M045 · 势垒 / 临界减速

双势阱、势垒与分界轨道

调节势垒、阱间尺度、不对称性与阻尼。比较单阱振动和跨阱运动，从两侧接近分界轨道，并通过耗散捕获高能粒子。测量穿越与周期，用独立能量积分核验。

采集时间 $0\,s$

位置 $0\,m$

速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

保守力 $0\,N$

势能 $0\,J$

动能 $0\,J$

机械能 $0\,J$

耗散能量 $0\,J$

当前能量收支偏差 $0\,J$

完整记录最大收支偏差 $0\,J$

半步位移差 · 前十秒 $0\,m$

实际积分步长 $0\,ms$

最近的释放侧势阱极小值 $0\,m$

局部无阻尼小振动角频率 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

初始能量的允许区数量 $1$

初始允许区左边界 $0\,m$

初始允许区右边界 $0\,m$

无阻尼积分参考周期 $0\,s$

最近采集的完整转折周期 $\text{Await turns}$

周期积分分辨率差 $0\,s$

测量周期减无阻尼周期 $0\,s$

采集状态 $\text{Complete}$

相对最近释放侧极小值的势垒 $0\,J$

鞍点位置 $0\,m$

当前能量高于鞍点的差值 $0\,J$

已采集数值鞍点穿越次数 $0$

首次采集数值穿越 $\text{Not acquired}$

初始能量分类 $\text{Above barrier}$

已采集耗散束缚证据 $\text{Unconfirmed}$

释放 / 采集 / 核验

多接近势垒时，运动的拓扑会改变？

质点质量

m

1.00\,kg

对称势垒尺度

B

1.00\,J

对称阱间半距

a

1.00\,m

相对势阱消失阈值的倾斜

f/f_{\mathrm{crit}}

0.00\,

黏性阻尼

c

0.00\,kg\,s^{-1}

释放位置

x_0

-1.00\,m

发射动能 / 势垒尺度

K_0/B

1.08\,

发射方向

\operatorname{sgn}v_0

1.00\,

观察窗口

t_{\mathrm{obs}}

40.00\,s

请求步长

h

5.00\,ms

已采集记录

t/t_{\mathrm{obs}}

0.00\,\%

临界预设没有有限的无阻尼周期。任意接近鞍点的数值运动会对能量误差敏感，先检查审计再判断穿越。精确鞍点释放在无扰动时保持静止。周期图始终使用最近释放侧极小值的无阻尼运动；阻尼会改变测量周期。只有采集能量低于鞍点且超过数值误差后，才报告束缚证据。

使用 SI 单位，模型为给定多项式势能中的理想质点。竖直曲线是能量图，不是实体轨道。灰色轮廓使用初始能量，青色显示已采集运动。回放从保存的检查点重新积分。半步比较最多覆盖前十秒，能量审计覆盖每个积分步。

先抓重点

核心问题: 只比势垒高一点，为什么穿越会慢那么多？
一句话直觉: 能量接近势垒时，粒子在鞍点附近停留越来越久。阻尼可移除足够能量，使原本跨阱的轨道断开。

核心数学模型

倾斜双势阱

U(x)=B\left[\left(\frac{x}{a}\right)^2-1\right]^2+fx

对称势垒尺度从任一极小值计量；倾斜后，释放侧实际势垒由真实驻点重新计算。

两个极小值的存在条件

|f|<f_{\mathrm{crit}}=\frac{8B}{3\sqrt3\,a},\qquad U\prime(x_*)=0

滑块保持在鞍结阈值以内；两个极小值和中间鞍点保持分离。

黏性能量账本

m\ddot x=-U\prime(x)-c\dot x,\qquad H(t)+Q(t)=H(0),\qquad Q(t)=\int_0^t c\dot x^2\,dt

指数黏性子步记录精确动能损失；保守积分误差仍显示在收支偏差中。

势垒与无阻尼周期

\Delta H=H-U(x_s),\qquad T(H)=\sqrt{2m}\int_{x_-}^{x_+}\frac{dx}{\sqrt{H-U(x)}}

临界轨道没有有限周期。图上保留断口，不连接势垒上下两支。

鞍点附近动力学

U(x)\simeq U(x_s)-\frac{m\lambda_s^2}{2}(x-x_s)^2,\qquad \lambda_s^2=-\frac{U\prime\prime(x_s)}{m}

鞍点附近的对数周期增长会放大微小能量误差。精确鞍点释放在无扰动时保持静止。

常见难点

穿越是数值观测

容易误解临界能量下记录到的每次穿越都是真实物理。

正确理解精确分界轨道不会在有限时间穿越鞍点；有限步长误差可改变拓扑，需比较能量与半步误差。

倾斜后尺度不等于实际势垒

容易误解对称势垒参数总等于释放侧实际势垒。

正确理解倾斜改变两个极小值和鞍点能量；读数使用它们的真实差值。

阻尼改变轨道

容易误解耗能后测量周期仍等于无阻尼参考周期。

正确理解耗散改变瞬时轨道；只有采集能量低于鞍点且超过数值不确定性，才能确认束缚。

动手实验

01
比较两种拓扑
采集单阱和跨阱预设，检查相空间与已采集鞍点事件。
应该观察到： 只有高于势垒的保守运动连通两个势阱。
02
接近边界
比较临界下方和上方预设，再选择临界能量。
应该观察到： 两侧周期均增长；临界参考无有限周期，数值敏感性显著增加。
03
通过耗散捕获
采集耗散捕获预设，检查热与机械能之和。
应该观察到： 能量账本闭合，轨道最终束缚在一侧。
04
倾斜而不消灭势阱
改变倾斜并拖动相空间初态，将真实鞍点能量与对称尺度比较。
应该观察到： 鞍点移动，两个释放侧势垒不同，但两个极小值都存在。