M068 · 刚度会变的弹簧

参数共振与稳定性实验

没有外加驱动力，改变刚度也能输入能量吗？ 能，只要刚度变化的节奏对。让弹簧以大约两倍固有频率一硬一软，就是在对运动做正功，微小的晃动会越来越大。每过一个调制周期，运动被放大的倍数只要大于一，晃动就会持续增长。完全静止的小车始终不动，没有运动可放大。

三维场景里，小车通过弹簧连在固定锚点上，一根指示条显示弹簧当前的刚度。调节调制的深度、频率和相位，释放小车，看泵浦做的功是正是负。把两个独立初态各积分一个周期，就能测出 Floquet 乘子；还可以生成稳定图，选中其中任意一格。

已采集时间 $0\,\mathrm{s}$

主质量位移 $0\,\mathrm{m}$

主质量速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

机械能 $0\,\mathrm{J}$

积分有向执行器做功 $0\,\mathrm{J}$

独立黏性耗散 $0\,\mathrm{J}$

独立能量收支误差 $0\,\mathrm{J}$

步长减半位移差 · 最初四个周期 $0\,\mathrm{m}$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

模型范围与记录状态 $\text{Ready}$

主质量弹簧力 $0\,N$

主质量加速度 $0\,\mathrm{m/s^2}$

刚度泵浦功率 $0\,W$

总黏性耗散功率 $0\,W$

当前刚度 $0$

最大 Floquet 乘子模长 $0$

渐近线性增长率 $0$

数值线性稳定性 $0$

单周期矩阵行列式误差 $0$

步长减半乘子变化 $0$

已计算稳定图点数 $0$

稳定图采集状态 $0$

设定振动，记录它的响应

没有外加驱动力，改变刚度也能输入能量吗？

物理受力矢量两块质量受的所有力，每一时刻都按同一个比例画出。速度矢量蓝色箭头，向右为正；速度的比例和力分开。近期已采集轨迹只显示最近两个固有周期，不画未来的位置。运动质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

平均刚度

k_0

16.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}

阻尼比

\zeta

0.03\,

刚度调制深度

h

0.28\,

调制与固有频率比

\Omega/\omega_0

2.00\,

释放时调制相位

\phi

0.00\,{}^{\circ}

释放位移

x_0

0.04\,\mathrm{m}

初速度

v_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

记录调制周期数

N

48.00\,

最大积分步长

\Delta t_{\max}

10.00\,\mathrm{ms}

检查已采集记录

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

可以旋转观察装置。在“运动与响应”视图里拖动释放点，或用键盘调滑块。切到“能量与功率”时，采集游标和仍然适用的稳定图都会保留。精细单步每次最多推进两毫秒。

模型采用线性黏性阻尼，刚度始终为正，并按正弦规律调制；没有外加驱动力，也没有非线性饱和。Floquet 乘子描述的是线性周期系统，与所选释放点无关；乘子再大，严格为零的初态也不会自己动起来。改变调制相位，能改变有限时间内的放大，但不改变乘子模长。位移超过两米之前就停止记录，数学上的不稳定依然存在。稳定图的红绿格来自有限网格上的数值周期积分，边界没有经过严格认证。调制很浅时，主不稳定舌的阈值只是渐近参考。紫色条表示瞬时刚度，它不移动锚点，也不让基座运动。线圈、质量块大小、阻尼器和选定的原长都是示意。每条记录用一个固定的绘图比例，覆盖整个求解范围。理想的水平轨道平衡了重力。泵浦瞬时功率由刚度变化率算出，不是外加驱动力乘以速度。

先抓重点

核心问题: 只测一个周期，怎样就能预测长期的线性增长？
一句话直觉: 让两个独立的初态各走一个周期，拼出单周期映射，再看它的特征值模长比一大还是比一小。

核心数学模型

刚度受调制的运动方程

m\ddot x+2m\zeta\omega_0\dot x+k_0[1+h\cos(\Omega t+\phi)]x=0,\quad \omega_0=\sqrt{k_0/m}

调制深度小于一，所以任何时刻刚度都是正的。

泵浦输入的功率

P_{\mathrm{pump}}=\tfrac12\dot k(t)x^2,\quad E=\tfrac12m\dot x^2+\tfrac12k(t)x^2

泵浦做功可正可负，和黏性阻尼生的热分开积分。

单周期映射

\begin{bmatrix}x(T)\\\dot x(T)/\omega_0\end{bmatrix}=\Phi(T)\begin{bmatrix}x(0)\\\dot x(0)/\omega_0\end{bmatrix},\quad T=2\pi/\Omega

矩阵的两列分别来自两个独立的归一化初态。

增长率与行列式

\gamma=T^{-1}\ln\rho(\Phi),\quad \det\Phi=e^{-2\zeta\omega_0T}

增长率为正，说明线性系统不稳定；行列式另外提供一个数值检验。

调制很浅时主不稳定区的阈值

\Omega\simeq2\omega_0,\quad h_{\mathrm{crit}}\simeq4\zeta

这是弱调制、弱阻尼下的渐近关系，稳定图并不是用它算出来的。

常见难点

零仍是解

容易误解乘子不稳定，那从哪里出发都会越振越大。

正确理解严格为零的初态一直是零；某些特定方向的初态还可能先变小。

相位影响起步，不影响稳定性

容易误解改变起始相位，稳定舌就会移动。

正确理解相位改变的是初态有多少落在增长的解上；相位平移时，单周期矩阵的特征值不变。

线性增长不会饱和

容易误解记录停下来，说明运动已经物理饱和了。

正确理解模型里没有非线性饱和，增长会延续到显示的记录之外。

动手实验

01
寻找不稳定舌
采集主不稳定舌和失谐两种释放。
你会看到： Floquet 增长率为正，运动就会长期增长。
02
比较泵浦与阻尼
从三个视角查看弹簧和阻尼器的箭头。打开“能量与功率”，增大阻尼，再精细单步，看泵浦功率时正时负。
你会看到： 净能量变化，和单独积分的泵浦做功与阻尼损耗对得上。
03
检验相位与零初态
改变调制相位，再选择严格零初态。
你会看到： 有限时间内的放大变了，乘子模长不变；零初态始终静止。
04
构建稳定图
生成稳定图，选择网格，再减半时间步长。
你会看到： 所选网格点的单周期积分附带行列式检验和步长减半检验。