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Sandbox Physics

复分析 · 流体几何

Schwarz–Christoffel 流动映射器

双平面工作台把简单半平面流动变成台阶、斜坡或多边形凸起。移动联动探针，检查保角性，并把角点加速与壁面条件、数值积分误差放在一起比较。

交互模型Schwarz–Christoffel 流动映射器
原像探针 ζp\zeta_p−0.80+0.55i-0.80+0.55i
局部尺度 ∣f′(ζp)∣|f'(\zeta_p)|11
实际速度 ∣W′/f′∣|W'/f'|11
壁面法向比例 ∣vn∣/∣v∣|v_n|/|v|00
角度误差 ∣cos⁡θ∣|\cos\theta|00
路径积分残差 εf\varepsilon_f00
台阶闭式解误差00

物理教程

Schwarz–Christoffel：藏在复导数里的多边形

背景从直滑移壁面上方的稳态流动出发。保角映射把实轴变成多边形壁面，所有流线和等势线都使用同一个映射，实际速度则由复合函数的链式法则得到。

为什么值得理解这里的重点不只是网格变弯：几何能预测理想流体在哪里加速、停滞或趋向奇性。联动探针把这些预测变成可测量结果。

先抓重点

核心问题
为什么映射可以保留局部直角，却让速度成倍变化？
一句话直觉
复导数旋转并缩放一个小邻域。长度按 ∣f′∣|f'| 缩放，实际速度却要除以这个导数。保角不等于等大，也不等于等速。

核心数学模型

Schwarz–Christoffel 导数

f′(ζ)=C∏j(ζ−aj)αj−1,z=f(ζ)f'(\zeta)=C\prod_j(\zeta-a_j)^{\alpha_j-1},\qquad z=f(\zeta)

原像顶点位于实轴；指数是流体内角除以圆周率再减一。积分生成直线壁面段，本实验在上半平面的锚点固定映射归一化。

双角点台阶族

f′(ζ)=(ζ+a)p(ζ−a)−p,θ±=π(1±p)f'(\zeta)=(\zeta+a)^p(\zeta-a)^{-p},\qquad \theta_{\pm}=\pi(1\pm p)

改变间距和指数会生成台阶与斜坡族；指数为零时退化为恒等映射。这里输入的是原像顶点，任意实际多边形顶点需要另解非线性参数问题。

复势、速度与镜像涡

W(ζ)=Uζ+Γ2πi[log⁡(ζ−ζv)−log⁡(ζ−ζv‾)],u−iv=W′(ζ)f′(ζ)W(\zeta)=U\zeta+\frac{\Gamma}{2\pi i}\left[\log(\zeta-\zeta_v)-\log(\zeta-\overline{\zeta_v})\right],\qquad u-iv=\frac{W'(\zeta)}{f'(\zeta)}

反号镜像让实轴成为流线。实际速度不能直接照搬原像速度到弯网格上。点涡由外部固定，略去的小圆盘只是显示排除区，并非有限涡核。

角点尺度与示踪时间

∣f′∣∼∣ζ−aj∣αj−1,∣v∣∼∣ζ−aj∣1−αj,ζ˙=W′(ζ)‾∣f′(ζ)∣2|f'|\sim|\zeta-a_j|^{\alpha_j-1},\quad |v|\sim|\zeta-a_j|^{1-\alpha_j},\quad \dot\zeta=\frac{\overline{W'(\zeta)}}{|f'(\zeta)|^2}

这里的幂律距离定义在原像平面，且假定复势导数有限、非零；实际径向距离的指数不同。示踪时间必须包含平方度量因子，才能得到实际速度对应的轨迹。

独立直角台阶基线

F(ζ)=ζ−aζ+a+alog⁡ ⁣(ζ+ζ−aζ+aa)F(\zeta)=\sqrt{\zeta-a}\sqrt{\zeta+a}+a\log\!\left(\frac{\zeta+\sqrt{\zeta-a}\sqrt{\zeta+a}}{a}\right)

转角比例为二分之一时，用这个初等原函数独立检查数值积分。主值平方根的乘积选择上半平面分支，比较前先减去锚点处的值。

常见难点

理想角点加速不等于湍流

容易误解角点变暖色就说明模型已经解析分离或湍流尾迹。

正确理解这是理想滑移流。流体凹角可能出现速度发散；真实黏性、圆角、分离和边界层需要其他方程。颜色饱和不会消除数学奇性。

小残差有明确的含义

容易误解一个很小的数字就证明所有位置和角点都准确。

正确理解壁面审计在避开角点的有限偏移处抽样，角度审计使用局部中心差分，路径残差检查积分路径无关性。仅直角台阶有闭式解对照。等值线分辨率改变渲染插值，而非积分容差。

动手实验

  1. 01

    恢复直壁极限

    选择直角台阶，把转角比例调到零，用方向键移动探针。

    应该观察到： 两平面除显示取景外一致，局部尺度回到一，实际速度等于背景来流，壁面法向比例仍很小。
  2. 02

    比较两个角点

    恢复直角台阶，依次把探针移到两个珊瑚色角点上方，比较局部尺度、速度和形变曲线。

    应该观察到： 一个角点压缩度量并加速流动，另一个扩张度量并减速流动。探针两臂局部仍保持正交。
  3. 03

    让点涡遵守壁面条件

    选择壁面附近点涡，翻转环流并改变涡的高度。暂停或单步推进示踪，再与多边形凸起比较。

    应该观察到： 流线方向与形状改变，但反号镜像保持壁面无穿透。点涡保持固定，示踪离开有限显示窗口后会重新播种。
  4. 04

    科学依据与灵感来源

    模型依据：Driscoll，Algorithm 756: A MATLAB Toolbox for Schwarz–Christoffel Mapping，ACM TOMS 22（1996），DOI 10.1145/229473.229475；Driscoll 与 Trefethen，Schwarz–Christoffel Mapping（Cambridge，2002）。

    应该观察到： 灵感来自 bugman123.com/FluidMotion/ 的 Schwarz–Christoffel Flow 条目。实现与图形均为原创，没有复制旧媒体或代码。