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Sandbox Physics

流体力学 · CFD 基准工作台

Lid-Driven Cavity

移动顶盖向方腔注入涡量。工作台同时推进三套二维网格，显示实时涡量场、两条中心线速度剖面、稳态残差历史，以及与 Ghia 1982 稳态数据的同图对照。

交互模型Lid-Driven Cavity
无量纲时间 tU/LtU/L0.0960.096
当前数值解65×65  semi-Lagrangian65\times65\;\mathrm{semi\text{-}Lagrangian}
稳态残差 RωR_\omega00
Ghia 剖面 RMSE00
散度 RMS ∥∇⋅u∥2\lVert\nabla\cdot\boldsymbol{u}\rVert_200
主涡核位置(0.50, 0.70)\left(0.50,\,0.70\right)

物理教程

顶盖驱动方腔：一面墙怎样带动整池流体

背景一个正方形容器的三面墙保持静止，只有顶盖向右运动。无滑移边界让紧贴顶盖的流体获得相同水平速度，黏性再把这份动量向内部扩散。工作台把实时二维解与公开的稳态中心线数据放在同一坐标系中。

为什么值得理解这个几何极其简单，却同时包含壁面剪切、涡量生成、主回流与角落次级涡，因此长期被用来检验不可压缩流动算法。

先抓重点

核心问题
顶盖只向右走，为什么方腔中央最终出现一个巨大的顺时针循环？
一句话直觉
顶盖持续向流体注入负涡量；运动黏度 ν\nu 负责扩散涡量，而对流负责搬运它，两者的竞争由 Reynolds 数决定。

核心数学模型

不可压缩 Navier–Stokes 方程

∂u∂t+(u⋅∇)u=−1ρ∇p+ν∇2u,∇⋅u=0\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{u}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^2\boldsymbol{u},\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0

惯性、压力与黏性共同决定速度场；零散度约束表示流体不会在方腔内部凭空产生或消失。

涡量—流函数形式

∂ω∂t+u⋅∇ω=ν∇2ω,u=(∂ψ∂y,−∂ψ∂x),∇2ψ=−ω\frac{\partial\omega}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\omega=\nu\nabla^2\omega,\qquad \boldsymbol{u}=\left(\frac{\partial\psi}{\partial y},-\frac{\partial\psi}{\partial x}\right),\qquad \nabla^2\psi=-\omega

二维模型先输运标量涡量，再从 Poisson 方程恢复流函数和自动满足不可压缩条件的速度场。

Reynolds 数

Re=ULν\mathrm{Re}=\frac{UL}{\nu}

低 Reynolds 数意味着黏性扩散更强；提高它会让壁面剪切层更薄、回流结构更集中。

常见难点

瞬态曲线不是稳态基准

容易误解只要实时曲线靠近 Ghia 标记，就证明网格已经收敛。

正确理解Ghia 标记来自更细网格上的稳态结果；实时曲线仍包含时间演化。三套网格之间的差距只展示同一时刻的分辨率敏感性，不能替代严格的稳态网格收敛研究。

颜色表示旋转，不是速度

容易误解深蓝色区域一定流得最快。

正确理解涡量衡量局域旋转与剪切，速度大小由 ∥u∥\lVert\boldsymbol{u}\rVert 读出。靠近壁面的薄剪切层可能有很强涡量，却不是整个流场速度最大的区域。

动手实验

  1. 01

    观察涡量与剖面同时建立

    选择 Ghia Reynolds 数 100，重置研究，并同时观察 A、B、C 三个面板。

    应该观察到： 顶盖附近先出现强顺时针涡量；实时中心线曲线随后逐步向稳态参考点移动。
  2. 02

    检查网格敏感性

    暂停求解器并连续点击“推进 24 步”，比较 D 面板三套网格的 RMSE。

    应该观察到： 三套网格始终处于同一无量纲时刻；差距来自空间离散，但对稳态参考的偏差还包含瞬态误差。
  3. 03

    比较输运格式

    在 Reynolds 数 400 下切换半拉格朗日输运，再用相同推进步数与一阶迎风结果比较。

    应该观察到： 两种低阶格式的数值耗散不同，因此涡量边界层、残差轨迹和中心线误差不会完全重合。