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Sandbox Physics

M082 · 约束 / 对称性破缺

旋转圆环上的小珠

电机驱动竖直圆环绕竖直直径旋转。拖动被导轨约束的小珠，将电机转速调过临界值，观察单势阱分裂为双势阱。同步检查圆环系运动、完整约束力，并比较约化能量、实验室能量和电机做功。

交互模型旋转圆环上的小珠
记录时间0 s0\,\mathrm{s}
主值转角0 rad0\,\mathrm{rad}
未折回转角0 rad0\,\mathrm{rad}
角速度0 rad s−10\,\mathrm{rad\,s^{-1}}
相对运动动能0 J0\,J
有效势能0 J0\,J
约化机械能0 J0\,J
黏性耗散0 J0\,J
记录时刻的能量收支偏差0 J0\,J
步长减半的状态差00
实际积分步长0 ms0\,\mathrm{ms}
临界电机转速0 rad s−10\,\mathrm{rad\,s^{-1}}
电机转速0 rad s−10\,\mathrm{rad\,s^{-1}}
稳定平衡角的绝对值0 rad0\,\mathrm{rad}
局部无阻尼小振动角频率0 rad s−10\,\mathrm{rad\,s^{-1}}
底部平衡稳定性Stable\text{Stable}
实验室机械能0 J0\,J
释放后的电机做功0 J0\,J
实验室功与能量收支偏差0 J0\,J
导轨沿半径向外的反力0 N0\,N
导轨沿电机转向的反力0 N0\,N

物理教程

约束产生叉形分岔

背景电机强制圆环持续旋转，小珠可沿圆周滑动。重力与旋转参考系项在同一个约束坐标中竞争。

为什么值得理解Dutta 与 Ray 的 arXiv:1112.4697 讨论旋转圆环模型及分岔。本 Lab 推导约化势能，并独立记录电机传递的真实做功。

先抓重点

核心问题
稳定的圆环底部会变成两个偏离底部的停留位置吗？
一句话直觉
约化能量属于旋转参考系的记账量；实验室能量还包含被圆环带动的方位运动。

核心数学模型

约束运动方程

θ¨=sin⁡θ(Ω2cos⁡θ−g/R)−2ζg/R θ˙\ddot\theta=\sin\theta(\Omega^2\cos\theta-g/R)-2\zeta\sqrt{g/R}\,\dot\theta

即使小珠交换能量，给定电机转速仍保持不变。

有效势能

Ueff=mgR(1−cos⁡θ)−12mR2Ω2sin⁡2θU_{\mathrm{eff}}=mgR(1-\cos\theta)-\tfrac12mR^2\Omega^2\sin^2\theta

旋转项可使底部成为局部极大值。

临界值与稳定分支

Ωc=g/R,cos⁡θ∗=(Ωc/Ω)2(Ω>Ωc)\Omega_c=\sqrt{g/R},\quad \cos\theta_*=(\Omega_c/\Omega)^2\quad(\Omega>\Omega_c)

临界处二次恢复系数为零，但仍有四次势阱。

实验室电机做功

Pmotor=2mR2Ω2sin⁡θcos⁡θ θ˙P_{\mathrm{motor}}=2mR^2\Omega^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta

独立功率积分与完整实验室能量及耗散变化比较。

导轨反力的两个分量

Nr=−mRθ˙2−mRΩ2sin⁡2θ−mgcos⁡θ,Nϕ=2mRΩcos⁡θ θ˙N_r=-mR\dot\theta^2-mR\Omega^2\sin^2\theta-mg\cos\theta,\quad N_\phi=2mR\Omega\cos\theta\,\dot\theta

径向反力向外为正；方位反力提供维持电机转速所需的力矩。

常见难点

两种能量用途不同

容易误解约化能量守恒就表示电机不做功。

正确理解实验室能量包含被带动的方位运动；电机做功账目解释两者差异。

不稳定性需要扰动显现

容易误解不稳定初态必然自行离开底部。

正确理解精确对称初态本身也是精确解；微小拖动即可选择分支。

导轨约束可双向支持

容易误解负径向反力就说明接触丢失。

正确理解小珠被导轨约束，径向可推也可拉；有向读数不是单侧表面的接触判据。

动手实验

  1. 01

    找到单势阱

    采集临界值以下场景。

    应该观察到： 有阻尼小珠回到底部附近。
  2. 02

    跨过临界值

    将转速比提高到临界值以上。

    应该观察到： 势阱分裂，解析图出现两个稳定分支。
  3. 03

    检验对称性

    比较双分支与镜像释放，再选择精确置于底部。

    应该观察到： 镜像轨迹交换分支；精确底部初态保持不动，直到被扰动。
  4. 04

    检查电机收支

    移除阻尼，逐步检查记录。

    应该观察到： 约化能量保持恒定，实验室能量随电机做功改变。