M086 · 非线性动力学 / 频闪采样

受驱摆与 Poincaré 截面

每个驱动周期看一次受驱摆，它会回到同一个状态吗？ 周期运动会。周期一运动每次都回到同一个状态，周期二运动在两个状态之间轮换。要是每次看到的状态散成一片，起始状态上一点点差别又越拉越大，说明至少在观察的这段时间里，运动对初值很敏感。

在支点上加正弦力矩，驱动一根刚性摆。拖动摆球设定释放位置，调好驱动和阻尼，同时记录时间曲线、相图和 Poincaré 截面；截面每个驱动周期在同一相位取一个点。比较每周期重复、每两周期重复和对初值敏感的运动，也可以扫描驱动强度，每个强度都独立释放一次。

记录时间 $0\,\mathrm{s}$

主值转角 $0\,\mathrm{rad}$

未折回转角 $0\,\mathrm{rad}$

角速度 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

相对运动动能 $0\,J$

重力势能 $0\,J$

机械能 $0\,J$

黏性耗散 $0\,J$

振荡力矩做功 $0\,J$

记录时刻的能量平衡偏差 $0\,J$

步长减半的状态差 $0$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

驱动周期 $0\,s$

已采集的驱动周期 $0$

已采集且保留的截面点数 $0$

有限记录的截面重复性 $\text{Collecting}$

有限时间切向增长率 $0\,\mathrm{s^{-1}}$

已采集的切向增长时间窗 $0\,s$

步长减半比较时间窗 $0\,s$

施加的支点力矩 $0\,\mathrm{N\,m}$

驱动强度扫描进度 $0\,\%$

扫描最大功与能量偏差 $0\,J$

设好释放条件，再记录运动

每个驱动周期看一次受驱摆，它会回到同一个状态吗？

摆球质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

杆长

L

1.00\,\mathrm{m}

重力加速度

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

无量纲力矩强度

\Gamma

0.90\,

驱动与固有角频率之比

\omega_d/\omega_0

0.67\,

黏性阻尼比

\zeta

0.25\,

释放时的驱动相位

\phi

0.00\,{}^\circ

释放角

\theta_0

0.00\,{}^\circ

初始角速度

\dot\theta_0

0.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

总驱动周期数

N

96.00\,

舍弃初始驱动周期数

N_{\mathrm{discard}}

32.00\,

驱动扫描下界

\Gamma_{\min}

1.00\,

驱动扫描上界

\Gamma_{\max}

1.12\,

最大数值步长

h_{\max}

10.00\,\mathrm{ms}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

紫色空心圆用来设定释放角，琥珀色标出支点上的驱动器。回放只显示舍弃暂态之后记录到的截面点。一次扫描包含 121 次独立释放：每个强度先舍弃 64 个周期，再保留 24 个周期，其余参数都取当前值。默认的窄区间放大了倍周期区域，也可以改上下界看更宽的范围。初态有限、观察时间有限，扫描可能漏掉共存的吸引子，所以要比较更长的记录和更细的步长。

摆由质点摆球和无质量刚性杆组成，受给定的正弦力矩驱动，支点有黏性阻尼。积分时转角不折回，只在相图和截面里折回到一圈之内。截面不含开头舍弃的驱动周期，舍弃多少由你选。重复判定和重归一化切向增长率只反映这段有限记录，不能证明长期吸引子是什么。步长减半比较只做最初四个驱动周期，因为时间一长，两条混沌轨迹本来就可能毫不相关。

先抓重点

核心问题: 凭什么证据，能分清运动是在重复，还是对初值敏感？
一句话直觉: 看两件事：固定相位的采样点是否重复，微小扰动是否增长。再确认做功和耗散对得上能量变化，步长减半后短时间内结果不变。

核心数学模型

受驱摆的运动方程

\ddot\theta+2\zeta\omega_0\dot\theta+\omega_0^2\sin\theta=\Gamma\omega_0^2\cos(\omega_dt+\phi)

驱动强度等于力矩除以转动惯量，再除以固有角频率的平方。

在固定驱动相位取样

t_n=nT_d,\quad T_d=2\pi/\omega_d,\quad (\theta_n\bmod 2\pi,\dot\theta_n)

只显示舍弃周期之后记录到的点。把角度折回一圈之内只影响作图，不影响运动本身。

分别计算做功和耗散

W=\int\tau_d\dot\theta\,\mathrm{d}t,\quad Q=\int2\zeta I\omega_0\dot\theta^2\,\mathrm{d}t,\quad E-E_0=W-Q

驱动功率和阻尼功率随运动一起积分，不是从能量差反推出来的。

微小扰动怎样演化

\delta\ddot\theta+2\zeta\omega_0\delta\dot\theta+\omega_0^2\cos\theta(t)\,\delta\theta=0

扰动只改变转角和角速度，不改变驱动相位。扰动被一次次缩放回原来的大小，所以不会像两条邻近轨迹的距离那样涨到饱和。

有限时间内的增长率

\lambda_T=\frac1T\sum_j\log\frac{\|\delta z_j^-\|}{\|\delta z_j^+\|},\quad z=(\theta,\dot\theta/\omega_0)

计时不包括舍弃的周期。只追踪一个扰动方向、只看有限记录，证明不了长期的指数。

常见难点

截面散开是证据，不是证明

容易误解截面上点很多，就说明是混沌。

正确理解暂态很长或运动准周期时，点也会很多。要对比切向增长率，并保留更长的一段周期。

采样相位应固定

容易误解任何等间隔视频帧都构成 Poincaré 截面。

正确理解这里每个驱动周期恰好取一个点，而且总在驱动的同一相位。

扫描结果取决于怎么扫

容易误解扫一遍驱动强度，就能看到所有吸引子。

正确理解每一列都从当前初态重新释放，留给它稳定下来的时间有限。同一强度下，可能还有别的吸引子和各自的吸引域。

动手实验

01
记录重复运动
选择“周期一记录”，采集完整截面，看截面点数。
你会看到： 许多返回点几乎重合，这段记录的重复判定给出一个驱动周期。
02
周期加倍
选择“周期二记录”，保留足够多的周期。
你会看到： 返回点在两个相近的点簇之间来回交替。
03
寻找敏感运动
选择“敏感运动”，再比较更细的步长和更长的记录。
你会看到： 截面点散开，切向增长率可以为正；短时间内的步长减半差别仍然很小。
04
扫描驱动强度
点“扫描驱动强度”，留意进度，再点“返回截面视图”。
你会看到： 每个强度先舍弃 64 个周期，再保留 24 次返回。改动任何物理参数，旧的扫描就作废。