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Sandbox Physics

M075 · 相对轨道 / 对接走廊

Hill 坐标系轨道交会

在目标的旋转坐标系里拖动追踪器，求解双点火交会。比较无点火滑行、Hill 计划与完整二体传播；测试点火微调、对接走廊、接近速度限制及奇异飞行时刻。

交互模型Hill 坐标系轨道交会
经过时间Pending\text{Pending}
Hill 相对距离Pending\text{Pending}
端点求解Pending\text{Pending}
计划总速度增量Pending\text{Pending}
端点条件数Pending\text{Pending}
Hill 位置误差Pending\text{Pending}
完整二体误差Pending\text{Pending}
完整模型残余速度Pending\text{Pending}
已采集模型偏差Pending\text{Pending}
完整相对距离 / 半径Pending\text{Pending}
已采集走廊核验Pending\text{Pending}
Hill 进入速度Pending\text{Pending}
相对 Hill 不变量误差Pending\text{Pending}
计划飞行时间Pending\text{Pending}

物理教程

旋转坐标系把轨道交会变成局部问题

背景近邻追踪器与圆轨道目标都在引力下自由落体。在目标的旋转系中，径向引力差和科里奥利项耦合两个相对坐标。前向点火最初向前运动，同时改变轨道，长期前向漂移可能反转。

为什么值得理解MIT 天体动力学讲义推导了 Clohessy–Wiltshire 线性方程。本实验采用径向向外、沿轨道向前的坐标，求解平面端点映射，并用完整平方反比引力独立传播相同释放状态。

先抓重点

核心问题
双点火计划能到达目标，并满足接近走廊吗？
一句话直觉
端点求解确定位置，独立的到达点火使速度匹配。奇异端点映射、非线性误差或过高进入速度仍可使设计失效。

核心数学模型

耦合局部方程

n=μrc3,x¨−2ny˙−3n2x=0,y¨+2nx˙=0n=\sqrt{\frac{\mu}{r_c^3}},\qquad \ddot x-2n\dot y-3n^2x=0,\quad\ddot y+2n\dot x=0

目标必须为圆轨道。科里奥利耦合解释直线追逐直觉为何失效；模型省略轨道面外运动。

端点设计

rf=A(tf)r0+B(tf)v0+,v0+=−B(tf)−1A(tf)r0\mathbf r_f=A(t_f)\mathbf r_0+B(t_f)\mathbf v_0^+,\quad\mathbf v_0^+=-B(t_f)^{-1}A(t_f)\mathbf r_0

出发相对速度满足位置边界条件。初始速度影响出发点火代价，不改变求解速度本身。

速度到位置映射

nB(t)=(sin⁡nt2(1−cos⁡nt)−2(1−cos⁡nt)4sin⁡nt−3nt)nB(t)=\begin{pmatrix}\sin nt&2(1-\cos nt)\\-2(1-\cos nt)&4\sin nt-3nt\end{pmatrix}

完整目标周期使矩阵秩亏。实现用平均运动归一化，条件数超过一千时拒绝求解。

位置与速度闭合

Δv1=v0+−v0−,Δv2=−vf−,Δv=∥Δv1∥+∥Δv2∥\Delta\mathbf v_1=\mathbf v_0^+-\mathbf v_0^-,\quad\Delta\mathbf v_2=-\mathbf v_f^-,\qquad\Delta v=\lVert\Delta\mathbf v_1\rVert+\lVert\Delta\mathbf v_2\rVert

第二次点火使用微调后的实际 Hill 到达速度。同一向量施加于非线性到达状态，会留下可测残余速度。

滑行不变量

C=x˙2+y˙2−3n2x2,dCdt=0\mathcal C=\dot x^2+\dot y^2-3n^2x^2,\qquad \frac{d\mathcal C}{dt}=0

该二次积分属于无外力 Hill 模型，不是惯性系中的航天器能量。

完整二体交叉核验

R=Q(nt)[(rc0)+r],V=Q(nt)[r˙+nJ((rc0)+r)],J=(0−110)\mathbf R=Q(nt)\left[\begin{pmatrix}r_c\\0\end{pmatrix}+\mathbf r\right],\quad\mathbf V=Q(nt)\left[\dot{\mathbf r}+nJ\left(\begin{pmatrix}r_c\\0\end{pmatrix}+\mathbf r\right)\right],\quad J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

速度旋转包括坐标系旋转项；遗漏它会给出错误惯性初态。传播前先转换单位。

常见难点

相遇不等于对接

容易误解位置误差为零就意味着相对速度为零。

正确理解制动点火前到达速度通常非零，需要单独核对进入速度。

近似不是精确动力学

容易误解精确 Hill 端点就是精确二体交会。

正确理解紫色轨迹从相同物理初态出发，保留非线性引力；位置及残余速度偏差随相对距离增长。

整周期并不总方便

容易误解任意飞行时间都有唯一有限点火解。

正确理解某些时刻端点映射秩亏；被拒绝的计划显示无点火滑行。

采样不是安全证明

容易误解绿色采样核验保证连续避碰。

正确理解锥形走廊包含一米端口余量，核验九百个区间。未采样违规与省略的运行物理不在诊断保证内。

动手实验

  1. 01

    闭合两个边界

    采集标称接近，比较 Hill 误差、完整模型误差及残余速度。

    应该观察到： Hill 位置闭合，非线性残余很小但非零。
  2. 02

    比较滑行

    选择前向点火预设，检查灰色无点火轨迹。

    应该观察到： 前向点火产生耦合径向运动及前向漂移变化，出发修正需要付出额外代价。
  3. 03

    使计划失效

    选择整周期飞行或加入微小前向微调。

    应该观察到： 奇异计划被拒绝；微调产生有限位置误差，最终制动仍不能修复。
  4. 04

    检查接近过程

    收紧速度限制，再增大释放相对距离。

    应该观察到： 端点零误差不能排除过高接近速度，也不能抑制线性化误差增长。