M075 · 相对轨道与对接

Hill 坐标系轨道交会

到达目标，是否也意味着速度吻合？ 不等于。第一次点火只负责把追踪器送到目标所在的位置，到了还带着相对速度，要靠到达时的第二次点火抵消。有些飞行时间，比如正好绕目标轨道一圈，根本解不出可用的瞄准。线性模型和真实轨道运动也有偏差；接近速度过高，同样算失败。

在目标的旋转坐标系里拖动追踪器，求出两次点火的交会方案。对比不点火滑行、Hill 方案和完整二体推算，再试试点火微调、对接走廊、接近速度限制和奇异的飞行时间。

经过时间 $\text{Pending}$

Hill 相对距离 $\text{Pending}$

端点求解 $\text{Pending}$

计划总速度增量 $\text{Pending}$

端点条件数 $\text{Pending}$

Hill 位置误差 $\text{Pending}$

完整二体误差 $\text{Pending}$

完整模型残余速度 $\text{Pending}$

已采集模型偏差 $\text{Pending}$

完整相对距离 / 半径 $\text{Pending}$

已采集走廊核验 $\text{Pending}$

Hill 进入速度 $\text{Pending}$

相对 Hill 不变量误差 $\text{Pending}$

计划飞行时间 $\text{Pending}$

规划点火，比较结果

到达目标，是不是也就和它速度一致了？

目标轨道半径

r_c

1.10\,R_\oplus

初始径向位置

x_0

60.00\,m

初始前向位置

y_0

-100.00\,m

初始径向速度

\dot x_0

0.00\,m\,s^{-1}

初始前向速度

\dot y_0

0.00\,m\,s^{-1}

飞行时间 / 目标周期

t_f/P_c

0.10\,

出发径向微调

\delta v_x

0.00\,m\,s^{-1}

出发前向微调

\delta v_y

0.00\,m\,s^{-1}

禁入区半径

r_{\mathrm{KO}}

20.00\,m

接近走廊半角

\alpha

30.00\,{}^\circ

进入速度限制

v_{\mathrm{lim}}

0.50\,m\,s^{-1}

已采集时间

t/t_{\mathrm{obs}}

0.00\,\%

拖动橙色释放圆环，可以同时设定两个相对坐标；滑块也能用键盘调。无量纲的端点映射条件数超过一千，规划器就拒绝求解，这时画面只显示不点火的滑行，不给出计划。对接图里的橙色采样点表示越出了走廊，或进入速度超限。检查只取九百个区间，用来诊断问题，不保证全程连续避碰。接近速度过高时，最后的制动也挽回不了。

平面 Clohessy–Wiltshire 模型假设目标在圆轨道上，且相对距离远小于轨道半径。径向朝右，沿轨道向前朝上；相对位置以米计，时间以秒计。紫色轨迹保留完整的平方反比引力，把中心天体当作质点，不考虑与行星相撞。微调加在求出的出发速度上；最后的 Hill 制动点火同样作用于非线性模型的到达状态。

物理教程

旋转坐标系把轨道交会变成局部问题

背景追踪器离圆轨道上的目标不远，两者都在引力作用下自由下落。在随目标旋转的坐标系里，径向引力差和科里奥利项把两个相对坐标耦合在一起。向前点火后，追踪器起初往前走，但轨道也随之改变，长期的沿轨道漂移可能反过来。

为什么值得理解MIT 的天体动力学讲义推导了线性的 Clohessy–Wiltshire 方程。本实验的两个坐标，一个沿径向向外，一个沿轨道向前。程序先求解平面端点映射，再用完整的平方反比引力，从同一初态独立推算一遍。

先抓重点

核心问题: 两次点火的方案，能否到达目标，同时不出接近走廊？
一句话直觉: 端点求解保证位置到位，到达时再单独点火匹配速度；但端点映射奇异、非线性误差过大或进入速度太快，方案仍会失效。

核心数学模型

相对运动的耦合方程

n=\sqrt{\frac{\mu}{r_c^3}},\qquad \ddot x-2n\dot y-3n^2x=0,\quad\ddot y+2n\dot x=0

目标必须在圆轨道上。科里奥利耦合说明了，为什么“直线追过去”的直觉行不通。模型不考虑轨道面外的运动。

求出发速度

\mathbf r_f=A(t_f)\mathbf r_0+B(t_f)\mathbf v_0^+,\quad\mathbf v_0^+=-B(t_f)^{-1}A(t_f)\mathbf r_0

出发时的相对速度按终点位置条件求出。初始速度只影响出发点火要花多少，不改变求出的速度本身。

速度到位置映射

nB(t)=\begin{pmatrix}\sin nt&2(1-\cos nt)\\-2(1-\cos nt)&4\sin nt-3nt\end{pmatrix}

飞行时间恰好等于目标一个周期时，这个矩阵秩亏。程序先用平均运动归一化，条件数超过一千就拒绝求解。

两次点火与总速度增量

\Delta\mathbf v_1=\mathbf v_0^+-\mathbf v_0^-,\quad\Delta\mathbf v_2=-\mathbf v_f^-,\qquad\Delta v=\lVert\Delta\mathbf v_1\rVert+\lVert\Delta\mathbf v_2\rVert

第二次点火抵消的是含微调的实际 Hill 到达速度。把同一个向量用到非线性模型的到达状态上，会留下可以测出的残余速度。

滑行时的守恒量

\mathcal C=\dot x^2+\dot y^2-3n^2x^2,\qquad \frac{d\mathcal C}{dt}=0

这个二次积分属于不点火的 Hill 模型，不是航天器在惯性系中的能量。

换到惯性系做二体检验

\mathbf R=Q(nt)\left[\begin{pmatrix}r_c\\0\end{pmatrix}+\mathbf r\right],\quad\mathbf V=Q(nt)\left[\dot{\mathbf r}+nJ\left(\begin{pmatrix}r_c\\0\end{pmatrix}+\mathbf r\right)\right],\quad J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

旋转速度时要加上坐标系自身转动带来的项，漏掉它，惯性系初态就错了。推算之前先换算单位。

常见难点

相遇不等于对接

容易误解位置误差为零就意味着相对速度为零。

正确理解制动点火之前，到达速度一般不为零，要单独检查进入速度。

线性近似不是精确解

容易误解在 Hill 模型里精确到达，就是二体问题里的精确交会。

正确理解紫色轨迹从同一个物理初态出发，但保留非线性引力；相对距离越大，位置和残余速度的偏差越大。

有些飞行时间没有唯一解

容易误解随便选一个飞行时间，都有唯一、有限的点火解。

正确理解在某些时刻，端点映射会秩亏。方案被拒绝时，画面改为显示不点火的滑行轨迹。

采样不是安全证明

容易误解采样检查显示绿色，就保证全程不会碰撞。

正确理解锥形走廊在对接口留有一米余量，共检查九百个区间。采样点之间的越界，以及模型略去的实际运行物理，都不在这项检查范围内。

动手实验

01
跑一遍标称接近
采集标称接近，比较 Hill 误差、完整模型误差和残余速度。
你会看到： Hill 模型里位置正好到达；非线性模型的残余很小，但不为零。
02
比较滑行轨迹
选择前向点火预设，看灰色的无点火轨迹。
你会看到： 向前一推，径向运动随之出现，沿轨道的漂移也变了；出发点火要额外花费，才能拉回原定的出发状态。
03
让方案失效
选择整周期飞行，或加一点沿轨道方向的微调。
你会看到： 奇异方案被拒绝；加了微调，就会留下有限的位置误差，最后制动也补不回来。
04
检查接近过程
收紧速度限制，再加大释放时的相对距离。
你会看到： 终点误差为零，并不能防止接近速度过高，也挡不住线性化误差变大。