弹道摆

能从摆升起的高度，算出子弹的速度吗？ 能，倒着推两步。摆起来的过程能量守恒，摆升高多少，就能算出刚撞完时它有多快。子弹嵌进去那一下会损失动能，但动量守恒，用它就能换算出子弹的速度。要是摆整圈翻了过去，升起的高度就说明不了速度了。

从摄影记录的摆升高度反推弹丸速度。分清碰撞时的动量收支和摆动时的能量收支，看看把嵌入过程误当成机械能守恒，会算错多少。

摄影反演入射速度 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

测得的转折高度 $0.0795\,\mathrm{m}$

参考碰后速度 $1.25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

碰撞损失的机械能 $15\,\mathrm{J}$

模型假设

弹丸沿理想水平导轨运动，在最低点瞬时嵌入。两根平行、无质量的刚性导杆让接收器保持水平，因此接收器只有平动动能。随后按无摩擦的非线性摆动求解，重力和理想约束都在作用。导杆可承受压力；整周旋转是忽略装置碰撞的理想数学延拓。外形和接收器质量分布为示意。入射飞行以八倍慢放展示，摆动时间不变。相机记录三秒，各帧高度加入独立高斯噪声。七帧局部二次拟合取自实际采样；峰值低于分辨能力、没有记录到转折点或整周旋转时，不反推速度。四阶积分另用能量关系和独立的半步长积分检验。

核心问题: 同一个高度，为什么能算出两种相差很大的速度？
一句话直觉: 倒着算：先用无摩擦摆动求出刚碰完的速度，再用最低点碰撞时的水平动量求入射速度。

核心数学模型

嵌入瞬间的动量

mu=(M+m)V,\qquad Q=\frac{mM}{2(M+m)}u^2

最低点处理想导杆的冲量竖直，因此瞬时碰撞保持水平动量。嵌入会损失机械能。

摆动中的机械能

\frac12(M+m)V^2=(M+m)gh,\qquad \ddot\theta=-\frac{g}{L}\sin\theta

第一个等式连接刚碰完与真正折返的时刻。完整正弦方程允许大角度运动，接收器始终保持水平。

正确反演与只套能量的错误

\widehat u=\frac{M+m}{m}\sqrt{2g\widehat h},\qquad u_{\mathrm{wrong}}=\sqrt{\frac{2(M+m)g\widehat h}{m}}

两种算法使用同一个拟合摄影高度。第二种错把入射动能全部分配给上升；默认质量下，它算出约每秒五米，实际是每秒二十米。

什么时候高度不够用

V\geq 2\sqrt{gL}\quad\Longrightarrow\quad \sup_{t\ge0}h(t)=2L

达到或越过分界轨道后，没有有限的首个转折点。不同旋转轨道都会经过同一个顶部；噪声太大或没有拍到的峰值，同样不用于反演。

常见难点

支点是外部支撑

容易误解摆动时水平动量也守恒。

正确理解离开最低点后，导杆作用力有水平分量。理想约束不做功，却能改变动量。

摄影峰值有误差

容易误解参考曲线就是测得的数据。

正确理解点是带噪声的模拟摄影采样，虚线来自理想轨迹。七帧局部拟合只用采样点，估计首个可分辨的峰值。

动手实验

01
比较两种答案
选“小摆幅，大损失”，跟随弹丸，看下方两种速度估计。
你会看到： 接触时大部分能量退出机械运动，只套能量守恒的答案明显偏小。
02
设计上升高度
暂停后向上拖接收器，再播放；然后试“两边质量相近”。
你会看到： 设计高度会改变入射速度。弹丸相对越重，碰后保留下来的动能比例越大。
03
找到测量边界
试“越过顶点”和“峰值淹没在噪声里”，展开设置改变摄影噪声或帧率，再重新拍摄。
你会看到： 峰值无法分辨或不可唯一反演时，不显示反演速度。重新拍摄会更换摄影数据，理想参考不变。