M086 · 非线性动力学 / 频闪采样证据

受驱摆与 Poincaré 截面

用正弦支点力矩驱动刚性摆。拖动初始摆球，调整驱动和阻尼，采集同步时间序列、相图与固定相位的 Poincaré 截面。比较周期一、周期二与敏感运动记录，也可以通过独立释放扫描驱动强度。

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

主值转角 $0\,\mathrm{rad}$

未折回转角 $0\,\mathrm{rad}$

角速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

相对运动动能 $0\,J$

重力势能 $0\,J$

机械能 $0\,J$

黏性耗散 $0\,J$

振荡力矩做功 $0\,J$

记录时刻的能量收支偏差 $0\,J$

步长减半的状态差 $0$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

驱动周期 $0\,s$

已采集的驱动周期 $0$

已采集且保留的截面点数 $0$

有限记录的截面重复性 $\text{Collecting}$

有限时间切向增长率 $0\,\mathrm{s^{-1}}$

已采集的切向增长时间窗 $0\,s$

步长减半比较时间窗 $0\,s$

施加的支点力矩 $0\,\mathrm{N\,m}$

驱动强度扫描进度 $0\,\%$

扫描最大功与能量偏差 $0\,J$

释放 / 采集 / 核验

在同一驱动相位，记录是否重复？

摆球质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

杆长

L

1.00\,\mathrm{m}

重力加速度

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

无量纲力矩强度

\Gamma

0.90\,

驱动与固有角频率之比

\omega_d/\omega_0

0.67\,

黏性阻尼比

\zeta

0.25\,

释放时的驱动相位

\phi

0.00\,{}^\circ

释放角

\theta_0

0.00\,{}^\circ

初始角速度

\dot\theta_0

0.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

总驱动周期数

N

96.00\,

舍弃初始驱动周期数

N_{\mathrm{discard}}

32.00\,

驱动扫描下界

\Gamma_{\min}

1.00\,

驱动扫描上界

\Gamma_{\max}

1.12\,

最大数值步长

h_{\max}

10.00\,\mathrm{ms}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

紫色空心圆设置释放角，琥珀色标出支点驱动器。回放只显示舍弃暂态后已经采集的截面点。扫描采用 121 次独立释放，每个强度舍弃 64 个周期并保留 24 个周期，其余条件使用当前控制值。默认窄区间放大倍周期区域，也可以编辑上下界探索更宽范围。有限初态与观察窗可能遗漏共存吸引子，应比较更长记录与更细步长。

无质量刚性杆与质点摆球，给定正弦力矩和黏性支点阻尼。积分保留完整转角，仅在相图与截面中折回角度。截面舍弃所选初始驱动周期。重复判定和重归一化切向增长率属于有限记录诊断，并非渐近吸引子的证明。步长减半只比较最初四个驱动周期，长期混沌轨迹可能失去相关性。

先抓重点

核心问题: 什么证据能够区分重复响应与敏感动力学？
一句话直觉: 同时检查固定相位重复性和重归一化切向增长，并核对能量收支及短时间数值细化。

核心数学模型

受驱非线性方程

\ddot\theta+2\zeta\omega_0\dot\theta+\omega_0^2\sin\theta=\Gamma\omega_0^2\cos(\omega_dt+\phi)

力矩强度相对转动惯量与固有角频率平方归一化。

固定相位截面

t_n=nT_d,\quad T_d=2\pi/\omega_d,\quad (\theta_n\bmod 2\pi,\dot\theta_n)

只显示所选暂态之后已经采集的点；折回角度不会重置动力学。

独立做功与耗散

W=\int\tau_d\dot\theta\,\mathrm{d}t,\quad Q=\int2\zeta I\omega_0\dot\theta^2\,\mathrm{d}t,\quad E-E_0=W-Q

功率积分与运动一起计算，不从能量差反推做功或耗散。

固定驱动相位的变分流

\delta\ddot\theta+2\zeta\omega_0\delta\dot\theta+\omega_0^2\cos\theta(t)\,\delta\theta=0

扰动状态时保持驱动相位不变，切向量反复重归一化，避免邻近轨迹距离饱和。

有限时间切向增长

\lambda_T=\frac1T\sum_j\log\frac{\|\delta z_j^-\|}{\|\delta z_j^+\|},\quad z=(\theta,\dot\theta/\omega_0)

时间窗不含舍弃周期；一个选定切向量和有限记录不能证明渐近指数。

常见难点

散点截面是证据

容易误解很多截面点就证明混沌。

正确理解长暂态与准周期运动也会产生许多点；应比较切向增长和更长保留时间窗。

采样相位应固定

容易误解任何等间隔视频帧都构成 Poincaré 截面。

正确理解这里的点与完整驱动周期及同一驱动相位同步。

有限扫描依赖方案

容易误解一次强度扫描列出了所有吸引子。

正确理解每列从当前初态独立释放，弛豫时间有限；其他吸引域可能共存。

动手实验

01
采集重复运动
采集周期一完整记录，检查截面点数。
应该观察到： 许多已采集返回点近乎重合，有限重复判定报告一个周期。
02
使返回模式倍增
选择周期二场景，并保留足够周期。
应该观察到： 返回在两个相近点簇之间交替。
03
寻找敏感运动
选择敏感场景，再比较更细步长和更长记录。
应该观察到： 截面展开，有限时间切向增长可为正，同时短时间细化差保持很小。
04
采用明确方案扫描
扫描驱动强度，检查进度，再返回截面。
应该观察到： 每个强度舍弃 64 个周期，保留 24 次返回；改变物理控制条件会使旧扫描失效。