滚动竞速与径向质量分布

比谁先滚下斜坡，实心球一定最快吗？ 要同时看质量怎样分布、摩擦够不够。静摩擦足够时，实心球比均匀圆盘和薄环快；把自定义轮体的质量集中到轴边，还能更快。摩擦不足就会滑动，改变平动与转动的分配；没有摩擦时，四个质心的加速度相同。

让实心球、圆盘、薄圆环和自定义径向密度轮体竞速，对照平动能、转动能与静摩擦，区分滑动和纯滚动。

金色滚体平动能 $4.24\,\mathrm{J}$

金色滚体转动能 $3.02\,\mathrm{J}$

金色滚体有向滑移速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

金色滚体有向摩擦力 $-1.26\,\mathrm{N}$

模型假设

四个等质量刚性轴对称物体在各自的直斜坡轨道上运动，重力恒定。实心球、均匀圆盘和理想薄圆环的转动惯量分别按其质量分布计算；金色轮体可带中心孔，面密度按离轴距离的幂次变化，转动惯量来自相应质量积分，负指数且没有中心孔时，中心密度有可积的理想奇点；颜色仅示意相对密度。薄环的可见厚度为示意。先检查可用静摩擦，足够时才施加纯滚动约束；动摩擦系数取静摩擦系数的给定比例。恒定载荷运动段与滑移归零事件均用解析解。下坡与逆时针旋转为正，因此底点速度等于球心速度加有向轮缘速度。不含空气阻力、滚动阻力、形变与轴上外转矩。每条轨道在第一次向前冲线时结束模型记录；冻结画面是停留的记录，不表示模拟了制动。滑块重算独立试验，不模拟比赛中搬运质量的动力学。所有冲线时刻都是理想模型预测，不是实测。

核心问题: 实心球总是最先冲线吗？
一句话直觉: 常见的先后顺序同时依赖质量分布和足够的摩擦。改变其中任何一个，顺序都可能改变。

核心数学模型

平移、转动与底点运动

\begin{aligned}ma&=mg\sin\theta+f\\I\dot\omega&=Rf,\qquad u=v+R\omega\end{aligned}

下坡运动和逆时针旋转为正。静摩擦与动摩擦都作用在同一个接触点。

先检查摩擦够不够

\begin{aligned}\beta&=\frac I{mR^2},\qquad a=\frac{g\sin\theta}{1+\beta}\\\mu_s&\ge\frac{\beta}{1+\beta}\tan\theta\end{aligned}

只有所需静摩擦能够提供时，才能使用这个纯滚动加速度。否则物体滑动，改用动摩擦系数。

给轮体一份径向密度

\begin{aligned}\rho(r)&\propto (r/R)^p\\\beta&=\frac{p+2}{p+4}\frac{1-a^{p+4}}{1-a^{p+2}}\end{aligned}

孔径比是内半径除以外半径；指数改变质量分布，总质量保持不变。负指数且没有中心孔时，中心密度存在可积的理想奇点。

自定义轮体可以比球快

\begin{aligned}\beta_{\rm gold}&=\tfrac13\quad(p=-1,\ a=0)\\\beta_{\rm sphere}&=\tfrac25\end{aligned}

纯滚动比较中，金色轮体按相同质量和外半径归一化后的转动惯量，可以小于均匀实心球。这是理想密度分布，不是制造规格。

两份动能一起看

\begin{aligned}K_t&=\tfrac12mv^2,\qquad K_r=\tfrac12I\omega^2\\K_t+K_r+Q&=E_0+mgs\sin\theta\end{aligned}

静接触没有相对滑移，在这里不生热；滑动会耗散能量。初始平移或自旋带来的动能也计入收支。

常见难点

静摩擦不一定耗散机械能

容易误解只要有摩擦力，就一定把机械能变成热。

正确理解纯滚动时，接触点瞬时静止。这个刚体模型中，静摩擦改变平移与转动的分配，不产生接触热。

冲线时刻是计算记录

容易误解物体停在终点，说明它真的刹住了。

正确理解每条轨道保留第一次向前冲线的画面，没有计算制动或末端碰撞。所有冲线时刻都是理想模型预测。

动手实验

01
先给足摩擦
选择“摩擦足够，纯滚动”。
你会看到： 实心球比均匀圆盘和薄环先到；四个物体的底点相对斜坡保持静止。
02
改变质量分布
先选“把质量集中到轴边”，再选“把质量移到轮缘”。
你会看到： 金色轮体分给转动的能量改变了，可以从领先实心球，变成接近薄环。
03
撤掉纯滚动约束
比较“低摩擦斜坡”与“无摩擦，四个质心并列”。
你会看到： 摩擦不足会有滑移和耗散。没有摩擦时，质心加速度相同，转动却可以不同。