光学 075 · 偏振、各向异性与光学调制

双折射晶体 Lab

为什么双折射晶体会把一束光分成并排的两束？ 单轴晶体里，光分成两种偏振，各自感受到的折射率不同。非寻常光的能量传播方向和波的方向有夹角，会向旁边走偏，除非光正好沿着或垂直于光轴传播。两束光出射时平行但错开，晶体越厚，错得越开，像本身并不变大。

光穿过一块有限大小的晶体，落到屏幕上。由张量本征模可以得到平行的出射光、二者之间的走离和等尺度的双像；还可以与理想双轴晶体对照。

等尺度图像间距

\Delta r

$0.50$

快／慢通道相位折射率

n_1,n_2

$50\%$

总法向通量透射

P_{\rm out}/P_{\rm in}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

晶体实际厚度

t

25\,\mathrm{mm}

第三主轴相对光束的倾角

\theta

45^{\circ}

主轴框架从竖直方向量起的方位角

\phi

20^{\circ}

绕第三主轴自转（单轴不变）

\chi

0^{\circ}

零为方解石，一为理想双轴

j_M

0

真空波长（双轴折射率固定）

\lambda_0

532\,\mathrm{nm}

检偏轴从竖直转向图像右方

\alpha

0^{\circ}

检偏片：零移出，一插入

j_A

0

一份图案射入，两份同样大小的副本射出。转动晶体，只有非寻常光的副本在移动。插入检偏片抹掉其中一份，再让光沿光轴入射，两份副本就重合了。白线标出波法线，彩色光路沿能流方向。

光垂直入射，按几何光学输运，界面不反射，图案非偏振且准直。方解石色散采用厂商数据，双轴折射率是虚构的。图像不是实拍照片，也不模拟衍射和锥光图。

先抓重点

核心问题: 为什么双折射晶体会把一束光分成并排的两束？
一句话直觉: 同样的能流方向，既决定三维光路从哪里射出，也决定屏幕上的每一个像素： $\Delta\mathbf r_j=t\,\frac{\mathbf S_{j,\perp}}{S_{j,x}}$ 。输入图案上每个点都平移同样的距离，像没有额外的放大。晶体越厚，副本移得越远，但不会变大。

\begin{aligned}\boldsymbol\eta&=\boldsymbol\varepsilon_r^{-1}\\\mathbf P\boldsymbol\eta\mathbf P\,\mathbf D_j&=n_j^{-2}\mathbf D_j\\\mathbf P&=\mathbf I-\widehat{\mathbf k}\widehat{\mathbf k}^{\mathsf T}\\\mathbf E_j&=\boldsymbol\eta\mathbf D_j\\\mathbf H_j&\propto n_j\widehat{\mathbf k}\times\mathbf E_j\end{aligned}

晶体非磁性，介电张量是实对称正定的。电位移本征矢位于垂直于共同波矢的平面内。电场可以有沿波矢的分量，叉乘给出能流方向。场的单位任意，只用到方向。

\begin{aligned}\frac{1}{n_{\rm ex}^2(\theta)}&=\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}+\frac{\sin^2\theta}{n_e^2}\\n_{\rm ex}(0)&=n_o\\n_{\rm ex}(\pi/2)&=n_e\end{aligned}

角度从波法线量到光轴，不是从晶体表面量起。沿光轴传播时，两个相位折射率相等；偏离光轴后，非寻常光的能流方向可以和波法线不同。

\begin{aligned}I_{\rm out}(\mathbf r)&=\sum_{j=1}^{2}w_j I_{\rm in}(\mathbf r-\Delta\mathbf r_j)\\w_j&=\tfrac12\left|\mathbf a\cdot\widehat{\mathbf D}_j\right|^2\\w_1+w_2&=\tfrac12\end{aligned}

这里的权重对应插入理想检偏片的情况；移出检偏片时，每个权重是二分之一，总通量为一。垂直入射时，横向电场和电位移方向平行，无反射界面让出射光保持这两个轴向。屏幕图像、放大数据和光路出射点用的是同一组平移。

容易误解即使垂直入射，两束光折射率不同，出射后也应该越分越开。

正确理解界面两侧切向波矢必须连续，这就把晶体内两个波法线都定死了。两束光分开，是因为能流在晶体内部走离，不是因为在空气中有两个 Snell 角。两个端面平行，出射光也就重新平行。Wollaston 棱镜几何不同，和这台装置不是一回事。

01
场景 1：方解石双像
先选方解石，不放检偏片。比较输入和屏幕，两者尺度相同。转动方位角：一份副本不动，非寻常副本绕着它转。
你会看到： 光源图和屏幕图都是按几何正向算出的强度图，不是相机拍的照片。输入假定是准直图案，不是经过某个未指明的镜头成像的漫射物体。
02
场景 2：沿光轴入射
先只让青色通道通过，再只让金色通道通过。对应的光路和副本留了下来。输入是非偏振光，所以两种情况下总功率都减半。
你会看到： 两张图用同样的物理视场、线性归一化和 sRGB 显示映射。白色输入图案包含两个互不相干的偏振通道，单凭相位差，在这个实验里产生不了干涉。
03
场景 3：理想双轴对照
选择沿光轴入射，两份副本合二为一。在理想双轴对照中，两束能流都会走离。绕第三主轴转动坐标系，可以离开主平面；这种转动对单轴的方解石没有影响。第三主轴不是任何一条光轴。
你会看到： 椭圆是折射率椭球按真实比例取的截面，不是波矢曲面，也不是从探测数据重建的图。加粗的光线和轴标记只是视觉辅助。