M089 · 离散力学

FPUT 能量复现实验室

从固定端非线性弹簧链的一个正弦模态释放。比较线性、二次力和三次力实验，追踪全部谐波模态、非线性能量余项、模态熵，以及能量离开初始模态后的首次采样回归。拖动释放位移图改变振幅。

已采集归一时间 $0$

总机械能 $0$

动能 $0$

键势能 $0$

有向能量误差 $0$

链动量 $0$

独立积分净墙面冲量 $0$

动量减初值与墙面冲量 $0$

步长减半位移差 · 最初十个时间单位 $0$

实际归一积分步长 $0$

最大积分能量误差 · 完整记录 $0$

记录与模型范围 $0$

初始模态谐波能量份额 $0$

归一模态熵 $0$

谐波模态能量之和 $0$

有向非线性键能贡献 $0$

已采集初始模态最低份额 $0$

首次采样回归 · 基频周期数 $0$

离开与回归状态 $0$

线性基频周期 $0$

这是归一、孤立、固定端的理想质点链，使用最近邻多项式弹簧，不含接触碰撞或阻尼。时间单位由单位参考质量与刚度确定。谐波模态能量不含非线性键能，份额按谐波总和归一；其总和不等于完整守恒能量。回归指采样初始模态份额先低于五分之四，再达到至少十分之九；线性情形始终未离开不算复现。所有释放模态都用第一线性基频周期定标。熵描述有限谐波分布，不证明热化。采样可能改变或遗漏阈值回归。仅二次力的键为局部多项式模型，进入非约束外部前停止记录。保守频率步长上限及五十万步预算可能缩短极端记录。步长减半比较仅覆盖最初十个时间单位。

先抓重点

核心问题: 观测回归经过离开判据、线性对照和更小积分步长后，是否仍然成立？
一句话直觉: 把完整 Hamilton 能量与谐波投影分别追踪。先确认离开，再把后续阈值穿越称为回归。

核心数学模型

多项式键势能

V(r)=\tfrac12r^2+\tfrac\alpha3r^3+\tfrac\beta4r^4,\qquad r_i=u_i-u_{i-1}

二次与三次力项来自同一个 Hamilton 能量。

固定端链动力学

\ddot u_i=V^{\prime}(u_{i+1}-u_i)-V^{\prime}(u_i-u_{i-1}),\qquad u_0=u_{N+1}=0

不含外部驱动、阻尼或接触求解器。

线性谐波投影

Q_j=\sqrt{\frac2{N+1}}\sum_{i=1}^N u_i\sin\frac{ij\pi}{N+1},\qquad E_j=\tfrac12(\dot Q_j^2+\omega_j^2Q_j^2)

键非线性时，谐波模态仍可作为诊断基底。

完整能量与非线性余项

H=\sum_jE_j+\sum_i\left(\tfrac\alpha3r_i^3+\tfrac\beta4r_i^4\right)

只有完整 Hamilton 能量才是守恒机械能。

归一谐波模态熵

p_j=E_j/\sum_kE_k,\qquad S=-\frac{\sum_jp_j\log p_j}{\log N}

集中的谐波分布具有低熵；非线性余项不在此分布中。

常见难点

限域不等于复现

容易误解线性模态回到相同位移证明非线性复现。

正确理解线性对照从未失去模态能量；本协议首先要求份额低于五分之四。

谐波能量不等于 Hamilton 总能量

容易误解投影模态能量之和必须严格恒定。

正确理解非线性键能是有向余项，会与谐波部分交换。

熵不证明热化

容易误解较宽模态谱证明永久能量均分。

正确理解有限记录可能回归；仅凭熵不确立渐近平衡。

动手实验

01
建立线性对照
采集线性场景并检查模态历史。
应该观察到： 单一模态保持能量，不产生离开事件。
02
采集非线性回归
使用默认二次力场景并采集完整记录。
应该观察到： 能量扩散，初始份额下降，随后出现采样阈值回归。
03
改变混合强度
比较三次力与较强释放，再检查熵。
应该观察到： 不同有限历史不必在同一观测时窗内回归。
04
核验数值实验
减小步长，比较完整能量误差和早期步长减半读数。
应该观察到： 早期收敛与完整记录能量监测提供不同证据。