流体力学 · 经典 CFD 基准算例

Lid-Driven Cavity

顶盖只向右运动，为什么密闭方腔中央会形成一个巨大的顺时针循环？ 顶盖把紧贴它的流体往右拖，不断往腔顶注入顺时针的旋转。黏性把这股旋转往下扩散，流动又把它沿着四壁带着转，整腔流体最后转成一个大的顺时针涡。扩散和输运谁占上风，由 Reynolds 数决定。

移动的顶盖向方腔注入涡量。三套二维网格同时向前推进；你能看到实时涡量场、两条中心线上的速度剖面、稳态残差的历史，以及它们和 Ghia 1982 稳态数据画在同一张图上的对比。

无量纲时间

tU/L

$0.096$

当前数值解 $65\times65\;\mathrm{semi\text{-}Lagrangian}$

稳态残差

R_\omega

$0$

Ghia 剖面 RMSE $0$

散度 RMS

\lVert\nabla\cdot\boldsymbol{u}\rVert_2

$0$

主涡核位置 $\left(0.50,\,0.70\right)$

Lab 求解二维不可压缩的涡量—流函数方程组 $\frac{\partial\omega}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\omega=\nu\nabla^2\omega,\qquad \nabla^2\psi=-\omega$ 。Ghia 数据是 $129\times129$ 网格上的稳态参考；这里三套低阶网格上的解还在演化。同一时刻的 RMSE 混合了瞬态误差、离散误差和求解器误差，不能当作工程 CFD 的精度。

物理教程

顶盖驱动方腔：一面墙怎样带动整池流体

背景正方形容器的三面墙不动，只有顶盖向右滑。由于无滑移条件，紧贴顶盖的流体跟着顶盖以同样的水平速度运动，黏性再把这份动量一层层传到内部。Lab 把实时的二维数值解和已发表的稳态中心线数据画在同一坐标系里。

为什么值得理解几何简单到极点，里面却有壁面剪切、涡量生成、主回流和角落里的次级涡，所以它长期被用来检验不可压缩流动的算法。

先抓重点

核心问题: 顶盖只向右走，为什么方腔中央最终出现一个巨大的顺时针循环？
一句话直觉: 顶盖不断向流体注入负涡量。运动黏度 $\nu$ 把涡量扩散开，对流把它搬走；哪一方占上风，由 Reynolds 数决定。

核心数学模型

不可压缩 Navier–Stokes 方程

\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{u}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^2\boldsymbol{u},\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0

惯性、压力和黏性一起决定速度场；散度为零，表示流体不会在方腔里凭空产生或消失。

涡量—流函数形式

\frac{\partial\omega}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\omega=\nu\nabla^2\omega,\qquad \boldsymbol{u}=\left(\frac{\partial\psi}{\partial y},-\frac{\partial\psi}{\partial x}\right),\qquad \nabla^2\psi=-\omega

二维模型先搬运标量涡量，再解 Poisson 方程求出流函数；由流函数得到的速度场自动满足不可压缩条件。

Reynolds 数

\mathrm{Re}=\frac{UL}{\nu}

Reynolds 数低时，黏性扩散更强；Reynolds 数越高，壁面剪切层越薄，回流越集中。

常见难点

瞬态曲线不是稳态基准

容易误解只要实时曲线靠近 Ghia 标记，就证明网格已经收敛。

正确理解Ghia 标记是更细网格上算出的稳态结果，实时曲线却还在随时间变化。三套网格之间的差距，只说明同一时刻的结果对分辨率有多敏感，代替不了严格的稳态网格收敛研究。

颜色表示旋转，不是速度

容易误解深蓝色区域一定流得最快。

正确理解涡量衡量的是局部的旋转和剪切，速度大小要看 $\lVert\boldsymbol{u}\rVert$ 。贴着壁面的薄剪切层涡量可以很强，却不是全场流得最快的地方。

动手实验

01
观察涡量与剖面同时建立
选择 Ghia Reynolds 数 100 的预设，点“重置研究”，同时观察 A、B、C 三个面板。
你会看到： 顶盖附近先出现强顺时针涡量；实时中心线曲线随后逐步向稳态参考点移动。
02
检查网格敏感性
暂停求解器，连续点击“推进 24 步”，比较 D 面板里三套网格的 RMSE。
你会看到： 三套网格始终停在同一个无量纲时刻，所以它们之间的差距来自空间离散；但它们和稳态参考的偏差里，还混着瞬态误差。
03
比较输运格式
在 Reynolds 数 400 下关闭“半拉格朗日输运”，推进相同步数，与一阶迎风格式的结果比较。
你会看到： 两种低阶格式的数值耗散不一样，涡量边界层、残差曲线和中心线误差都不会完全重合。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。