里给出四样可以分开检查的东西：喷管计算、喷管外算出的流场、中心线上的剖面，以及整个箱域的守恒检查。

先抓重点

核心问题: 出口压力高于、等于或低于环境压力时，喷流会有什么不同？
一句话直觉: 出口压力高于环境时，喷流先膨胀；低于环境时，先压缩。压力匹配时，笔直的无黏喷流本身就是定常解，边界只是一层静止的接触剪切层，所以求解器在这个极限下不会生出菱形。

核心数学模型

喷管面积与马赫数

\frac{A}{A_*}=\frac1M\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}},\quad \frac{p}{p_0}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{-\frac{\gamma}{\gamma-1}}

比喉部大的每个面积都对应两个解，一个亚声速，一个超声速。喷管计算在喉部之前取亚声速解，之后取超声速解。总温固定，总压由选定的出口状态反推。喷管内的激波和壁面边界层都不计算。

声速喉部的最大流量与理想推力

\dot m=\rho u A=\frac{A_*p_0}{\sqrt{T_0}}\sqrt{\frac\gamma R}\left(\frac2{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}},\quad F=\dot m u_e+(p_e-p_a)A_e

面积和总压、总温都固定时，质量流量在气流达到声速处最大。喷管每个截面通过的质量流量都相同。推力取一维理想喷管的值，按单位展长计，不是在二维计算箱上测出的力。临界压力比描述的是局部声速喉部，不是所有收缩—扩张喷管通用的背压门槛。

法向激波的精确跳跃关系

\frac{p_2}{p_1}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_1^2-1),\quad \frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{(\gamma+1)M_1^2}{2+(\gamma-1)M_1^2},\quad M_2^2=\frac{1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2-\frac{\gamma-1}{2}}

激波两侧的质量、轴向动量和能量通量相等，总压却下降。法向激波检验用同一套二维代码演化这个静止的跳跃，中心线上的虚线则直接由解析式算出。误差取压力的平均绝对误差，再除以下游压力。这个检验看的是代码怎样处理激波，并不是说每个喷流都会出现马赫盘。

外部二维 Euler 流

\partial_t\mathbf U+\partial_x\mathbf F+\partial_y\mathbf G=0,\quad \mathbf U=(\rho,\rho u,\rho v,\mathcal E,\rho c)^{\mathsf T},\quad p=(\gamma-1)\left[\mathcal E-\tfrac12\rho(u^2+v^2)\right]

代码以守恒形式更新密度、两个动量分量、能量和一个被动输运的喷流质量分数。MUSCL 重建对原始变量取单调中心斜率。通量混合了 HLLC 和 HLLE，波速范围取 Roe 和 Davis 估计；在压缩区，压力跳跃一旦超过较小压力的十分之一，就改用 HLLE。时间推进用 SSP-RK2，积分未分裂的通量散度。

时间步限制与开放箱域的守恒

\Delta t\le\frac{\mathrm{CFL}}{\max\left[(|u|+a)/\Delta x+(|v|+a)/\Delta y\right]},\quad a=\sqrt{\gamma p/\rho},\quad \mathbf Q(t)+\int_0^t\mathbf\Phi_{\partial\Omega}\,dt=\mathbf Q(0)

质量、动量和能量可以经边界流进或流出箱域。守恒检查把按龙格—库塔阶段加权的向外数值通量，加到箱内当前的体积分上。初始为零的分量改用初始质量作尺度。相对状态变化率是每单位时间的无量纲向量范数，不能当作离散误差的估计。某一步被拒绝时，先去掉重建再算一次，然后再减小步长；能量不靠裁剪来修补。

数值纹影显示密度梯度

S=1-\exp\left(-0.16|\nabla\rho|\right)

这幅图用中心差分求同一个有限体积密度场的梯度，再用固定对比度显示。激波和接触层都可能显示为暗色。网格同时有压力梯度、速度散度又为负，才会标出压缩提示。这些提示只是按阈值标出的网格，给不出精确的激波形状，也不是经过标定的光学测量。

常见难点

颜色不是火焰

容易误解亮的地方就是排气在燃烧发光，也能看出排气温度。

正确理解模型里没有燃烧，也没有辐射发光。彩色表示马赫数或压力，黑白图表示密度梯度。平面无黏喷流也给不出轴对称喷流的单元间距、黏性混合、真实气体化学或噪声。

守恒不等于网格收敛

容易误解守恒误差很小，激波单元图案就一定对。

正确理解守恒检查只能说明离散通量没有凭空增减守恒量。数值扩散、重建方式、激波判据、箱域边界和分辨率仍会改变图案。换几套网格，在相同模拟时间再比较。开头一段时间里，预填的喷流还在松弛，这是瞬态，还不是稳定的喷流。

动手实验

01
让出口压力和环境压力不同
在同一马赫数下依次运行三个喷流预设。等波系发展起来，再看压力图和纹影图。点击中心线，移动各视图共用的探针。
你会看到： 欠膨胀喷流先扩张，过膨胀喷流先压缩，压力匹配的喷流保持笔直，边界是一层剪切接触层。这些波是求解器算出来的，不是事先画好的正弦菱形。
02
先用一道激波检验代码
选择“法向激波检验”，让它运行，再提高网格分辨率。把压力曲线和表示精确跳跃的虚线对比，并读出激波压力误差。
你会看到： 算出的激波会摊开在几个网格上。网格越细，积分误差应越小。两侧平台的比值，以及相等的质量、动量和能量通量，都可以拿解析解独立检验。
03
改变喷管和网格
改变马赫数、比热比和喷管长度，比较出口与喉部的面积比和质量流率。再提高网格分辨率，看单步耗时和实际模拟时间。
你会看到： 喷管形状变了，每个截面通过的质量流量仍然相同；长度不改变设定的出口状态。每帧的计算时间有限，网格加密后模拟可能推进得更慢。守恒误差再小，也还要比较不同网格才能下结论。
04
科学依据与灵感
NASA Glenn：等熵流动、质量流量堵塞、法向激波与喷管推力关系，见 grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/。HLLC 依据：Toro、Spruce 与 Speares（1994），Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver，DOI 10.1007/BF01414629。
你会看到： Bugman123 FluidMotion 只提供了构思上的启发，代码和图形都是原创。自动测试覆盖解析的喷管和激波值、静止接触面的保持、独立的 Sod 解、网格加密、对称性、正性和边界通量守恒。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。

核心数学模型

喷管面积与马赫数

声速喉部的最大流量与理想推力

法向激波的精确跳跃关系

外部二维 Euler 流

时间步限制与开放箱域的守恒

数值纹影显示密度梯度

常见难点

颜色不是火焰

守恒不等于网格收敛

动手实验

让出口压力和环境压力不同

先用一道激波检验代码

改变喷管和网格

科学依据与灵感