M079 · 双曲线飞掠 / 设计

引力弹弓任务设计器

没有发动机点火，飞掠为何能改变速度？ 靠绕着一颗本身在运动的行星拐个弯。相对行星来看，飞船离开时和进来时一样快，飞掠只改变了方向。行星却在绕太阳运动，把它的速度分别加到进来和离开时的速度上，相对太阳的两个速率就不一样了。飞船多出或少掉的能量，是跟行星轨道换来的。

设计一次掠过地球或木星的双曲线飞掠。拖动近拱点、反转转向、切换参考系，看实际轨迹怎样对应渐近速度三角形、能量交换和安全的出射速度目标。

距近拱点时间 $\text{Pending}$

天体参考 $\text{Pending}$

渐近转向角 $\text{Pending}$

双曲线偏心率 $\text{Pending}$

计划近拱点高度 $\text{Pending}$

瞄准参数与行星半径比 $\text{Pending}$

惯性系入射速度 $\text{Pending}$

惯性系出射速度 $\text{Pending}$

惯性系有向速度变化 $\text{Pending}$

渐近比能量交换 $\text{Pending}$

当前行星系速度 $\text{Pending}$

近拱点速度 $\text{Pending}$

安全核验 $\text{Pending}$

出射有向速度误差 $\text{Pending}$

速度目标核验 $\text{Pending}$

采样能量误差 $\text{Pending}$

采样角动量误差 $\text{Pending}$

采样传播残差 $\text{Pending}$

测量轨道，再自己设计一条

没有发动机点火，飞掠为何能改变速度？

天体：地球 / 木星

b

0.00\,

入射超额速度

v_\infty

6.00\,km/s

入射方向

\alpha_{\rm in}

90.00\,{}^\circ

近拱点半径

r_p/R_p

1.30\,

转向符号

s

-1.00\,

安全半径

r_{\rm safe}/R_p

1.10\,

惯性系出射速度目标

V_{\rm target}

36.00\,km/s

参考系：行星 / 惯性

f

0.00\,

回放时间

t/t_{\rm obs}

0.00\,\%

在任一参考系里拖动橙色近拱点环，都能改最近距离；每种拖动都有对应的键盘滑块。红色虚线圆随行星移动，标出所选的安全距离。速度目标只看惯性系中的出射渐近速度，容差为每秒四分之一千米，不管目的地和飞行方向。灰色目标和紫色权衡曲线说明，飞得越低不一定越好。

飞掠发生在同一平面内，不点火，用拼接圆锥方法计算；天体是球形，行星速度恒定，航天器质量忽略不计。不考虑大气、潮汐、扁率、太阳加速度和星历。画出的轨迹只到有限远的观测边界，渐近矢量则取无穷远处的值。轨迹一碰到表面就停止，也不给出射结论。安全高度是你自选的设计余量，不是经过认证的大气边界。

先抓重点

核心问题: 同一次无动力飞掠，能否因经过行星不同侧而加速或减速？
一句话直觉: 飞掠只让相对行星的速度转个方向，行星系里的渐近速度大小不变。把行星速度分别加到方向不同的入射和出射矢量上，惯性系里的速度大小就不一样了，差出来的就是和行星交换的轨道能量。

核心数学模型

同一速度的两个参考系

\mathbf V_{\rm in}=\mathbf V_p+\mathbf v_{\infty,\rm in},\qquad\mathbf V_{\rm out}=\mathbf V_p+\mathbf v_{\infty,\rm out}

大写字母表示惯性坐标中的速度，超额速度矢量是相对行星的渐近速度。整个局部飞掠过程中，行星速度保持不变。

双曲线确定转向

e_h=1+\frac{r_pv_\infty^2}{\mu_p},\qquad\delta=2\arcsin\frac{1}{e_h}

入射超额速度不变时，近拱点越近，偏转越大。转角的正负决定从行星哪一侧绕过。

用瞄准参数瞄准

b=r_p\sqrt{1+\frac{2\mu_p}{r_pv_\infty^2}},\qquad v_p=\sqrt{v_\infty^2+\frac{2\mu_p}{r_p}}

瞄准参数是入射渐近线偏开的距离，不是最近距离。经过近拱点时，速度比渐近速度大。

不点火时，超额速度不变

|\mathbf v_{\infty,\rm out}|=|\mathbf v_{\infty,\rm in}|,\qquad\varepsilon_p=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_p}{r}=\frac{v_\infty^2}{2}

行星系速度在有限轨迹上先增后减；相等的是两端渐近速度的大小。

交换的能量来自哪里

\Delta\varepsilon_{\rm inertial}=\frac{V_{\rm out}^2-V_{\rm in}^2}{2}=\mathbf V_p\cdot(\mathbf v_{\infty,\rm out}-\mathbf v_{\infty,\rm in})

运动的行星把轨道能量交给航天器，或者从它那里拿走。行星的反冲之所以能忽略，只是因为航天器质量被忽略了。转向也可能让惯性系速度变小。

安全地达到速度目标

r_p>R_p,\quad r_p\ge r_{\rm safe}\ge R_p,\qquad |V_{\rm out}-V_{\rm target}|<0.25\,\mathrm{km/s}

这个教学设计只检查一个速度和你选的安全余量，不规划飞往目的地的转移轨道。轨迹一旦碰到或进入天体表面，解析传播就在那里停止。

常见难点

“更快”要说清相对谁

容易误解引力增加行星系入射与出射速度。

正确理解入射和出射的超额速度一样大。把行星自己的速度加上去，惯性系里的速度大小才会变。

更近并非总是更好

容易误解在允许范围内飞得越低，加速总是越多。

正确理解能量交换取决于两个矢量的点积。转角太大，出射方向可能越过速度最大的那个方向。

有限边界不是无穷远

容易误解图上画的第一个速度就是超额速度。

正确理解在轨迹两端，引力仍在起作用。速度三角形用的是渐近速度，速度历史用的是当地速度。

撞上行星，就没有出射飞掠

容易误解数学上的双曲线穿过行星，也可以算成功。

正确理解轨迹第一次碰到表面，记录就停止，也不给出射结果。另外，你选的安全余量也可能否决一条没有撞上的轨迹。

动手实验

01
比较参考系
采集加速预设，再选择惯性坐标。
你会看到： 这次飞掠在行星系里能量不变，运动的行星却改变了航天器在惯性系里的速度。
02
让交换反向
在相同半径比较加速与减速预设。
你会看到： 超额速度不变，但惯性系里的出射速度大小随转向而变。
03
安全设计
拖动近拱点并调整出射标量速度目标，检查权衡图。
你会看到： 只有既不撞上行星、又不进入安全余量的飞掠，才能通过速度目标。权衡曲线的最高点可能落在中间。
04
停止不可能的任务
比较安全余量违规与表面截获预设。
你会看到： 一条轨迹离行星比你选的余量还近；另一条碰到表面就停下，没有出射结果。