M089 · 离散力学

FPUT 能量复现实验室

一串质量和弹簧连成的链里，能量散到多个振动模态后，还会回来吗？ 会。FPUT 链的弹簧是非线性的，放进一个模态的能量先扩散到其他模态，过一阵又大部分回到原来的模态；线性链里，能量根本不会离开最初的模态。在有限时间里看到能量回来，或看到它分散得很开，都不能证明最后会均分。

一条两端固定的非线性弹簧链，从单个正弦模态开始振动。比较线性、二次力和三次力三种链，跟踪每个谐波模态的能量、非线性能量余项和模态熵，并找出能量离开初始模态后第一次采样到的回归。三维视图里，链沿纵向运动，可以查看每个节点两侧的键力；完整机械能和墙面冲量与谐波模态份额分开计算。在数据行拖动释放位移图，可以改变振幅。

检查节点编号 $0$

检查节点纵向位移 $0$

检查节点纵向速度 $0$

左侧键施力 $0$

右侧键施力 $0$

纵向合力 $0$

检查节点纵向加速度 $0$

绘图位移与平衡间距的比例尺度 $0$

已采集归一时间 $0$

总机械能 $0$

动能 $0$

键势能 $0$

有向能量误差 $0$

链动量 $0$

独立积分净墙面冲量 $0$

动量减初值与墙面冲量 $0$

步长减半位移差 · 最初十个时间单位 $0$

实际归一积分步长 $0$

最大积分能量误差 · 完整记录 $0$

记录与模型范围 $0$

初始模态谐波能量份额 $0$

归一模态熵 $0$

谐波模态能量之和 $0$

有向非线性键能贡献 $0$

已采集初始模态最低份额 $0$

首次采样回归 · 基频周期数 $0$

离开与回归状态 $0$

线性基频周期 $0$

设好释放条件，再记录运动

一串质量和弹簧连成的链里，能量散到多个振动模态后，还会回来吗？

检查节点键力青色是左侧键的力，金色是右侧键的力，紫色是两者的合力；三者每一时刻共用一个比例。检查节点速度蓝色箭头，比例与力分开。向右为正。释放初态轮廓线框标出这次释放时的初始位置，它们固定不动。沿链选择检查节点

s/L

50.00\,\%

运动节点数

N

16.00\,

二次力系数

\alpha

0.25\,

三次力系数

\beta

0.00\,

初始正弦模态位移

A

4.00\,

初始激发模态

j_0

1.00\,

观测基频周期数

N_T

100.00\,

最大归一步长

h_{max}

0.04\,

检查已采集记录

t/t_{end}

0.00\,\%

所有量都已归一化。可以直接操作轨道和位移图，也可以用键盘调滑块。运动超出模型适用范围或步数用完时，记录就停止；运动本身不会被截断。

三维装置只是示意：纵向位移按每条记录固定的比例尺画出，与平衡间距分开；质点大小和弹簧线圈不参与碰撞计算。颜色表示当前局部能量相对当前峰值的大小。模型是归一化、孤立、两端固定的理想质点链，只有相邻质点之间有多项式弹簧，没有碰撞，也没有阻尼。时间单位取参考质量和刚度都为一。谐波模态能量不含非线性键能，份额按谐波能量之和归一，这个和并不等于守恒的完整能量。所谓回归，是采样到的初始模态份额先降到五分之四以下，之后又回到至少十分之九；线性链始终没有离开，不算复现。所有释放模态都用第一个线性基频周期作时间尺度。熵描述的是有限的谐波分布，不能证明热化。采样可能让阈值回归的时刻偏移，甚至完全漏掉。只有二次力的键是局部多项式模型，键进入势能不再束缚它的区域之前，记录就会停止。步长受一个保守的最快振动频率上限限制，每条记录最多五十万步，两者都可能让极端记录提前结束。步长减半比较只覆盖最初十个时间单位。

先抓重点

核心问题: 要求能量先离开、再和线性链对照、再把积分步长减小，看到的回归还成立吗？
一句话直觉: 完整 Hamilton 能量和各谐波模态的能量要分开追踪。能量先离开初始模态，之后再越过阈值，才算回归。

核心数学模型

多项式键势能

V(r)=\tfrac12r^2+\tfrac\alpha3r^3+\tfrac\beta4r^4,\qquad r_i=u_i-u_{i-1}

二次与三次力项来自同一个 Hamilton 能量。

固定端链动力学

\ddot u_i=V^{\prime}(u_{i+1}-u_i)-V^{\prime}(u_i-u_{i-1}),\qquad u_0=u_{N+1}=0

没有外力驱动，没有阻尼，质点之间也不碰撞。

线性谐波投影

Q_j=\sqrt{\frac2{N+1}}\sum_{i=1}^N u_i\sin\frac{ij\pi}{N+1},\qquad E_j=\tfrac12(\dot Q_j^2+\omega_j^2Q_j^2)

即使键是非线性的，谐波模态仍可以用来看能量分布在哪里。

完整能量与非线性余项

H=\sum_jE_j+\sum_i\left(\tfrac\alpha3r_i^3+\tfrac\beta4r_i^4\right)

只有包含余项的完整 Hamilton 能量，才是守恒的机械能。

归一谐波模态熵

p_j=E_j/\sum_kE_k,\qquad S=-\frac{\sum_jp_j\log p_j}{\log N}

能量集中在少数谐波模态时，熵就低。这个分布不含非线性余项。

常见难点

一直没走，不算回来

容易误解线性模态回到相同位移，也就证明了非线性复现。

正确理解线性链的模态从来没有失去能量。这里要算回归，初始模态的份额得先跌到五分之四以下。

谐波能量不等于 Hamilton 总能量

容易误解投影模态能量之和必须严格恒定。

正确理解非线性键能可正可负，会和谐波部分来回交换能量。

熵不证明热化

容易误解能量一旦分散到很多模态，就会永远均分下去。

正确理解在有限的记录里，能量仍可能回来。单看熵，证明不了长时间后会达到平衡。

动手实验

01
在三维装置里看一个节点的受力
暂停，选择检查节点并使用精细运动单步。对照青色与金色的两侧键力、紫色合力和加速度读数。
你会看到： 质点只沿链的方向运动。下方的位移轮廓是一张图；质点大小和绘图放大倍数都只是示意。
02
检查能量和墙面冲量
打开“能量与墙面冲量”，滑动已采集记录，再返回“运动与模态”。
你会看到： 完整能量的各项和带符号的数值误差跟着同一个光标走。固定墙和链交换动量，但不做功。
03
先跑线性对照
采集线性场景并检查模态历史。
你会看到： 能量一直留在这一个模态里，从未离开。
04
采集一次非线性回归
使用默认二次力场景并采集完整记录。
你会看到： 能量散到其他模态，初始模态的份额下降；之后，采样到的份额又回升，越过回归阈值。
05
改变混合强度
比较三次力与较强释放，再检查熵。
你会看到： 不同的运行不一定在同一段观测时间里回归。
06
检查数值计算
减小步长，比较完整能量误差和早期步长减半读数。
你会看到： 早期的步长收敛和整段记录的能量误差，是两种不同的证据。

核心数学模型

多项式键势能

固定端链动力学

线性谐波投影

完整能量与非线性余项

归一谐波模态熵

常见难点

一直没走，不算回来

谐波能量不等于 Hamilton 总能量

熵不证明热化

动手实验

在三维装置里看一个节点的受力

检查能量和墙面冲量

先跑线性对照

采集一次非线性回归

改变混合强度

检查数值计算