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Sandbox Physics

M069 · 振动设计

Duffing 非线性振子实验室

立方弹簧与力执行器构成硬化、局部软化和双势阱实验。拖动小车选择释放位置，采集相图与固定相位点，将实测基频振幅与单谐波近似比较，并执行携带末态的双向扫频。

交互模型Duffing 非线性振子实验室
已采集时间0 s0\,\mathrm{s}
主质量位移0 m0\,\mathrm{m}
主质量速度0 m s−10\,\mathrm{m\,s^{-1}}
机械能0 J0\,\mathrm{J}
积分有向执行器做功0 J0\,\mathrm{J}
独立黏性耗散0 J0\,\mathrm{J}
独立能量收支误差0 J0\,\mathrm{J}
步长减半位移差 · 最初四个周期0 m0\,\mathrm{m}
实际积分步长0 ms0\,\mathrm{ms}
模型范围与记录状态Ready\text{Ready}
保留八周期的基频振幅00
非谐波残差均方根00
采集平均位移00
近似中心谐波振幅00
已采集保留频闪点数00
连续扫频记录数00
连续扫频状态00
位移绝对值范围上限00

物理教程

响应取决于扫频方向的弹簧

背景立方刚度使频率依赖振幅，耗散驱动在不同历史下可产生不同有限响应。

为什么值得理解马里兰大学非线性振子教程讨论 Duffing 相图与驱动。本工作台加入明确的投影、局部逃逸和有限时间末态连续扫频。

先抓重点

核心问题
扫频方向差异来自稳定分支，还是有限采集效应？
一句话直觉
分别测量基频、均值和非谐波残差，在相同驱动相位下比较携带末态的扫频。

核心数学模型

立方弹簧动力学

mx¨+cx˙+kx+αx3=F0cos⁡ωtm\ddot x+c\dot x+kx+\alpha x^3=F_0\cos\omega t

线性符号与立方刚度区分硬化、局部软化与双势阱。

势能与能量

U(x)=12kx2+14αx4,E=12mx˙2+U(x)U(x)=\tfrac12kx^2+\tfrac14\alpha x^4,\quad E=\tfrac12m\dot x^2+U(x)

势能不以局部二次近似替代。

单谐波振幅关系

A2[(k−mω2+34αA2)2+(cω)2]=F02A^2\left[\left(k-m\omega^2+\tfrac34\alpha A^2\right)^2+(c\omega)^2\right]=F_0^2

中心近似忽略均值与高次谐波，不指定根的稳定性。

局部软化鞍点

xb=−k/α(k>0, α<0)x_b=\sqrt{-k/\alpha}\quad(k>0,\ \alpha<0)

多项式势能在局部势阱外无界，记录在鞍点停止。

独立功率账本

W˙=F0cos⁡(ωt)x˙,Q˙=cx˙2,E−E0=W−Q\dot W=F_0\cos(\omega t)\dot x,\quad \dot Q=c\dot x^2,\quad E-E_0=W-Q

有向驱动做功与正耗散随运动独立积分。

常见难点

根不是吸引子认证

容易误解每个谐波平衡根都是稳定实测响应。

正确理解近似舍去高次谐波，数值释放会选择吸引域并保留瞬态。

历史具有有限协议

容易误解方向差异证明绝热分岔。

正确理解每点仅使用 48 个周期，频率间距和暂态衰减都会影响结果。

不规则点需要更强证据

容易误解分散的 Poincaré 点证明混沌。

正确理解有限瞬态记录与采样本身不确立正的渐近指数。

动手实验

  1. 01

    检查线性极限

    采集线性基准并比较谐波振幅。

    应该观察到： 非线性模型退化为独立已知的线性响应。
  2. 02

    测量方向依赖

    选择硬化并运行完整上下扫频。

    应该观察到： 末态在匹配的驱动力相位下把历史传给下一次实验。
  3. 03

    检查势能边界

    比较局部软化与双势阱释放。

    应该观察到： 逃逸边界与约束性的四次势阱不同。
  4. 04

    采集有限截面

    使用不规则场景，采集完整记录并检查残差。

    应该观察到： 均值、基频和保留的固定相位点描述信号的不同部分。