M084 · Hamilton / 数值几何

Hamilton 相空间与积分器实验室

并排运行 Euler、RK4、辛 Euler 与 Verlet。比较长期相图或轨道精度、能量漂移、局部正则映射几何与可逆性；将步长减半，挑战快速变化的开普勒近日点。

回放无量纲时间 $\text{Pending}$

实际恒定步长 $\text{Pending}$

每种方法的总步数 $\text{Pending}$

选中方法 $\text{Pending}$

当前相对能量误差 $\text{Pending}$

最大绝对能量误差 $\text{Pending}$

当前状态误差 $\text{Pending}$

末个保留状态误差 $\text{Pending}$

局部完整映射行列式 $\text{Pending}$

局部辛性误差 $\text{Pending}$

单步反演误差 $\text{Pending}$

参考构造 $\text{Pending}$

参考细化差异 $\text{Pending}$

选中方法记录 $\text{Pending}$

保留记录结束时间 $\text{Pending}$

正则维数 $\text{Pending}$

观察 / 变分 / 核验

很小的能量误差能否掩盖错误轨迹？

系统：振子 / 摆 / 开普勒

\mathcal M

0.00\,

初始坐标

q_0

1.00\,

初始动量

p_0

0.00\,

初始开普勒偏心率

e

0.40\,

请求步长比例

h/T_0

0.02\,

标称周期数

T/T_0

20.00\,

方法：Euler / RK4 / 辛 Euler / Verlet

\mathcal I

3.00\,

正则斑块半径

\rho

0.03\,

回放时间

t/T

0.00\,\%

拖动橙色初态环，对应坐标与动量滑块支持键盘操作。在开普勒模式下，环编辑偏心率，振子初态控件不参与计算。记录预先计算，播放回看保留采样。右下图去除中心，开普勒斑块只是投影；行列式与辛性误差使用完整四维正则映射。发散或接近奇点的记录停止并保留标记。

无量纲、单位质量的保守系统：谐振子、理想摆和平面质点开普勒轨道。四种方法使用相同恒定步长，标称周期采用谐振子或开普勒参考周期，不是有限振幅摆周期。振子和开普勒参考为解析解，摆参考使用两种更细步长的 RK4。细化差异是估计，不是严格误差界。不模拟自适应步长、阻尼或物理碰撞。

先抓重点

核心问题: 很小的能量误差能否掩盖错误轨迹？
一句话直觉: 精度、能量行为、辛性和可逆性相互关联，却是不同测量。

核心数学模型

正则流

\dot{\mathbf q}=\mathbf p,\qquad\dot{\mathbf p}=-\nabla V,\qquad H=\frac{|\mathbf p|^2}{2}+V

单位质量与无量纲单位使三个保守系统可直接比较；谐振频率与开普勒引力参数均为一。

先踢再漂移

\mathbf p_{j+1}=\mathbf p_j-h\nabla V(\mathbf q_j),\qquad\mathbf q_{j+1}=\mathbf q_j+h\mathbf p_{j+1}

辛 Euler 是一阶方法；漂移使用更新后的动量，使其区别于显式 Euler。

对称 Verlet 步

\mathbf p_{j+1/2}=\mathbf p_j-\frac h2\nabla V(\mathbf q_j),\quad\mathbf q_{j+1}=\mathbf q_j+h\mathbf p_{j+1/2},\quad\mathbf p_{j+1}=\mathbf p_{j+1/2}-\frac h2\nabla V(\mathbf q_{j+1})

两个半踢构成二阶可逆映射，这并不令真实 Hamilton 量精确守恒，也不使未解析的近日点变得准确。

检验完整辛几何

D\Phi_h^{\mathsf T}J D\Phi_h=J,\qquad J=\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}

读数通过中心差分报告最大逐元素误差。四维中的单位行列式条件更弱，开普勒斑块是二维投影，不作为完整体积测量。

能量与状态是不同误差

\epsilon_H=\frac{H_j-H_0}{\max(|H_0|,10^{-6})},\qquad\epsilon_z=\|\mathbf z_j-\mathbf z_{\rm ref}(t_j)\|_2

全部步进参与最大能量误差，绘图每种方法保留约 600 个样本；稳定能量曲线可以掩盖积累的相位误差。已停止记录没有预测延续。

读取对数坐标

y_H=\operatorname{sgn}(\epsilon_H)\log_{10}\left(1+\frac{|\epsilon_H|}{10^{-8}}\right),\qquad y_z=\log_{10}\left(1+\frac{\epsilon_z}{10^{-8}}\right)

共同对数变换同时显示微小与巨大误差，保留能量漂移符号。摆参考比较每个粗步中 32 与 64 个 RK4 子步。标称周期与实际时间由控件及读数给出。

常见难点

能量不是完整轨迹

容易误解很小的能量误差保证正确轨道。

正确理解相位误差可在近似守恒能量时积累；比较相同时刻的参考状态。

辛性不表示精确能量

容易误解辛方法每一步守恒精确 Hamilton 量。

正确理解步长充分解析时常出现有界振荡能量误差，而真实能量并不精确。

解析近日点

容易误解保持几何能修复大步长。

正确理解快速近中心经过仍需短步长；将步长减半并比较轨道误差，而非只看行列式。

投影不是正则体积

容易误解开普勒投影斑块面积证明辛性。

正确理解开普勒相空间为四维，完整矩阵检验提供相关局部证据。

动手实验

01
比较全部方法
回看完整谐振记录并切换选中方法。
应该观察到： 各色共享相同步长，能量增长、漂移和有界振荡不同。
02
步长减半
使用长期 RK4 记录，再将恒定步长减半。
应该观察到： 状态误差与能量漂移随分辨率变化，高局部阶数不是唯一标准。
03
离开小角度极限
比较大振幅往返摆和旋转摆预设。
应该观察到： 数值参考明确经过细化，而非用谐振近似代替。
04
挑战开普勒近日点
比较已解析与未解析近日点，检查完整映射误差并减半步长。
应该观察到： 辛映射可以保持其几何，同时产生较差轨迹。