M074 · 轨道转移 / 发射窗口

Hohmann 转移规划器

设计共面圆轨道间的转移。微调两次点火、推迟出发并拖动目标圆轨道；同步比较半径、比能量、到达位置与速度，以及双椭圆方案的燃料与时间代价。

首次有向速度增量 $\text{待采集}$

第二次有向速度增量 $\text{待采集}$

经过时间 $\text{Pending}$

当前半径 $\text{Pending}$

理想总速度增量 $\text{Pending}$

实际总速度增量 $\text{Pending}$

理想转移时间 $\text{Pending}$

到达核验 $\text{Pending}$

到达位置误差 $\text{Pending}$

到达相对速度 $\text{Pending}$

所需出发相位 $\text{Pending}$

实际出发相位 $\text{Pending}$

双椭圆速度增量 $\text{Pending}$

双椭圆时间 $\text{Pending}$

采样滑行能量误差 $\text{Pending}$

采样时间残差 $\text{Pending}$

规划 / 采集 / 比较

两次点火能改变轨道，还能遇见移动目标吗？

出发半径

r_1

1.10\,R_\oplus

目标半径

r_2

6.61\,R_\oplus

备选远地点倍数

r_b/\max(r_1,r_2)

3.00\,

首次点火比例

\Delta v_1/\Delta v_{1,H}

100.00\,\%

第二次点火比例

\Delta v_2/\Delta v_{2,H}

100.00\,\%

出发延迟

t_{\mathrm{wait}}

0.00\,min

初始相位误差

\delta\phi

0.00\,{}^\circ

已采集时间

t/t_{\mathrm{obs}}

0.00\,\%

球体下方橙环编辑目标半径，每种拖动都有键盘滑块。初始相位按立即出发设置，等待会改变相对对齐。到达核验同时比较第二次点火后的位置与速度。紫色代价曲线比较理想三点火双椭圆方案与青色 Hohmann 点，不含点火微调与目标相位。

理想球形地球参考采用千米—秒单位、瞬时点火及二体引力，不含大气、扁率、有限推力或第三天体。两条圆轨道位于参考表面上方，触及球体即停止轨迹。采样滑行误差最大值与异常角残差是数值诊断，不是任务认证。

先抓重点

核心问题: 完美改变轨道半径，仍可能错过目标吗？
一句话直觉: 会。半径、角位置及速度是不同到达条件。即使点火保持理想，等待仍会改变相位。

核心数学模型

圆轨道与椭圆速度

v_c(r)=\sqrt{\frac{\mu}{r}},\qquad v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)

比轨道能量决定各半径处速度。模型采用给定中心引力场，滑行阶段没有推力。

Hohmann 滑行时间

a_H=\frac{r_1+r_2}{2},\qquad t_H=\pi\sqrt{\frac{a_H^3}{\mu}}

两次点火安排在理想拱点。微调首次点火会改变实际圆锥轨道，但不会移动第二次预定时刻。

有向局部点火

\Delta v_{1,H}=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_H}\right)}-v_c(r_1),\quad\Delta v_{2,H}=v_c(r_2)-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_H}\right)}

正值表示顺行，负值表示逆行。总成本累加速度增量绝对值，不是有向和。

出发对齐

\phi_{0,H}=\pi-n_2t_H\pmod{2\pi},\qquad \phi_{\mathrm{burn}}=\phi_0+(n_2-n_1)t_{\mathrm{wait}},\quad n_i=\sqrt{\frac{\mu}{r_i^3}}

初始相位按立即出发配置；延迟时两者先沿各自圆轨道运动。

点火能量与动量账本

\Delta\varepsilon=\mathbf v^-\!\cdot\!\Delta\mathbf v+\frac{\lVert\Delta\mathbf v\rVert^2}{2},\qquad\Delta h=\mathbf r\times\Delta\mathbf v

点火时能量和角动量跳变，守恒分别适用于每段滑行。叉积表示平面角动量分量。

三次点火备选

\Delta v_B=|\Delta v_{1,b}|+|\Delta v_{b,1}+\Delta v_{b,2}|+|\Delta v_{2,b}|,\quad t_B=\pi\sqrt{\frac{a_{1b}^3}{\mu}}+\pi\sqrt{\frac{a_{b2}^3}{\mu}}

中间半径包住两条圆轨道。大半径比下增加它可降低代价，但滑行时间会明显增长。

常见难点

半径不等于交会

容易误解到达目标圆轨道就保证对接。

正确理解还需比较目标真实位置及点火后的相对速度；发射相位同样重要。

点火有方向

容易误解降轨与升轨使用相同正向点火。

正确理解降轨时两次理想 Hohmann 点火都反向。

最优性有假设

容易误解Hohmann 在所有转移中都是最省的。

正确理解这里限定共面圆轨道和二体引力；大半径比下三脉冲双椭圆转移可能更省。

没有虚构的地下滑行

容易误解圆锥曲线可直接穿过地球。

正确理解第一次圆锥轨道触及参考表面时停止采集，后续点火不执行。

动手实验

01
遇见目标
采集标称转移，检查到达位置误差和相对速度。
应该观察到： 第二次理想点火后，两者都接近零。
02
理想点火仍会错过
选择延迟出发预设，再消除延迟。
应该观察到： 轨道半径仍吻合，但角位置对齐改变。
03
微调点火
选择点火不足预设，比较半径与比能量。
应该观察到： 第二次点火在不同实际轨道上的预定时刻发生。
04
用时间换燃料
选择大半径比预设，再改变备选远地点。
应该观察到： 双椭圆点可低于 Hohmann 的代价，同时在时间轴上远得多。