旋转圆环上的小珠

旋转圆环上的小珠，最后停在哪里？ 转速低于临界值时，小珠待在底部。超过临界值，底部不再稳定，小珠会停在环上两个左右对称的位置之一，偏向哪边，看释放时往哪边轻推。临界角速度正好等于环不转时，小珠在底部小幅来回摆的角频率。

拖动释放点，调快电机，看小珠怎样选中一侧的稳定位置。对照三维运动、有效势能和分岔图，再比较电机功与能量。

旋转圆环上的小珠，最后停在哪里？

小珠质量

m

0.5\,\mathrm{kg}

圆环半径

R

0.8\,\mathrm{m}

重力加速度

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

电机转速与临界值之比

\Omega/\Omega_c

1.35

小珠释放角

\theta_0

8\,\mathrm{{}^\circ}

圆环内初始角速度

\dot\theta_0

0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

切向阻尼比

\zeta

0.12

最大数值步长

h_{\max}

10\,\mathrm{ms}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

22\,\%

拖动紫色空心球设定释放角，金色圆圈标出稳定平衡点。分岔图是解析结果，小珠的轨迹是数值积分出来的。初态精确对称时，即使底部已经不稳定，小珠也会停在那里，直到受到扰动。有效势能包括旋转参考系带来的那一项，不只是重力势能。每种拖动都有对应的键盘滑块。

小珠看作套在刚性圆环上的质点，电机保持恒定转速，阻尼沿圆环切向作用。三维装置采用实验室坐标系；小珠在环上停稳后，仍跟着电机转。紫色空心球标出随环转动的释放角。蓝箭头为实验室总速度，金色为重力，紫色为完整导轨反力，红色为等效黏性力。力箭头共用自适应比例，速度另用有界比例。导轨能沿半径推或拉，并提供电机转向的科里奥利反力。电机功与耗散热分别积分，再与实验室能量比较；即使约化能量守恒，电机仍可交换真实能量。长度经缩放，球、支架和箭头为示意。

核心问题: 稳定的圆环底部会变成两个偏离底部的停留位置吗？
一句话直觉: 约化能量是在旋转参考系里定义的能量；实验室能量还包括小珠被圆环带着绕竖直轴转的运动。

核心数学模型

实验室中的总速度

\mathbf v=R\dot\theta\,\mathbf e_\theta+\Omega R\sin\theta\,\mathbf e_\phi

第一个单位矢量指向角度增大的方向，第二个指向电机转动的方向。小珠就算在圆环上停稳了，也跟着圆环转，蓝色箭头显示的就是这个牵连速度。

竖直角动量与两种能量

L_z=mR^2\Omega\sin^2\theta,\qquad H=E_{\mathrm{lab}}-\Omega L_z

电机转速恒定时，电机做的总功等于转速乘以竖直角动量的变化。这能独立检验功和能量是否对得上。

沿圆环的运动方程

\ddot\theta=\sin\theta(\Omega^2\cos\theta-g/R)-2\zeta\sqrt{g/R}\,\dot\theta

电机转速是给定的。小珠从电机那里吸收能量也好，交还能量也好，转速都不变。

有效势能

U_{\mathrm{eff}}=mgR(1-\cos\theta)-\tfrac12mR^2\Omega^2\sin^2\theta

离心项可以把底部变成局部极大值。

临界转速与稳定平衡角

\Omega_c=\sqrt{g/R},\quad \cos\theta_*=(\Omega_c/\Omega)^2\quad(\Omega>\Omega_c)

到了临界转速，势能里的二次项系数变为零，但还剩一个四次势阱。

实验室中的电机功率

P_{\mathrm{motor}}=2mR^2\Omega^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta

实验单独积分这个功率，再拿结果和实验室总能量的变化加上耗散的热比较。

导轨反力的两个分量

N_r=-mR\dot\theta^2-mR\Omega^2\sin^2\theta-mg\cos\theta,\quad N_\phi=2mR\Omega\cos\theta\,\dot\theta

径向反力向外为正；方位反力提供维持电机转速所需的力矩。

常见难点

两种能量用途不同

容易误解约化能量守恒就表示电机不做功。

正确理解实验室能量包括小珠被带着绕竖直轴的运动。两种能量的变化量不同，差值正是电机做的功。

不稳定也要有扰动才会离开

容易误解不稳定初态必然自行离开底部。

正确理解精确放在底部的小珠本身就是一个精确解，会一直待着。往一侧稍微偏一点，就能选定一个分支。

导轨既能推也能拉

容易误解负径向反力就说明接触丢失。

正确理解小珠套在导轨上，导轨沿半径方向既能推也能拉。读数为负只表示力指向圆心，不能像单侧接触面那样拿来判断是否脱离。

动手实验

01
找到单势阱
选“临界转速以下”，点“观察完整弛豫”。
你会看到： 有阻尼时，小珠慢慢回到底部附近。
02
跨过临界值
把“电机转速与临界值之比”调到临界值以上。
你会看到： 势阱一分为二，解析图上出现两个稳定分支。
03
检验对称性
比较“两个稳定分支”和“镜像释放”两个预设，再选“精确置于不稳定底部”。
你会看到： 两次镜像释放落到相反的分支上。精确放在底部的小珠一直不动，直到受到扰动。
04
跟踪电机做功
把“切向阻尼比”调到零，打开“能量收支”，拖动时间查看记录。
你会看到： 约化能量保持恒定，实验室能量随电机做功改变。