M069 · 振动设计

Duffing 非线性振子实验室

为什么同一驱动频率会产生不同响应？ 非线性弹簧在同一个驱动下，可以有不止一种稳定的响应。落到哪一种，取决于运动怎么开始；扫频时，还取决于是从低往高扫，还是从高往低扫。往返各扫一次，响应跳变的位置不同，中间留出一段两种响应都可能出现的频率区间。

三维场景里，小车连着带立方项的弹簧、阻尼器和力执行器，可以设成硬化弹簧、局部软化弹簧或双势阱。拖动小车决定从哪里释放，记录相图和固定驱动相位的采样点，把测得的基频振幅和单谐波近似对比。再做上下双向扫频，每次都从上一次的末态接着开始。

沿运动坐标的有向弹簧力 $0\,N$

沿运动坐标的加速度 $0\,\mathrm{m/s^2}$

执行器瞬时功率 $0\,W$

瞬时耗散功率 $0\,W$

已采集时间 $0\,\mathrm{s}$

主质量位移 $0\,\mathrm{m}$

主质量速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

机械能 $0\,\mathrm{J}$

积分有向执行器做功 $0\,\mathrm{J}$

独立黏性耗散 $0\,\mathrm{J}$

独立能量收支误差 $0\,\mathrm{J}$

步长减半位移差 · 最初四个周期 $0\,\mathrm{m}$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

模型范围与记录状态 $\text{Ready}$

保留八周期的基频振幅 $0$

非谐波残差均方根 $0$

采集平均位移 $0$

近似中心谐波振幅 $0$

已采集保留频闪点数 $0$

连续扫频记录数 $0$

连续扫频状态 $0$

位移绝对值范围上限 $0$

设定振动，记录它的响应

为什么同一驱动频率会产生不同响应？

物理受力矢量弹簧力、驱动力、阻尼力、重力和轨道反力，每一时刻都按同一个比例画出。速度矢量蓝色箭头，比例与力分开。正方向是向右或向下。近期已采集轨迹只显示最近两个参考周期，不画未来的运动。运动质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

线性刚度符号

\operatorname{sgn}k

1.00\,

立方刚度

\alpha

160.00\,\mathrm{N\,m^{-3}}

参考阻尼比

\zeta

0.03\,

驱动力振幅

F_0

0.60\,\mathrm{N}

驱动与参考频率比

\omega/\omega_0

1.30\,

释放位移

x_0

0.00\,\mathrm{m}

初速度

v_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

记录驱动周期数

N

80.00\,

舍弃初始频闪周期

N_d

48.00\,

扫频下界

r_{min}

0.80\,

扫频上界

r_{max}

1.80\,

最大积分步长

\Delta t_{\max}

10.00\,\mathrm{ms}

检查已采集记录

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

可以旋转装置，或选一个相机视角。在坐标视图里拖动质量块，或用键盘滑块调节。切换到能量回看时，采集游标不动。先采集完整记录，再比较最后几个周期的测量。改变实验后，与之不匹配的扫描会被取消。

线性刚度的大小固定为每米十六牛顿，正负可选；参考频率按它的大小计算。立方项是唯一的非线性。线性刚度为正、立方刚度为负时，弹簧只形成一个局部势阱，外侧没有边界；小车到达鞍点或两米的显示范围时就停止记录，不会把位置截在边界上。八周期测量先去掉均值，残差里包含高次谐波和瞬态，不代表不确定度。只凭保留下来的频闪点，不能证明混沌。扫频时每个频率积分 48 个周期，舍弃前 40 个，再把末态交给下一次实验，每次都跑整数个周期。有限次扫频看到的方向差异，不能找全所有吸引子，也不能证明发生了绝热分岔。单谐波解只是近似，没有判定稳定性。装置长度按每次实验缩放；线圈形状、质量块大小和执行器行程都是示意。弹簧丝、执行器自身的响应和碰撞都不计算。固定的地球重力在竖直方向与轨道反力抵消。绿色轮廓标出模型范围内无驱动时的稳定平衡位置。力箭头和速度箭头用不同比例。能量回看使用已记录的运动，做功和耗散分别独立积分。

先抓重点

核心问题: 向上扫和向下扫结果不同，是因为真有稳定分支，还是因为记录时间有限？
一句话直觉: 把基频、均值和非谐波残差分开测，再在相同驱动相位下比较接续末态的扫频。

核心数学模型

弹簧力、阻尼力与无驱动时的势阱

F_s=-kx-\alpha x^3,\quad F_d=-c\dot x,\quad x_*=\pm\sqrt{-k/\alpha}\quad(k<0,\ \alpha>0)

绿色轮廓标出记录范围内、没有驱动时的势能极小点。驱动力可以把质量块带离这些位置。

立方弹簧的运动方程

m\ddot x+c\dot x+kx+\alpha x^3=F_0\cos\omega t

线性刚度的正负和立方刚度一起决定弹簧是变硬、局部变软，还是形成双势阱。

势能与能量

U(x)=\tfrac12kx^2+\tfrac14\alpha x^4,\quad E=\tfrac12m\dot x^2+U(x)

模型用的是完整势能，不用极小点附近的二次近似代替。

单谐波振幅关系

A^2\left[\left(k-m\omega^2+\tfrac34\alpha A^2\right)^2+(c\omega)^2\right]=F_0^2

这个近似假设振动以零点为中心，忽略均值和高次谐波，也不判断哪个解稳定。

局部软化弹簧的鞍点

x_b=\sqrt{-k/\alpha}\quad(k>0,\ \alpha<0)

出了这个局部势阱，势能会无限下降，所以记录到鞍点就停止。

分别积分做功和耗散

\dot W=F_0\cos(\omega t)\dot x,\quad \dot Q=c\dot x^2,\quad E-E_0=W-Q

驱动做功可正可负，耗散总为正，两者都随运动独立积分。

常见难点

近似方程的解不一定是吸引子

容易误解谐波平衡方程的每个解，都是能测到的稳定响应。

正确理解这个近似丢掉了高次谐波。数值模拟里每次释放只会落进某一个吸引域，而且还带着瞬态。

记忆效应取决于扫频设置

容易误解两个方向扫出来不一样，就证明有绝热分岔。

正确理解每个点只用 48 个周期，频率间隔和暂态衰减得够不够都会影响结果。

不规则点需要更强证据

容易误解分散的 Poincaré 点证明混沌。

正确理解有限的记录里可能还含有瞬态，光靠采样点无法确定长期指数为正。

动手实验

01
检查线性极限
观察三维受力矢量，对“线性基准”采集完整记录，比较谐波振幅；再到能量视图看执行器做功和耗散。
你会看到： 立方项为零时，响应最终落到独立已知的线性解上。
02
测量扫频方向的影响
选择“硬化弹簧”，运行完整的上下双向扫频。
你会看到： 每次实验都从上一次的末态、在相同的驱动相位接着开始，历史就这样传下去。
03
比较开口势阱和封闭势阱
比较“局部软化”和“双势阱释放”。
你会看到： 软化弹簧有一道边界，小车越过就会逃走；四次双势阱则把它一直困在里面。
04
记录有限截面
选择“不规则双势阱记录”，采集完整记录并检查残差。
你会看到： 均值、基频和保留下来的固定相位点，各自描述信号的不同部分。