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Sandbox Physics

FPUT 能量复现实验室

一串质量和弹簧连成的链里，能量散到多个振动模态后，还会回来吗？ 会。FPUT 链的弹簧是非线性的，放进一个模态的能量先扩散到其他模态，过一阵又大部分回到原来的模态；线性链里，能量根本不会离开最初的模态。在有限时间里看到能量回来，或看到它分散得很开，都不能证明最后会均分。

非线性弹簧链里，能量散到其他振动模态后又会回来。拖动释放振幅，对照链的运动、模态能量柱和整段记录，寻找这次回归。

交互模型FPUT 能量复现实验室

能量离开、扩散，再回归

背景人们原以为非线性链会很快把能量平分给各个模态。Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou 实验却发现，很大一部分谐波能量可以回到最初激发的模态。

为什么值得理解1955 年的 Los Alamos 报告研究孤立的链，键力是位移的多项式。这里按固定规则做有限时长的实验，也把非线性部分的能量算进来。

核心问题
要求能量先离开、再和线性链对照、再把积分步长减小，看到的回归还成立吗？
一句话直觉
完整 Hamilton 能量和各谐波模态的能量要分开追踪。能量先离开初始模态，之后再越过阈值，才算回归。

核心数学模型

多项式键势能

V(r)=12r2+α3r3+β4r4,ri=ui−ui−1V(r)=\tfrac12r^2+\tfrac\alpha3r^3+\tfrac\beta4r^4,\qquad r_i=u_i-u_{i-1}

二次与三次力项来自同一个 Hamilton 能量。

固定端链动力学

u¨i=V′(ui+1−ui)−V′(ui−ui−1),u0=uN+1=0\ddot u_i=V^{\prime}(u_{i+1}-u_i)-V^{\prime}(u_i-u_{i-1}),\qquad u_0=u_{N+1}=0

没有外力驱动，没有阻尼，质点之间也不碰撞。

线性谐波投影

Qj=2N+1∑i=1Nuisin⁡ijπN+1,Ej=12(Q˙j2+ωj2Qj2)Q_j=\sqrt{\frac2{N+1}}\sum_{i=1}^N u_i\sin\frac{ij\pi}{N+1},\qquad E_j=\tfrac12(\dot Q_j^2+\omega_j^2Q_j^2)

即使键是非线性的，谐波模态仍可以用来看能量分布在哪里。

完整能量与非线性余项

H=∑jEj+∑i(α3ri3+β4ri4)H=\sum_jE_j+\sum_i\left(\tfrac\alpha3r_i^3+\tfrac\beta4r_i^4\right)

只有包含余项的完整 Hamilton 能量，才是守恒的机械能。

归一谐波模态熵

pj=Ej/∑kEk,S=−∑jpjlog⁡pjlog⁡Np_j=E_j/\sum_kE_k,\qquad S=-\frac{\sum_jp_j\log p_j}{\log N}

能量集中在少数谐波模态时，熵就低。这个分布不含非线性余项。

先平均模态能量，再判断分散程度

Eˉj(t)=1W∫t−WtEj(s) ds,pj(t)=Eˉj(t)∑kEˉk(t),SW(t)=−∑jpjln⁡pjln⁡N.\begin{aligned}\bar E_j(t)&=\frac1W\int_{t-W}^t E_j(s)\,ds,\\p_j(t)&=\frac{\bar E_j(t)}{\sum_k\bar E_k(t)},\\S_W(t)&=-\frac{\sum_jp_j\ln p_j}{\ln N}.\end{aligned}

窗口长为五个基频周期。采样到的熵达到 0.95 后，还要连续保持两个周期，才记下确认时刻；始终未达到，就显示实际记录时长给出的下界。这是一个可比较的有限时间判据，不能证明长期热化。

给初态加入可控的宽频速度

vj(0)=εvsin⁡(j2)v_j(0)=\varepsilon_v\sin(j\sqrt2)

两个较强分散预设使用同样的小幅、确定性的初速度。若不加扰动，单一模态初态的反射对称性可能把能量限制在部分模态里；对这种不变子空间，不报告全模态分散时间。

常见难点

一直没走，不算回来

容易误解线性模态回到相同位移，也就证明了非线性复现。

正确理解线性链的模态从来没有失去能量。这里要算回归，初始模态的份额得先跌到五分之四以下。

谐波能量不等于 Hamilton 总能量

容易误解投影模态能量之和必须严格恒定。

正确理解非线性键能可正可负，会和谐波部分来回交换能量。

熵不证明热化

容易误解能量一旦分散到很多模态，就会永远均分下去。

正确理解在有限的记录里，能量仍可能回来。单看熵，证明不了长时间后会达到平衡。

动手实验

  1. 01

    在三维装置里看一个节点的受力

    暂停，选择检查节点并使用精细运动单步。对照青色与金色的两侧键力、紫色合力和加速度读数。

    你会看到： 质点只沿链的方向运动。下方的位移轮廓是一张图；质点大小和绘图放大倍数都只是示意。
  2. 02

    检查能量和墙面冲量

    打开“能量与墙面冲量”，滑动已采集记录，再返回“运动与模态”。

    你会看到： 完整能量的各项和带符号的数值误差跟着同一个光标走。固定墙和链交换动量，但不做功。
  3. 03

    先跑线性对照

    采集线性场景并检查模态历史。

    你会看到： 能量一直留在这一个模态里，从未离开。
  4. 04

    采集一次非线性回归

    使用默认二次力场景并采集完整记录。

    你会看到： 能量散到其他模态，初始模态的份额下降；之后，采样到的份额又回升，越过回归阈值。
  5. 05

    改变混合强度

    比较三次力与较强释放，再检查熵。

    你会看到： 不同的运行不一定在同一段观测时间里回归。
  6. 06

    检查数值计算

    减小步长，比较完整能量误差和早期步长减半读数。

    你会看到： 早期的步长收敛和整段记录的能量误差，是两种不同的证据。
  7. 07

    对照分散时间与观察下界

    展开“模态分散时间与能量核对”，比较默认回归和两个加入初速度扰动的较强释放，并检查实际记录时长。

    你会看到： 默认运行会先发生回归，并未达到分散阈值；加入初速度扰动的较强释放可在观察期内满足判据。改变初态扰动或观察窗口，确认时间也可能改变。

一手资料：Fermi, Pasta, Ulam & Tsingou · LA-1940 · Onorato et al. · thermalization

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