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Sandbox Physics

M079 · 双曲线飞掠 / 设计

引力弹弓任务设计器

围绕地球或木星参考设计双曲线飞掠。拖动近日点、反转转向并切换参考系；把真实轨迹与渐近速度三角形、能量交换以及安全的出射速度目标连接起来。

交互模型引力弹弓任务设计器
距近日点时间Pending\text{Pending}
天体参考Pending\text{Pending}
渐近转向角Pending\text{Pending}
双曲线偏心率Pending\text{Pending}
计划近日点高度Pending\text{Pending}
瞄准参数与行星半径比Pending\text{Pending}
惯性系入射速度Pending\text{Pending}
惯性系出射速度Pending\text{Pending}
惯性系有向速度变化Pending\text{Pending}
渐近比能量交换Pending\text{Pending}
当前行星系速度Pending\text{Pending}
近日点速度Pending\text{Pending}
安全核验Pending\text{Pending}
出射有向速度误差Pending\text{Pending}
速度目标核验Pending\text{Pending}
采样能量误差Pending\text{Pending}
采样角动量误差Pending\text{Pending}
采样传播残差Pending\text{Pending}

物理教程

在速度三角形中看见能量交换

背景航天器向运动行星下落、转向并远离。局部二体飞掠守恒自身能量，但这是行星系中的能量。

为什么值得理解NASA 轨迹设计资料提供无动力双曲线转向与拼接圆锥渐近构造的依据，本实验的教学边界是有限局部轨迹、恒定行星速度与自选安全余量。

先抓重点

核心问题
同一次无动力飞掠，能否因经过行星不同侧而加速或减速？
一句话直觉
旋转保持行星系渐近速度大小；将同一个运动速度加到两个方向不同的矢量上，会改变惯性系大小并交换轨道能量。

核心数学模型

同一速度的两个参考系

Vin=Vp+v∞,in,Vout=Vp+v∞,out\mathbf V_{\rm in}=\mathbf V_p+\mathbf v_{\infty,\rm in},\qquad\mathbf V_{\rm out}=\mathbf V_p+\mathbf v_{\infty,\rm out}

大写速度属于惯性坐标，超额矢量属于行星系渐近线；本局部飞掠中行星速度预设为常量。

双曲线确定转向

eh=1+rpv∞2μp,δ=2arcsin⁡1ehe_h=1+\frac{r_pv_\infty^2}{\mu_p},\qquad\delta=2\arcsin\frac{1}{e_h}

入射超额速度固定时，更近的近日点产生更强偏转；有向转角选择绕过行星的一侧。

用瞄准参数瞄准

b=rp1+2μprpv∞2,vp=v∞2+2μprpb=r_p\sqrt{1+\frac{2\mu_p}{r_pv_\infty^2}},\qquad v_p=\sqrt{v_\infty^2+\frac{2\mu_p}{r_p}}

瞄准参数是入射渐近线偏移，并非最近距离；近日点局部速度大于渐近速度。

无动力超额速度守恒

∣v∞,out∣=∣v∞,in∣,εp=v22−μpr=v∞22|\mathbf v_{\infty,\rm out}|=|\mathbf v_{\infty,\rm in}|,\qquad\varepsilon_p=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_p}{r}=\frac{v_\infty^2}{2}

行星系速度在有限轨迹上先增后减；相等的是两端渐近速度的大小。

交换的能量来自哪里

Δεinertial=Vout2−Vin22=Vp⋅(v∞,out−v∞,in)\Delta\varepsilon_{\rm inertial}=\frac{V_{\rm out}^2-V_{\rm in}^2}{2}=\mathbf V_p\cdot(\mathbf v_{\infty,\rm out}-\mathbf v_{\infty,\rm in})

运动行星供给或吸收轨道能量。只有忽略航天器质量时才能忽略行星反冲；转向也能降低惯性系速度。

达到安全的标量速度目标

rp>Rp,rp≥rsafe≥Rp,∣Vout−Vtarget∣<0.25 km/sr_p>R_p,\quad r_p\ge r_{\rm safe}\ge R_p,\qquad |V_{\rm out}-V_{\rm target}|<0.25\,\mathrm{km/s}

本教学设计仅核验一个速度和自选安全余量，并不求解目的地转移；位于表面或其内部的接触会解析终止传播。

常见难点

更快的出射需要指定参考系

容易误解引力增加行星系入射与出射速度。

正确理解两个超额速度相等，加上运动行星速度后惯性系大小才会改变。

更近并非总是更好

容易误解允许范围内最低高度总能最大化加速。

正确理解能量交换是矢量点积，过大转角可能越过出射速度最大的方向。

有限边界不是无穷远

容易误解第一个绘制速度等于超额速度。

正确理解引力仍影响有限边界状态；三角形使用渐近速度，历史使用局部速度。

撞击没有有效出射飞掠

容易误解数学双曲线可以穿过行星并算作成功。

正确理解首次表面相交停止记录并阻断出射结果；另有用户选择的安全余量可拒绝未撞击轨迹。

动手实验

  1. 01

    比较参考系

    采集加速预设，再选择惯性坐标。

    应该观察到： 同一飞掠保持行星系能量，而移动行星改变惯性速度。
  2. 02

    反转交换

    在相同半径比较加速与减速预设。

    应该观察到： 超额速度不变，但惯性系出射大小随转向改变。
  3. 03

    安全设计

    拖动近日点并调整出射标量速度目标，检查权衡图。

    应该观察到： 只有安全且未撞击飞掠才能通过速度目标，权衡曲线可能存在内部最大值。
  4. 04

    停止不可能的任务

    比较安全余量违规与表面截获预设。

    应该观察到： 一条轨迹未满足自选余量，另一条在物理接触时停止且没有有效出射结果。