M062 · 非线性振动 / 周期测量

有限振幅摆与周期测量

摆幅会改变摆钟的周期吗？ 会。摆幅越大，周期比小角度公式算的越长，长多少由椭圆积分给出。摆幅 90 度时，周期大约长 18%。摆幅越接近顶点，周期越是急剧变长。

旋转视角观察三维刚性杆摆，在坐标视图里拖动设定初始状态。把非线性摆动和简谐参考放在一起比，记下摆球连续经过最低点的时刻来测周期，再和独立算出的椭圆积分预测对照。试试大摆幅、接近倒立势垒时的减速、阻尼和整圈转动。

实验室小珠速率 $0\,\mathrm{m/s}$

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

主值转角 $0\,\mathrm{rad}$

未折回转角 $0\,\mathrm{rad}$

角速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

相对运动动能 $0\,J$

重力势能 $0\,J$

机械能 $0\,J$

黏性耗散 $0\,J$

记录时刻的能量平衡偏差 $0\,J$

步长减半的状态差 $0$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

初始能量的无阻尼周期 $0\,s$

小角度周期 $0\,s$

最近采集的同向穿越间隔 $\text{Collecting}$

测量与初始能量参考的相对差 $0\,\%$

初始保守轨道类型 $\text{Libration}$

沿杆指向支点的力 $0\,N$

设好释放条件，再记录运动

摆幅会改变摆钟的周期吗？

显示物理矢量箭头表示小珠在实验室中的总速度、重力、导轨反力和等效阻尼力。显示近期实验室轨迹显示最近两个固有周期走过的路径；装置上不显示未来轨迹。显示小角度参考灰色参考球从相同的角度和角速度出发，但没有阻尼。摆球质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

杆长

L

1.00\,\mathrm{m}

重力加速度

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

相对底部的释放角

\theta_0

75.00\,{}^\circ

初始角速度

\dot\theta_0

0.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

黏性阻尼比

\zeta

0.00\,

最大数值步长

h_{\max}

10.00\,\mathrm{ms}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

紫色空心圆用来设定释放角，青色箭头表示速度。灰色运动曲线是同一初态下的小角度解。周期散点只用游标之前记录到的穿越；周期曲线是从静止释放时的预测。杆力为负，表示杆受压。每个拖动操作都有对应的键盘滑块。

模型是质点摆球挂在刚性杆上，支点固定，重力均匀。杆既能受拉也能受压，不会像软绳那样松弛。支点处可以加黏性阻尼力矩。椭圆积分给出的周期对应初始能量下的无阻尼轨道；有阻尼时，能量不断损失，两次穿越的间隔也随之改变。独立的功率积分、步长减半和带正负号的杆力，用来显示模型和数值计算的局限。能量视图把动能、重力势能和累计耗散分开显示。装置长度经过缩放以适应画面；球的大小、支架和表面标记都是示意。灰色参考球照搬无阻尼的小角度解，大摆幅时可能不准。力箭头共用一个自动调整的比例，速度另用一个比例。

先抓重点

核心问题: 小角度近似会造成多大的计时偏差？
一句话直觉: 把两样东西分开：无阻尼轨道的预测周期，和摆球连续两次同向穿过最低点实际测出的周期。

核心数学模型

实验室坐标中的位置与速度

\mathbf r=L(\sin\theta,0,-\cos\theta),\quad \mathbf v=L\dot\theta(\cos\theta,0,\sin\theta)

竖直坐标朝上。蓝色箭头沿圆周的切线方向；灰色摆球是另算的小角度参考。

非线性运动方程

\ddot\theta+2\zeta\omega_0\dot\theta+\omega_0^2\sin\theta=0,\quad \omega_0=\sqrt{g/L}

黏性阻尼力矩与转动惯量和角速度都成正比。

无阻尼摆动周期

T=\frac{4}{\omega_0}K(k),\quad k=\sin\frac{\theta_{\max}}2

转向角由能量决定，释放时也可以带初速度。

另用算法计算椭圆积分

K(k)=\frac{\pi}{2\operatorname{AGM}(1,\sqrt{1-k^2})}

预测用一套独立的数值算法，不借用计算运动的积分器。

能量与耗散

E=\tfrac12mL^2\dot\theta^2+mgL(1-\cos\theta),\quad E+Q=E_0

耗散由黏性功率积分得到，能量收支剩下的残差仍是一项独立检验。

杆力的正负

F_{\mathrm{rod}}=m(g\cos\theta+L\dot\theta^2)

正值表示杆把摆球拉向支点，负值表示推离支点；刚性杆两种都能承受。

常见难点

预测不等于测量

容易误解刚释放时显示的周期，就已经是测量结果。

正确理解预测值一开始就有；测量要等摆球同方向经过最低点两次。

阻尼改变轨道能量

容易误解一个椭圆积分周期能描述所有有阻尼周期。

正确理解固定的参考周期按初始能量计算；摆幅变小后，后面的穿越间隔会跟着变。

刚性杆也能推

容易误解从高角度释放，摆球一定会失去约束。

正确理解只能受拉的软绳才会这样。本装置特意用了能受压的刚性杆。

动手实验

01
在底部附近标定
对“小角度摆钟”采集完整记录，再改变摆球质量。
你会看到： 周期不变，能量和力都与质量成正比。
02
增大摆幅
比较“大摆幅”和“接近倒立势垒”，对照灰色参考摆球；可以旋转装置或使用侧视图。
你会看到： 简谐参考越走越靠前；测得的间隔接近更长的椭圆积分预测。
03
从摆动换成转动
选择“完整转动”，再把初始角速度反向。
你会看到： 限制在一圈内的角度会跳回，但不折回的完整转角保持连续，同向转满一圈的计时也保持连续。
04
分清物理效应和数值误差
切换到能量视图，采集有阻尼的记录，再把请求步长减半。
你会看到： 耗散仍然存在；步长变小后，独立的能量残差和两次计算的状态差都会减小。