M052 · 滚动与摩擦

滚动竞速实验室

比谁先滚下斜坡，实心球一定最快吗？ 只有摩擦足够让每个物体从一开始就纯滚动时才是。这时实心球赢，它分给转动的能量最少。完全没有摩擦时，所有物体滑下的加速度都一样；一开始就在自转的物体，还可能一直打滑。

让实心球、圆盘、薄圆环和自定义环体从三维斜坡上滚下，斜坡可以旋转查看。找出每条轨道冲线的时刻，以及物体从滑动转为纯滚动的时刻，跟踪轮缘上的一个点，再查看记录下来的能量。调节坡角、表面摩擦和初始轮缘转速，比较冲线时间、接触点速度和能量。自定义环体显示纯滚动需要多大的静摩擦；一开始在滑的物体，也可能转入纯滚动。

自定义环角加速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$

自定义环绕中心力矩 $0\,\mathrm{N\,m}$

自定义环接触耗散功率 $0\,\mathrm{W}$

首次预测滑移转纯滚动事件 $\text{No transition}$

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

实心球已采集的冲线时间 $\text{Awaiting crossing}$

圆盘已采集的冲线时间 $\text{Awaiting crossing}$

薄圆环已采集的冲线时间 $\text{Awaiting crossing}$

自定义环已采集的冲线时间 $\text{Awaiting crossing}$

实心球预测冲线时间 $0\,s$

圆盘预测冲线时间 $0\,s$

薄圆环预测冲线时间 $0\,s$

自定义环预测冲线时间 $0\,s$

自定义环记录距离 $0\,m$

自定义环记录的中心速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

自定义环记录的角速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

自定义环底部接触速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

自定义环有向接触摩擦力 $0\,N$

自定义环支持力 $0\,N$

自定义环纯滚动所需摩擦力大小 $0\,N$

自定义环静摩擦上限 $0\,N$

自定义环纯滚动最低静摩擦系数 $0$

实际动摩擦系数 $0$

自定义环累计接触耗散 $0\,J$

四条轨道中最大的能量守恒偏差 $0\,J$

先预测运动，再检验你的设计

比谁先滚下斜坡，实心球一定最快吗？

作用点处的受力重力为蓝色，支持力为紫色，摩擦力为红色，绳线张力为橙色；同一次试验里所有力共用一个比例尺。底部材料点速度青色箭头表示相对表面的有向滑移速度，纯滚动时为零。速度箭头用单独的比例尺。跟踪轮缘材料点白色标记随记录的物体转角转动。紫色轮毂和绳线没有质量。每个物体的质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

每个物体的外半径

R

0.25\,\mathrm{m}

斜坡角度

\gamma

18.00\,{}^{\circ}

沿斜面的终点距离

L

5.00\,\mathrm{m}

静摩擦系数

\mu_s

0.50\,

动静摩擦系数比

\mu_k/\mu_s

0.70\,

自定义环体内半径比

R_{\mathrm{in}}/R

0.65\,

初始下坡速度

v_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

初始有向轮缘速度

R\omega_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

拖动轨道下方的橙色旋钮可以改坡角。初始轮缘速度为正表示逆时针转；下坡纯滚动时，轮缘速度和中心速度符号相反。四条轨道用同一套物理比例尺。把摩擦调小，直到静摩擦拉不住，再比较冲线先后和接触处生的热。

物体是刚性的轴对称体，在一条直斜坡上运动，重力恒定，接触处是理想的库仑摩擦；不考虑滚动阻力和空气阻力。动摩擦系数取静摩擦系数的一定比例。在滑移归零的各个时刻之间，加速度恒定，运动按精确解计算；只有静摩擦够用时，物体才会纯滚动。理想的无噪声计时器记录物体第一次向前冲过终点线的时刻；之后这条轨道停止记录，不模拟刹停。

先抓重点

核心问题: 通常的冲线顺序在低摩擦表面还能成立吗？
一句话直觉: 纯滚动要同时满足两条：底部接触点速度为零，所需的摩擦力不超过表面能给的上限。只看质心怎么动，判断不了它是在滚还是在滑。

核心数学模型

平动与转动

ma=mg\sin\gamma+f,\qquad I\dot\omega=Rf,\qquad v+R\omega=0

下坡运动和逆时针转动取正。摩擦力沿斜面向下为正。

什么时候能纯滚动

\beta=\frac{I}{mR^2},\quad a=\frac{g\sin\gamma}{1+\beta},\quad \mu_s\ge\frac{\beta}{1+\beta}\tan\gamma

这个不等式只说明能不能纯滚动，不代表实际摩擦力就等于上限。

滑动接触

s=v+R\omega,\qquad f=-\mu_kN\,\operatorname{sgn}(s),\qquad N=mg\cos\gamma

物体释放时滑移为零、静摩擦却不够，求解器就按接触点即将滑动的方向来定动摩擦。

算上接触生热的能量

K=\frac12mv^2+\frac12I\omega^2,\quad Q=\int\mu_kN|s|\,\mathrm{d}t,\quad K+Q-K_0=mgx\sin\gamma

理想的静摩擦接触不会把能量变成热，只是在平动和转动之间重新分配能量。

常见难点

摩擦阻碍的是滑移

容易误解摩擦总要反对质心速度。

正确理解物体一开始就在转时，摩擦可以把质心往坡下加速，同时让接触点的滑移变小。

旋转也能滑动

容易误解看见旋转就说明纯滚动。

正确理解看底部接触点的速度，再比较所需摩擦和静摩擦上限。

终点线只是停止记录

容易误解物体到了终点线就停下来。

正确理解每条轨道在物体恰好冲线时停止记录，画面停在最后记录的状态，物体并没有被刹住。

动手实验

01
看斜坡上的接触点
切到环体接触特写，跟着轮缘上的白色标记看；分别打开或关闭受力箭头和底部速度。
你会看到： 物体滑动时也在转。只有接触点进入纯滚动后，青色滑移箭头才消失。
02
逐个找到冲线时刻
点“首次冲线”和“下一次冲线”，再打开这一时刻的“能量账本”。
你会看到： 每条轨道在自己冲线时停止记录，不模拟刹车。能量图只包含自定义环到当前时刻为止记录的数据。
03
摩擦足够时竞速
选“摩擦足够，纯滚动”，点“记录全部冲线事件”。
你会看到： 实心球第一，圆盘第二；自定义环和薄环的名次取决于各自的质量分布。
04
把摩擦降到滚不动
调低“静摩擦系数”，看自定义环需要的摩擦阈值。
你会看到： 表面给不出纯滚动所需的摩擦时，滑移速度就不再是零。
05
去掉摩擦力矩
选“无摩擦并列”。
你会看到： 四个物体同时冲线，接触耗散保持为零。
06
看转着的物体怎样进入纯滚动
选“先滑动，再纯滚动”，拖动时间，找到接触点从滑动变成滚动的那一刻。
你会看到： 滑移在一个确定的时刻归零。只要静摩擦够大，之后就一直纯滚动。

核心数学模型

平动与转动

什么时候能纯滚动

滑动接触

算上接触生热的能量

常见难点

摩擦阻碍的是滑移

旋转也能滑动

终点线只是停止记录

动手实验

看斜坡上的接触点

逐个找到冲线时刻

摩擦足够时竞速

把摩擦降到滚不动

去掉摩擦力矩

看转着的物体怎样进入纯滚动