M062 · 非线性振动 / 周期测量

有限振幅摆与周期测量

拖动无质量刚性杆上的空心初始摆球。将非线性运动与简谐参考同步比较，通过连续底部穿越事件采集周期，再用独立椭圆积分预测核验。探索大摆幅、势垒附近的减速、阻尼和完整转动。

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

主值转角 $0\,\mathrm{rad}$

未折回转角 $0\,\mathrm{rad}$

角速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

相对运动动能 $0\,J$

重力势能 $0\,J$

机械能 $0\,J$

黏性耗散 $0\,J$

记录时刻的能量收支偏差 $0\,J$

步长减半的状态差 $0$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

初始能量的无阻尼周期 $0\,s$

小角度周期 $0\,s$

最近采集的同向穿越间隔 $\text{Collecting}$

测量与初始能量参考的相对差 $0\,\%$

初始保守轨道类型 $\text{Libration}$

沿杆指向支点的力 $0\,N$

释放 / 采集 / 核验

摆幅会改变摆钟的周期吗？

摆球质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

杆长

L

1.00\,\mathrm{m}

重力加速度

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

相对底部的释放角

\theta_0

75.00\,{}^\circ

初始角速度

\dot\theta_0

0.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

黏性阻尼比

\zeta

0.00\,

最大数值步长

h_{\max}

10.00\,\mathrm{ms}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

紫色空心圆设置释放角，青色箭头表示速度。灰色运动线是同初态的小角度解。周期散点只采用游标之前采集的穿越事件；周期曲线是静止释放的预测。负杆力表示受压。所有拖动均有等效键盘滑块。

质点摆球、刚性杆、固定支点与均匀重力；杆可承受拉力和压力，不采用会松弛的软绳模型。可加入黏性支点力矩。椭圆积分周期对应初始能量下的无阻尼轨道；有阻尼时穿越间隔随耗散改变。独立功率积分、步长减半与有向杆力展示模型及数值边界。

先抓重点

核心问题: 小角度近似会造成多大的计时偏差？
一句话直觉: 区分无阻尼轨道预测与通过两次连续同向穿越实际采集的周期。

核心数学模型

非线性方程

\ddot\theta+2\zeta\omega_0\dot\theta+\omega_0^2\sin\theta=0,\quad \omega_0=\sqrt{g/L}

黏性力矩随转动惯量和角速度变化。

无阻尼摆动周期

T=\frac{4}{\omega_0}K(k),\quad k=\sin\frac{\theta_{\max}}2

转向角由能量决定，释放时也可以带初速度。

独立椭圆积分

K(k)=\frac{\pi}{2\operatorname{AGM}(1,\sqrt{1-k^2})}

预测使用独立数值算法，不复用轨迹积分器。

能量与耗散

E=\tfrac12mL^2\dot\theta^2+mgL(1-\cos\theta),\quad E+Q=E_0

耗散由黏性功率积分，收支残差保持为独立核验。

刚性杆的有向力

F_{\mathrm{rod}}=m(g\cos\theta+L\dot\theta^2)

正值指向支点，负值背离支点；刚性杆可支持两种方向。

常见难点

预测不是采集

容易误解释放时显示的周期就是已测量结果。

正确理解参考预测立即可得；仪器需要两次同向穿越底部。

阻尼改变轨道能量

容易误解一个椭圆积分周期能描述所有有阻尼周期。

正确理解固定参考使用初始能量；摆幅缩小时，后续穿越间隔会改变。

刚性杆可以施压

容易误解所有高角度释放都会失去约束。

正确理解只受拉软绳才有此边界；本装置采用可受压刚性杆。

动手实验

01
在底部附近标定
采集小角度场景，再改变摆球质量。
应该观察到： 周期不变，能量与力随质量变化。
02
增大摆幅
比较大摆幅与接近势垒场景，检查灰色参考线。
应该观察到： 简谐参考逐渐提前；采集间隔接近更长的椭圆积分预测。
03
改变轨道类型
选择完整转动，再反向设置初始角速度。
应该观察到： 主值角度会折回，完整转角与同向整周计时保持连续。
04
分清物理与积分
加入阻尼，再将请求步长减半。
应该观察到： 耗散仍然存在，独立能量残差与状态差随细化减小。