M044 · 势能 / 转折点

一维势能景观

编辑曲率、四次束缚项与倾斜。拖动释放点，或在相空间同时设定位置和速度；比较允许区、精确转折边界、有限振幅周期与局部简谐预测。

采集时间 $0\,s$

位置 $0\,m$

速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

保守力 $0\,N$

势能 $0\,J$

动能 $0\,J$

机械能 $0\,J$

耗散能量 $0\,J$

当前能量收支偏差 $0\,J$

完整记录最大收支偏差 $0\,J$

半步位移差 · 前十秒 $0\,m$

实际积分步长 $0\,ms$

最近的释放侧势阱极小值 $0\,m$

局部无阻尼小振动角频率 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

初始能量的允许区数量 $1$

初始允许区左边界 $0\,m$

初始允许区右边界 $0\,m$

无阻尼积分参考周期 $0\,s$

最近采集的完整转折周期 $\text{Await turns}$

周期积分分辨率差 $0\,s$

测量周期减无阻尼周期 $0\,s$

采集状态 $\text{Complete}$

释放 / 采集 / 核验

只看势能景观，能预测粒子的运动吗？

质点质量

m

1.00\,kg

二次刚度

k

2.00\,N\,m^{-1}

四次束缚

q

1.00\,N\,m^{-3}

势能倾斜

f

0.00\,N

释放位置

x_0

1.00\,m

释放速度

v_0

0.00\,m\,s^{-1}

观察窗口

t_{\mathrm{obs}}

24.00\,s

请求步长

h

6.00\,ms

已采集记录

t/t_{\mathrm{obs}}

0.00\,\%

水平拖动紫色释放圆圈，或在相空间双向拖动初态。位于负一米处的橙色方块编辑二次刚度，其余系数保持固定。每种拖动均有键盘滑块。纯四次势阱稳定，但线性小振动频率为零。两个束缚系数都为零时停止采集，保留上次有效图。

使用 SI 单位，模型为给定多项式势能中的理想质点。竖直曲线是能量图，不是实体轨道。灰色轮廓使用初始能量，青色显示已采集运动。回放从保存的检查点重新积分。半步比较最多覆盖前十秒，能量审计覆盖每个积分步。

先抓重点

核心问题: 势阱不再局部呈二次形状时，哪些预测仍然成立？
一句话直觉: 转折边界来自完整能量方程；小振动频率只来自局部曲率。

核心数学模型

可编辑束缚景观

U(x)=\frac{kx^2}{2}+\frac{qx^4}{4}+fx

二次与四次系数均非负，至少一个为正时提供束缚。倾斜项移动平衡点。

力与稳定性

F(x)=-U\prime(x),\qquad U\prime(x_*)=0,\qquad \omega_0^2=\frac{U\prime\prime(x_*)}{m}

正曲率给出局部简谐近似；零曲率极小值需要更高阶项判断稳定性。

允许位置与转折边界

E=\frac12mv^2+U(x),\qquad U(x)\le E,\qquad U(x_\pm)=E

转折边界的速度为零。平衡点释放时，允许区可以退化为一个点。

有限振幅周期

T(E)=\sqrt{2m}\int_{x_-}^{x_+}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}

独立积分用余弦代换消除简单转折端点奇异性，并显示分辨率差。

能量审计与局部参考

\delta E(t)=E(t)-E(0),\qquad x_{\mathrm{lin}}(t)=x_*+(x_0-x_*)\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t

参考是局部近似。线性频率为零时显示自由线性运动，不把它当成非线性中性稳定性。

常见难点

能量不是高度

容易误解质点沿曲线下滑。

正确理解纵轴是能量，实际一维运动沿水平坐标演化。

力取决于斜率

容易误解势能最大处的力最大。

正确理解力取决于局部导数；移位后的平衡点可以具有非零势能。

零曲率需要高阶项

容易误解小振动频率为零就说明不稳定。

正确理解正的四次项仍束缚粒子，并产生依赖振幅的有限周期。

动手实验

01
核验简谐势阱
选择简谐参考并采集完整记录。
应该观察到： 转折区间积分周期与解析简谐周期、轨迹重复转折一致。
02
编辑装置
拖动橙色刚度手柄，改变四次束缚，比较力与局部线性预测。
应该观察到： 释放能量和转折位置共同变化，控件显示真实系数。
03
让极小值变平
选择纯四次预设，再减小释放位移。
应该观察到： 局部线性频率保持零，有限振幅周期随释放幅度缩小而增加。
04
移动平衡点
选择倾斜预设，再双向拖动相空间初态。
应该观察到： 平衡点移动；速度改变允许区，却不改变势能本身。