复分析 · 流体几何

Schwarz–Christoffel 流动映射器

保角映射保住了角度，为什么还会改变角点附近的流速？ 保角映射在每个小区域上，各个方向都按同一比例伸缩、旋转，局部角度就保住了。长度乘上这个比例，流速则要除以它：哪里被压缩，哪里就流得快。绕过凸出的尖角时，理想流速在角尖趋于无穷；在凹进去的角里，流速降到零。

两个平面并排显示：直壁上方的简单流动，经映射变成台阶、斜坡或多边形凸起上方的流动。移动两边联动的探针，检查角度是否保持不变，再把角点处的加速和壁面误差、数值积分误差放在一起比较。

原像探针

\zeta_p

$-0.80+0.55i$

局部尺度

|f'(\zeta_p)|

$1$

实际速度

|W'/f'|

$1$

壁面法向比例

|v_n|/|v|

$0$

角度误差

|\cos\theta|

$0$

路径积分残差

\varepsilon_f

$0$

台阶闭式解误差 $0$

壁面形状决定流场

改变壁面，检查流场

等势线金色等势线在奇点之外与流线正交。速度矢量箭头在采样点上显示变换后的实际速度。映射网格显示原像水平参考线如何变形。多边形第二转角

p_2

0.3

外侧原像顶点间距

b/a

2

点源、点汇强度

Q

0

原像顶点间距

a

0.8

壁面转角比例

p

0.5

背景来流

U

1

点涡环流

\Gamma

0

奇点水平位置

\operatorname{Re}\zeta_v

0.2

奇点高度

\operatorname{Im}\zeta_v

1.1

等值线分辨率

N

22

弯折通道有两个伸向无穷远的对数型端口，源汇势推动流体从中穿过。可编辑多边形是对贴在壁面上的障碍做的正向映射：它不能从任意实际顶点反求映射，也表示不了多连通区域里的孤立障碍。点源用同号的壁面镜像，和点涡共用一组位置控件。奇点周围的小圆盘不画等值线。

点击原像面板移动珊瑚色探针；聚焦画布后可用方向键精确移动。手机上面板纵向排列。

所有量都用归一化单位。角点内角为 $\pi(1\pm p)$ ，速度随原像距离按 $r^{\mp p}$ 变化。速度超过背景速度的三倍，颜色就不再加深，但探针读数仍是实际算出的值。

壁面误差在紧贴壁面、避开角点的位置取样；路径检查比较沿直线和沿折线的积分。两者都不是全域的误差上界。点涡周围的小圆盘直接略去，没有对涡核做正则化。

流动是稳态、不可压缩的理想滑移流，壁面只取自几类预先定义的多边形。几何由原像顶点决定，还不能反过来为任意设计的多边形求映射。点涡和它的反号镜像涡都固定不动。黏性、分离、涡的自由运动和有限涡核的物理都不在模型之内。

先抓重点

核心问题: 为什么映射可以保留局部直角，却让速度成倍变化？
一句话直觉: 在每一点附近，复导数把一小块区域转一个角度再缩放。长度乘以 $|f'|$ ，实际速度却要除以这个导数。角度保住了，大小和速度并没有保住。

核心数学模型

Schwarz–Christoffel 导数

f'(\zeta)=C\prod_j(\zeta-a_j)^{\alpha_j-1},\qquad z=f(\zeta)

每个原像顶点都在实轴上，指数等于流体一侧的内角除以圆周率再减一。把导数积分，就得到一段段直壁。归一化时，在上半平面取一个锚点，把映射固定在那里。

双角点台阶族

f'(\zeta)=(\zeta+a)^p(\zeta-a)^{-p},\qquad \theta_{\pm}=\pi(1\pm p)

改变间距和指数，就得到一族台阶和斜坡；指数为零时，映射就是恒等映射。这里输入的是原像顶点。想把实际顶点放到任意位置，还得另解一个非线性参数问题。

复势、速度与镜像涡

W(\zeta)=U\zeta+\frac{\Gamma}{2\pi i}\left[\log(\zeta-\zeta_v)-\log(\zeta-\overline{\zeta_v})\right],\qquad u-iv=\frac{W'(\zeta)}{f'(\zeta)}

反号镜像涡让实轴成为一条流线。实际速度要除以映射的导数，不能把原像速度直接画到弯网格上。点涡由外部固定在原处；它周围空出的小圆盘只是不显示，并不是有限大小的涡核。

角点附近的幂律与示踪时间

|f'|\sim|\zeta-a_j|^{\alpha_j-1},\quad |v|\sim|\zeta-a_j|^{1-\alpha_j},\quad \dot\zeta=\frac{\overline{W'(\zeta)}}{|f'(\zeta)|^2}

这些指数用的是原像平面里的距离，并假定复势导数在那里有限且不为零。换成实际平面中到角点的距离，指数就不一样。示踪方程里必须带上度量因子的平方，示踪粒子才会按实际速度走出实际轨迹。

直角台阶的闭式解

F(\zeta)=\sqrt{\zeta-a}\sqrt{\zeta+a}+a\log\!\left(\frac{\zeta+\sqrt{\zeta-a}\sqrt{\zeta+a}}{a}\right)

转角比例为二分之一时，这个初等原函数可以独立检验数值积分。两个主值平方根相乘，选出的正是上半平面那一支。比较之前，先减去它在锚点处的值。

常见难点

角点加速不等于湍流

容易误解角点变成暖色，说明模型已经算出了分离或湍流尾迹。

正确理解这是沿壁面滑移的理想流动。壁面凸向流体的角点上，速度可能趋于无穷。真实的黏性、圆角、分离和边界层要用别的方程描述。颜色到顶不再变，数学上的奇点却还在。

每个小误差只检验一件事

容易误解只要有一个误差很小，就说明哪里都准，角点也不例外。

正确理解壁面检查在离壁面不远、避开角点的位置取样；角度检查用局部中心差分；路径残差看积分是否与路径无关。只有直角台阶有闭式解可以对照。等值线分辨率只改变画图时的插值，不改变积分容差。

动手实验

01
恢复直壁极限
选择直角台阶，把转角比例调到零，用方向键移动探针。
你会看到： 除了取景不同，两个平面完全一样。局部尺度回到一，实际速度等于背景来流，壁面法向比例仍然很小。
02
比较两个角点
回到直角台阶，把探针依次移到两个珊瑚色角点的正上方，比较局部尺度、速度和形变曲线。
你会看到： 一个角点把长度压短，流动加快；另一个把长度拉长，流动变慢。探针的两臂仍然互相垂直。
03
把点涡放到壁面附近
选择“壁面附近点涡”，翻转环流，改变涡的高度。暂停示踪或单步推进，再和“多边形凸起”比较。
你会看到： 流线的方向和形状都变了，反号镜像仍让流体穿不过壁面。点涡固定不动；示踪粒子离开显示窗口后会重新放入。
04
科学依据与灵感来源
模型依据：Driscoll，Algorithm 756: A MATLAB Toolbox for Schwarz–Christoffel Mapping，ACM TOMS 22（1996），DOI 10.1145/229473.229475；Driscoll 与 Trefethen，Schwarz–Christoffel Mapping（Cambridge，2002）。
你会看到： 灵感来自 bugman123.com/FluidMotion/ 的 Schwarz–Christoffel Flow 条目。实现与图形均为原创，没有复制旧媒体或代码。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。

核心数学模型

Schwarz–Christoffel 导数

双角点台阶族

复势、速度与镜像涡

角点附近的幂律与示踪时间

直角台阶的闭式解

常见难点

角点加速不等于湍流

每个小误差只检验一件事

动手实验

恢复直壁极限

比较两个角点

把点涡放到壁面附近

科学依据与灵感来源