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Sandbox Physics

流体力学 · 涡量输运

Lid-Driven Cavity

透明玻璃方腔里的顶盖向右匀速运动，通过黏性剪切把动量传入流体。旋转视角，调节 Reynolds 数和顶盖速度，观察立体示踪粒子、流线丝带、主涡核与角落回流共同演化。

交互模型Lid-Driven Cavity
模拟时间0.00 s0.00\,\mathrm{s}
Reynolds 数 Re\mathrm{Re}400400
运动黏度 ν\nu2.00×10−3 m2 s−12.00\times10^{-3}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}
主涡核位置(0.50, 0.70)L\left(0.50,\,0.70\right)L
探针速度 ∥u∥\lVert\boldsymbol{u}\rVert0.000 m s−10.000\,\mathrm{m\,s^{-1}}
净环流 Γ\Gamma0.000 m2 s−10.000\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}

物理教程

顶盖驱动方腔：一面墙怎样带动整池流体

背景一个正方形容器的三面墙保持静止，只有顶盖向右运动。无滑移边界让紧贴顶盖的流体获得相同水平速度，黏性再把这份动量向内部扩散。画面把同一个二维解沿浅景深分层显示，方便旋转观察。

为什么值得理解这个几何极其简单，却同时包含壁面剪切、涡量生成、主回流与角落次级涡，因此长期被用来检验不可压缩流动算法。

先抓重点

核心问题
顶盖只向右走，为什么方腔中央最终出现一个巨大的顺时针循环？
一句话直觉
顶盖持续向流体注入负涡量；运动黏度 ν\nu 负责扩散涡量，而对流负责搬运它，两者的竞争由 Reynolds 数决定。

核心数学模型

不可压缩 Navier–Stokes 方程

∂u∂t+(u⋅∇)u=−1ρ∇p+ν∇2u,∇⋅u=0\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{u}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^2\boldsymbol{u},\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0

惯性、压力与黏性共同决定速度场；零散度约束表示流体不会在方腔内部凭空产生或消失。

涡量—流函数形式

∂ω∂t+u⋅∇ω=ν∇2ω,u=(∂ψ∂y,−∂ψ∂x),∇2ψ=−ω\frac{\partial\omega}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\omega=\nu\nabla^2\omega,\qquad \boldsymbol{u}=\left(\frac{\partial\psi}{\partial y},-\frac{\partial\psi}{\partial x}\right),\qquad \nabla^2\psi=-\omega

二维模型先输运标量涡量，再从 Poisson 方程恢复流函数和自动满足不可压缩条件的速度场。

Reynolds 数

Re=ULν\mathrm{Re}=\frac{UL}{\nu}

低 Reynolds 数意味着黏性扩散更强；提高它会让壁面剪切层更薄、回流结构更集中。

常见难点

流线丝带不是粒子轨迹

容易误解发光丝带和示踪粒子表达的是完全相同的信息。

正确理解丝带是某一瞬间与速度场相切的流线；发光点才是随时间被流体搬运的材料标记。在非定常流动中，两者不必重合，纵深分层也只是同一二维解的视觉展开。

颜色表示旋转，不是速度

容易误解深蓝色区域一定流得最快。

正确理解涡量衡量局域旋转与剪切，速度大小由 ∥u∥\lVert\boldsymbol{u}\rVert 读出。靠近壁面的薄剪切层可能有很强涡量，却不是整个流场速度最大的区域。

动手实验

  1. 01

    观察涡量从顶盖进入

    选择“黏性主导”，重置流体，并注意蓝色层如何从移动顶盖向下扩散。

    应该观察到： 顶盖附近先出现强顺时针涡量，随后方腔内部逐渐建立一个宽而平滑的主循环。
  2. 02

    追踪主涡核

    切换到“经典基准”，比较主涡核坐标和白色示踪粒子的运动。

    应该观察到： 主涡核不是固定在正中央；顶盖剪切和三面静止壁共同打破了简单的中心对称。
  3. 03

    提高惯性

    选择“惯性增强”，同时打开速度箭头，等待流场继续发展。

    应该观察到： 顶盖下方的剪切层变得更集中，主回流轮廓改变，角落附近更容易形成小尺度回流。