M068 · 振动设计

参数共振与稳定性实验

刚度执行器周期改变弹簧。调节深度、频率与相位，释放小车并核对有向泵浦做功；用两个独立基向量在一个周期内的积分测量 Floquet 乘子，生成并选择稳定图。

已采集时间 $0\,\mathrm{s}$

主质量位移 $0\,\mathrm{m}$

主质量速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

机械能 $0\,\mathrm{J}$

积分有向执行器做功 $0\,\mathrm{J}$

独立黏性耗散 $0\,\mathrm{J}$

独立能量收支误差 $0\,\mathrm{J}$

步长减半位移差 · 最初四个周期 $0\,\mathrm{m}$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

模型范围与记录状态 $\text{Ready}$

当前刚度 $0$

最大 Floquet 乘子模长 $0$

渐近线性增长率 $0$

数值线性稳定性 $0$

单周期矩阵行列式误差 $0$

步长减半乘子变化 $0$

已计算稳定图点数 $0$

稳定图采集状态 $0$

设计 / 采集 / 核验

没有外加驱动力，改变刚度也能输入能量吗？

运动质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

平均刚度

k_0

16.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}

阻尼比

\zeta

0.03\,

刚度调制深度

h

0.28\,

调制与固有频率比

\Omega/\omega_0

2.00\,

释放时调制相位

\phi

0.00\,{}^{\circ}

释放位移

x_0

0.04\,\mathrm{m}

初速度

v_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

记录调制周期数

N

48.00\,

最大积分步长

\Delta t_{\max}

10.00\,\mathrm{ms}

检查已采集记录

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

拖动质量块或使用键盘滑块。采集完整记录后比较末段周期测量；改变实验会取消不兼容的扫描。

模型采用线性黏性阻尼和正刚度的正弦调制，没有加性驱动力，也没有非线性饱和。Floquet 乘子描述线性周期系统，与所选释放点无关；增长乘子不会让严格零初态自行运动。调制相位可改变有限时间放大，但不改变乘子模长。位移超过两米前停止记录，数学不稳定性仍然存在。红绿稳定图来自有限网格的数值周期积分，不是认证边界。小调制深度下主不稳定舌的阈值只作为渐近参考。

先抓重点

核心问题: 一个周期的测量怎样预测长期线性增长？
一句话直觉: 演化两个基状态重建周期映射，将特征值模长与一比较。

核心数学模型

调制弹簧定律

m\ddot x+2m\zeta\omega_0\dot x+k_0[1+h\cos(\Omega t+\phi)]x=0,\quad \omega_0=\sqrt{k_0/m}

深度小于一，因此瞬时刚度始终为正。

执行器功率

P_{\mathrm{pump}}=\tfrac12\dot k(t)x^2,\quad E=\tfrac12m\dot x^2+\tfrac12k(t)x^2

泵浦做功可正可负，与黏性耗散独立积分。

单周期映射

\begin{bmatrix}x(T)\\\dot x(T)/\omega_0\end{bmatrix}=\Phi(T)\begin{bmatrix}x(0)\\\dot x(0)/\omega_0\end{bmatrix},\quad T=2\pi/\Omega

两个独立归一化基向量释放构建矩阵列。

增长率与行列式

\gamma=T^{-1}\ln\rho(\Phi),\quad \det\Phi=e^{-2\zeta\omega_0T}

正增长率表示线性不稳定，行列式提供独立数值核验。

小深度主阈值

\Omega\simeq2\omega_0,\quad h_{\mathrm{crit}}\simeq4\zeta

这是弱调制、弱阻尼的渐近关系，不是稳定图的计算方法。

常见难点

零仍是解

容易误解不稳定乘子意味着所有释放都会增长。

正确理解严格零初态保持为零，特定方向的初态还可能先衰减。

有限相位敏感性

容易误解改变起始相位会改变稳定舌。

正确理解它改变启动投影，单周期矩阵谱在相位平移下不变。

线性增长不会饱和

容易误解范围停止就是物理饱和。

正确理解模型没有非线性饱和，增长会延续到显示记录之外。

动手实验

01
寻找不稳定舌
采集主不稳定舌与失谐释放。
应该观察到： 正 Floquet 增长率对应长期增长。
02
比较泵浦与阻尼
增大阻尼并检查做功与耗散。
应该观察到： 净能量变化符合独立账本。
03
检验相位与零初态
改变调制相位，再选择严格零初态。
应该观察到： 有限放大改变，乘子模长保持；零初态保持静止。
04
构建稳定图
生成稳定图，选择网格，再减半时间步长。
应该观察到： 所选周期积分具有行列式和细化诊断。