Duffing 非线性振子实验室

为什么同一驱动频率会产生不同响应？ 非线性弹簧在同一个驱动下，可以有不止一种稳定的响应。落到哪一种，取决于运动怎么开始；扫频时，还取决于是从低往高扫，还是从高往低扫。往返各扫一次，响应跳变的位置不同，中间留出一段两种响应都可能出现的频率区间。

同一个周期驱动力，可以让两次独立释放停留在不同振幅。拖动质量块，比较硬化与软化弹簧，再看双势阱中的运动怎样隔一个驱动周期才重复。

位移 $0$

速度 $0$

末八周期基频振幅 $0$

保留频闪点重复周期 $0$

物理时刻 $0$

机械能 $0$

有向输入功 $0$

黏性耗散 $0$

能量收支误差 $0$

步长减半位移差 · 最初四周期 $0$

积分步长 $0$

弹簧力 $0$

阻尼力 $0$

加性驱动力 $0$

记录边界 $0$

末八周期非谐波残差均方根 $0$

末八周期均值 $0$

中心单谐波近似 $0$

保留频闪点数 $0$

位移绝对值上限 $0$

驱动相同，运动不同

受力箭头每次实验中，各受力箭头共用固定比例。立方刚度

\alpha

160.00\,\mathrm{N\,m^{-3}}

驱动力振幅

F_0

0.60\,\mathrm{N}

驱动与参考频率比

\omega/\omega_0

1.30\,

线性刚度符号

\operatorname{sgn}k

1.00\,

舍弃初始频闪周期

N_d

88.00\,

扫频下界

r_{\min}

0.80\,

扫频上界

r_{\max}

1.80\,

阻尼比

\zeta

0.03\,

释放位移

x_0

0.00\,\mathrm{m}

释放速度

v_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

模拟周期数

N

120.00\,

最大步长

\Delta t_{\max}

10.00\,\mathrm{ms}

位移从弹簧力定律的原点向右为正，单位米；时间单位秒，角频率单位弧度每秒，力单位牛顿，质量单位千克，立方刚度单位牛顿每立方米。线性刚度大小固定为每米十六牛顿，正负可选；参考频率按其绝对值计算。完整立方弹簧力、黏性阻尼和余弦驱动力共同决定运动，不计算碰撞与弹簧丝变形。线性刚度为正、立方刚度为负时只有局部势阱；记录在鞍点或两米位移边界前停止。页面载入完整有限时间模拟；回放游标与末八周期谐波测量各有自己的时间含义。非谐波残差含高次谐波与瞬态，不代表测量不确定度。中心单谐波根只是近似，未判定稳定性。有琥珀色质量块时，它是同参数、同驱动相位的另一条完整数值解，从最大近似谐波振幅处以零速度释放；其持续振幅由这条数值解测量。舍弃所选初始周期后，在驱动的整数周期时刻取频闪点。用最后二十四点比较隔一至八周期的相空间状态，相对容差为万分之一，至少需要十六点；有限重复检验不证明吸引子或混沌。扫频每点运行四十八周期，舍弃前四十，测量末八周期，并在同驱动相位把末态传给下一点。有限时间的方向差异不直接构成精确分岔图。做功与黏性耗散独立积分。两条轨道使用同一固定长度比例，线圈、执行器、所选原长和质量块大小为示意；轨道平衡重力。合力与速度箭头分别使用固定比例，起点抬到质量块上方便于观察。拖动准备新的释放点并保留所选初速度，键盘滑块提供等效操作。

核心问题: 向上扫和向下扫结果不同，是因为真有稳定分支，还是因为记录时间有限？
一句话直觉: 把基频、均值和非谐波残差分开测，再在相同驱动相位下比较接续末态的扫频。

核心数学模型

弹簧力、阻尼力与无驱动时的势阱

F_s=-kx-\alpha x^3,\quad F_d=-c\dot x,\quad x_*=\pm\sqrt{-k/\alpha}\quad(k<0,\ \alpha>0)

这些是没有驱动时的势能极小点。驱动力可以让质量块在两阱间运动，独立的势能图显示阱的形状。

立方弹簧的运动方程

m\ddot x+c\dot x+kx+\alpha x^3=F_0\cos\omega t

线性刚度的正负和立方刚度一起决定弹簧是变硬、局部变软，还是形成双势阱。

势能与能量

U(x)=\tfrac12kx^2+\tfrac14\alpha x^4,\quad E=\tfrac12m\dot x^2+U(x)

模型用的是完整势能，不用极小点附近的二次近似代替。

单谐波振幅关系

A^2\left[\left(k-m\omega^2+\tfrac34\alpha A^2\right)^2+(c\omega)^2\right]=F_0^2

这个近似假设振动以零点为中心，忽略均值和高次谐波，也不判断哪个解稳定。

局部软化弹簧的鞍点

x_b=\sqrt{-k/\alpha}\quad(k>0,\ \alpha<0)

出了这个局部势阱，势能会无限下降，所以记录到鞍点就停止。

分别积分做功和耗散

\dot W=F_0\cos(\omega t)\dot x,\quad \dot Q=c\dot x^2,\quad E-E_0=W-Q

驱动做功可正可负，耗散非负，两者都随运动独立积分。

常见难点

近似方程的解不一定是吸引子

容易误解谐波平衡方程的每个解，都是能测到的稳定响应。

正确理解这个近似丢掉了高次谐波。数值模拟里每次释放只会落进某一个吸引域，而且还带着瞬态。

记忆效应取决于扫频设置

容易误解两个方向扫出来不一样，就证明有绝热分岔。

正确理解每个点只用 48 个周期，频率间隔和暂态衰减得够不够都会影响结果。

不规则点需要更强证据

容易误解分散的 Poincaré 点证明混沌。

正确理解有限的记录里可能还含有瞬态，光靠采样点无法确定长期指数为正。

动手实验

01
检查线性极限
选择“线性共振”，把已载入的谐波振幅与线性公式比较，再展开“势能、做功与耗散”查看能量交换。
你会看到： 立方项为零时，响应最终落到独立已知的线性解上。
02
测量扫频方向的影响
选择“两种持续振幅”，比较两条独立轨道，再查看自动计算的上下双向扫频。
你会看到： 每次实验都从上一次的末态、在相同的驱动相位接着开始，历史就这样传下去。
03
比较开口势阱和封闭势阱
比较“软化弹簧”和“留在单阱”，再拖动质量块改变释放位置。
你会看到： 软化弹簧有一道边界，小车越过就会逃走；四次双势阱则把它一直困在里面。
04
记录有限截面
选择“隔周期重复”，看保留频闪点分成两组，再与“穿越双阱”及其残差比较。
你会看到： 均值、基频和保留下来的固定相位点，各自描述信号的不同部分。