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Sandbox Physics

流体记忆 · 谱动力学

二维 Euler 涡量与混合

没有黏性的流动，怎样把染料拉成细丝，却不损失能量和旋转？ 没有黏性时，流体带着自己的旋转走，旋转不会扩散开。能量不变，涡量平方，也就是旋转强度平方的总量，也不变。同一股流动把染料拉长、折叠成越来越细的丝。屏幕上这些细丝变模糊，是数值方法在网格上把染料抹平了，不是流动失去了旋转。

在周期涡量求解器里，看同向涡斑、移动偶极和扰动剪切层怎样演化。在涡量场和染料场中查看同一个位置，跟着流体微团走，观察能量、涡量平方和各尺度的谱怎样变化。

交互模型二维 Euler 涡量与混合
模拟时间 tt00
能量 E/E0E/E_011
涡量平方 Z/Z0Z/Z_011
染料方差 Vc/Vc,0V_c/V_{c,0}11
探针涡量 ωp\omega_p00
探针染料 cpc_p00
染料均值漂移 ⟨c⟩−⟨c0⟩\langle c\rangle-\langle c_0\rangle00
Poisson 残差 εψ\varepsilon_\psi00
耗散平衡误差 εE,Z\varepsilon_{E,Z}00
近截断涡量平方 Ztail/ZZ_{\mathrm{tail}}/Z00
Taylor–Green 相对误差n/a\mathrm{n/a}
单步耗时 ms\mathrm{ms}00

物理教程

Euler：拉伸图案，不抹去旋转

背景在二维流体里，每个流体微团都带着自己的旋转一起走。涡量决定流函数，流函数给出速度，速度又把涡量搬来搬去。本实验在周期正方形上求解这个循环。

为什么值得理解光看彩色细丝，分不出是流体求解器算的还是动画画的。能量、涡量平方、谱带宽和精确衰减检验，能让你看到算法究竟保留了什么、损失了什么。

先抓重点

核心问题
为什么染料越折越细，网格能分辨的无黏涡量场却仍保持二次守恒量？
一句话直觉
零黏性时，涡量跟着流体微团走，不会扩散开。染料也由同一个速度输送，但染料算法用了插值，所以染料看起来混匀了，并不说明 ω\omega 真的发生了物理耗散。

核心数学模型

涡量的反馈循环

∂tω+u⋅∇ω=νΔω,−Δψ=ω,u=(∂yψ,−∂xψ)\partial_t\omega+\mathbf u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega,\qquad -\Delta\psi=\omega,\qquad \mathbf u=(\partial_y\psi,-\partial_x\psi)

黏性为零时，这是 Euler 方程；黏性为正时，是没有外力的二维 Navier–Stokes 方程。速度的散度里，两个混合偏导正好抵消。周期区域要求平均涡量为零，平均速度也取为零。

在 Fourier 空间推进并去混叠

ψ^k=ω^k∣k∣2,∂tω^k=−PKu⋅∇ω^k−ν∣k∣2ω^k,3K<N\widehat\psi_{\mathbf k}=\frac{\widehat\omega_{\mathbf k}}{|\mathbf k|^2},\quad \partial_t\widehat\omega_{\mathbf k}=-\mathcal P_K\widehat{\mathbf u\cdot\nabla\omega}_{\mathbf k}-\nu|\mathbf k|^2\widehat\omega_{\mathbf k},\quad 3K<N

零模态被去掉。求导和 Poisson 反演都在谱空间完成；非线性乘积先在网格上算，再投影回谱空间。矩形截断满足严格的三分之二条件，二次项产生的混叠就进不了保留的模态。RK4 推进各个系数，中途不会把能量重新归一化。

能量与涡量平方的收支

E=12⟨∣u∣2⟩,Z=12⟨ω2⟩,dEdt=−2νZ,dZdt=−ν⟨∣∇ω∣2⟩E=\tfrac12\langle|\mathbf u|^2\rangle,\quad Z=\tfrac12\langle\omega^2\rangle,\quad \frac{dE}{dt}=-2\nu Z,\quad \frac{dZ}{dt}=-\nu\langle|\nabla\omega|^2\rangle

能量和涡量平方都按全区域平均来定义，再做归一化。在光滑的无黏流里，两者保持不变。有黏性时，耗散按 RK4 各阶段的权重同步积分；收支误差把当前值加上累计损失，再和初始值比较。时间离散仍会留下可以测出的残差。

独立的染料输运

∂tc+u⋅∇c=κΔc,Vc=⟨(c−⟨c⟩)2⟩\partial_t c+\mathbf u\cdot\nabla c=\kappa\Delta c,\qquad V_c=\langle(c-\langle c\rangle)^2\rangle

染料的推进分三步：用中点法沿流动回溯，在周期网格上双线性插值，再做一次显式五点扩散。即使扩散率为零，插值也会抹平染料，而且染料质量不严格守恒。染料不会反过来影响速度。示踪点的轨迹用插值速度和中点积分算出，只是流体微团真实路径的近似。

用 Taylor–Green 涡做精确对照

ω=Asin⁡xsin⁡y e−2νt,ψ=A2sin⁡xsin⁡y e−2νt,EE0=ZZ0=e−4νt\omega=A\sin x\sin y\,e^{-2\nu t},\quad \psi=\frac{A}{2}\sin x\sin y\,e^{-2\nu t},\quad \frac{E}{E_0}=\frac{Z}{Z_0}=e^{-4\nu t}

这个流场是 Laplacian 的单个特征函数，非线性平流项为零，涡量按已知速率衰减。相对误差就是把求解器的结果和这条独立公式对比，无黏时图案静止不变的情形也包括在内。涡斑宽度和间距在这里不起作用，所以被禁用。

常见难点

两种不同的混合

容易误解染料方差在下降，说明 Euler 流的涡量平方在减少。

正确理解涡量和染料用的是两套算法。染料被折到更小的尺度后，会被插值抹平。单独看能量和涡量平方，改一改染料扩散率，再换更细的网格重做。黏性为零时，Euler 方程里没有物理扩散。

Poisson 解得准不代表流场已分辨

容易误解很小的 Poisson 残差证明所有细丝都准确。

正确理解Poisson 残差检查的是 Fourier 反演和来回变换在代数上是否一致，不是截断误差。近截断涡量平方统计的是任一波数分量落在保留矩形最高五分之一里的模态。谱尾如果偏大，就要换分辨率对照。两条壳谱各自按自己的峰值归一化，应该比形状，不要拿两者的柱高互相比。

周期涡斑不是孤立涡

容易误解偶极和同向涡斑与孤立点涡的运动完全相同。

正确理解这些涡斑光滑、有一定宽度，并且周期地重复。同向涡斑还需要一个均匀的背景来补偿。有限的 Fourier 截断可能产生振铃，它只保持这里检查的两个二次守恒量，不能精确保持每个流体微团的涡量，也不能保持全部 Casimir。这不是三维湍流模拟，也不能证明存在普适级联。

动手实验

  1. 01

    同时跟随旋转与染料

    从“同向涡斑”开始。打开“速度矢量”，暂停后一步一步推进。在任一场里点一下，两个场会同时探测同一位置。

    你会看到： 流线画的是此刻的速度，示踪点的尾迹记录最近走过的路。染料不断折叠，无黏流的能量和涡量平方却仍接近初始值。同向涡斑会互相绕转、变形，但模型不保证它们最终合并、不再分开。
  2. 02

    分离黏性与数值损失

    先用零黏性、再用正黏性重做涡斑实验，另外单独改变染料扩散率。每改一次物理参数，实验都会从同一个初始状态重新开始。

    你会看到： 流体黏性让两个二次量都下降，积分出来的耗散仍能准确对上这部分损失。染料扩散只抹平染料。收支误差小，并不说明染料质量守恒。
  3. 03

    检验分辨率

    在相同的模拟时间，比较每边 32、64、128 格时的“扰动剪切层”。再降低保留带宽，去混叠始终开着。

    你会看到： 细结构和染料损失都随分辨率变化。近截断谱尾和壳谱显示截断去掉了哪些尺度。动画按真实时间播得更快，不代表物理时间步更小。
  4. 04

    检查精确解

    选择“精确衰减检验”，向前推进并改变黏性，比较 Taylor–Green 相对误差和两个守恒量的比值。

    你会看到： 误差直接由求解器演化出的 Fourier 系数算出。黏性为零时，涡量图案静止不动，染料和示踪点却还在运动。
  5. 05

    科学依据与灵感

    数值依据：Trefethen，Spectral Methods in MATLAB（SIAM，2000），people.maths.ox.ac.uk/trefethen/spectral.html；Bardos 与 Tadmor，Stability and spectral convergence of Fourier method for nonlinear problems（2013），arXiv:1308.5314。Taylor–Green 对照：IncompressibleNavierStokes.jl 的 TaylorGreenVortex2D 验证示例。

    你会看到： 灵感来自 bugman123.com/FluidMotion/ 上的 Euler 方程、涡旋与迹线。代码和图形都是原创。自动测试覆盖 FFT 归一化、非线性项的守恒平衡、精确黏性衰减、周期染料输运，以及网格和时间步的加密。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。

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