E06 · 电子显微 / 样品物理

电子散射与平均自由程

样品要多薄，才能避免多次散射？ 要比非弹性平均自由程薄得多。这个长度是电子平均走多远才损失一次能量；样品比它薄，多数透射电子最多只损失一次能量。全部透射电子数除以零损失电子数，再取对数，就能估出厚度；能量范围没取全或计数太少，结果都会偏。

模拟一次电子穿过薄片的散射记录。比较全部电子和零损失电子的角分布，读出存下的能损谱，再看收集角和截短的能量窗怎样改变表观厚度比。

记录的窗内电子数 $0$

记录零损失占入射监视计数比例 $0\,\mathrm{\%}$

计数所得表观对数比 $0$

计数标准误近似 $0$

更多测量与实验目标

模拟入射监视器计数 $0$

记录的零损失电子数 $0$

计数充足度 · 不含谱窗偏差 $\text{—}$

独立的假定非弹性厚度比 $0$

预测谱窗覆盖率 $0\,\mathrm{\%}$

假定弹性平均自由程 $0\,\mathrm{nm}$

假定非弹性平均自由程 $0\,\mathrm{nm}$

预测零损失比例 · 无光阑 $0\,\mathrm{\%}$

预测无散射事件比例 $0\,\mathrm{\%}$

记录多次能损比例 · 窗内 $0\,\mathrm{\%}$

投影均方根偏角 · 直射与漫散射 $0\,\mathrm{mrad}$

预测收集到的零损失比例 $0\,\mathrm{\%}$

预测平均能损 · 完整谱 $0\,\mathrm{eV}$

实验任务 $\text{—}$

预设为模拟示例；各图标题注明数据来源。

束能

E_0

100\,\mathrm{keV}

样品厚度

t

80\,\mathrm{nm}

收集半角

\beta

20\,\mathrm{mrad}

入射电子期望数

N_{\mathrm{in}}

20000

进阶设置

对齐晶体近似降低示意弹性散射率。原子序数

Z

14

质量密度

\rho

2.33\,\mathrm{g\,cm^{-3}}

记录能损上限

E_{\max}

240\,\mathrm{eV}

仅对数图像显示增益

G

1

学习目标与模型边界

仪器设置

电子散射与平均自由程

目标：窗内至少记录 200 个计数，零损失至少 100 个。厚度不小于 20 nm，记录到的零损失收集比例不低于 60%，记录到的多次能损比例低于 10%，预测谱窗覆盖率不低于 99%。

模型假设

这个教学模型把角度散射和能损事件当作彼此独立，能损次数服从 Poisson 分布，平均自由程取示意值，每次损失固定 16 eV。探测器是同时记录角度和能损的理想计数器，不模拟分析器场和真实的角度能损耦合，也没有材料标定。有序开关只改变一个假定的散射率。有限谱窗得到的只是表观比值；计数误差不包括谱窗截断带来的偏差。

先抓重点

核心问题: 同一样品，缩短能量窗后为什么可能得到不同的对数比？
一句话直觉: 零损失不等于没散射。收集角之所以能从理想完整谱的比值里消掉，只是因为本模型假定角度和能损互相独立。

核心数学模型

独立的非弹性事件

P_n=\frac{\mu^n e^{-\mu}}{n!},\quad\mu=\frac{t}{\ell_i}

每次事件固定损失 16 eV。自由程和有序散射率开关都只是示意，不用材料截面，也不含动力学衍射。

由计数算出的表观比值

\widehat{\mu}_{\mathrm{app}}=\ln\!\left(\frac{I_W}{I_0}\right)

分子是窗内记录计数之和，分母是其中的零损失部分。估计不读取样品输入，也不用理想谱。没有记录到零损失计数时，比值显示为暂无数据，不补伪计数。

谱窗截短带来的偏差

\mu_{\mathrm{app}}\longrightarrow\mu+\ln C_W,\quad C_W=\sum_{n=0}^{m}P_n

计数很多时，表观比值趋向这个极限；只要谱窗漏掉一部分能损，它就小于假定的非弹性厚度比。加长曝光能降低计数噪声，却消除不了这个偏差。

计数误差的近似

\widehat{\sigma}_{\mu}=\sqrt{\frac{1}{I_0}-\frac{1}{I_W}}

零损失计数本身就是窗内计数的一部分，两者相关。这个 delta 方法标准误只在零损失计数至少 20、且有能损计数时显示。它不保证置信度，也不涵盖谱窗截断、模型和材料标定带来的误差。

常见难点

光阑不是能量过滤器

容易误解中心角斑中的电子一定都是零损失。

正确理解本模型里，电子可以损失能量而不发生弹性偏转，于是仍落在中心斑内。同一个角像素里，可能同时有零损失计数和非弹性计数。

模拟探测器省略了什么

容易误解场景里是真实的角度能量联合探测器，或经标定的 EELS 分析器。

正确理解探测器是理想化的：准确标出每个电子的角度，并数出它损失了几次能量。不模拟分析器色散、有限能量分辨率、真实的角度能损耦合、探测效率、饱和、相干衍射和材料标定。图中的轨迹画在一个等效的中心散射面上，偏角经过放大。

动手实验

01
预测并采集
载入“薄样品”和“多次散射”预设，比较已存能损谱、零损失计数和单独给出的假定厚度比。
你会看到： 两张角分布图和能损谱来自同一批记录电子；零损失图只是其中一部分，不是另外生成的。
02
改设置，不动数据
先只改显示增益。再改“收集半角”或“样品厚度”，点“采集计数”让新设置生效。
你会看到： 重新采集之前，新设置不会改动已存记录、仪器图和读数。增益只改变角分布图的对数显示。
03
找出谱窗截短的偏差
载入“截短能损谱”预设，调高“记录能损上限”后重新采集，比较表观比值和覆盖率。
你会看到： 由计数算出的数看着合理，仍可能因为漏掉能损而偏低。样品极厚时可能一个零损失计数都没有，这时比值无法给出。
04
完成任务
用厚度合适的薄样品和几乎覆盖整个能损谱的谱窗，达到计数和收集目标。
你会看到： 这些阈值只是教学目标。计数够了，并不代表测出的材料厚度就可靠。