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Sandbox Physics

M034 · 碰撞 / 反演测量

弹道摆

弹丸在无质量刚杆的最低点嵌入摆球。碰撞阶段守恒水平动量但损失机械能；之后的非线性摆动守恒机械能，支点却持续施加外力。拟合首个可识别的摄影高度峰值，反演弹丸速度，再检验大角度摆动或整周旋转。

交互模型弹道摆
发射后时间0 s0\,\mathrm{s}
参考入射速度20 m s−120\,\mathrm{m\,s^{-1}}
参考碰后速度0 m s−10\,\mathrm{m\,s^{-1}}
摄影峰值反演的入射速度Collecting\text{Collecting}
首个可识别摄影高度峰值Collecting\text{Collecting}
能量预测的转折高度0 m0\,\mathrm{m}
当前上升高度0 m0\,\mathrm{m}
未折回的摆杆角度0∘0{}^{\circ}
当前机械能0 J0\,\mathrm{J}
嵌入造成的不可逆损失0 J0\,\mathrm{J}
碰撞瞬间水平动量偏差0 kg m s−10\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}
机械能与碰撞热收支偏差0 J0\,\mathrm{J}
步长减半终点相位位移0 m0\,\mathrm{m}
实际积分步长0 ms0\,\mathrm{ms}
局部峰值残差均方根Collecting\text{Collecting}

物理教程

两段过程，两种守恒定律

背景嵌入碰撞具有强烈非弹性。水平动量收支确定刚碰后的速度，之后的摆动把这部分动能转化为重力势能。

为什么值得理解OpenStax《University Physics》第一卷第 9.4 节讨论非弹性碰撞，第 15.4 节提供摆的动力学。本装置把两者组合，不采用小角度近似，并从摄影数据测量高度峰值。

先抓重点

核心问题
碰撞瞬间与刚杆摆动时，分别适用哪一种守恒定律？
一句话直觉
摆动阶段支点提供外力。最低点瞬时碰撞使用水平动量，随后无摩擦摆动使用机械能。

核心数学模型

瞬时嵌入

mu=(m+M)V,Qimpact=12mMm+Mu2mu=(m+M)V,\qquad Q_{\mathrm{impact}}=\frac12\frac{mM}{m+M}u^2

嵌入阶段损失机械能。水平动量关系适用于最低点接触瞬间。

非线性刚杆动力学

θ¨=−gLsin⁡θ,E=12(m+M)L2θ˙2+(m+M)gL(1−cos⁡θ)\ddot\theta=-\frac gL\sin\theta,\qquad E=\frac12(m+M)L^2\dot\theta^2+(m+M)gL(1-\cos\theta)

精确正弦力允许大角度摆动，刚杆在旋转中保持约束。

反演可识别转折高度

u^=m+Mm2g h^,θ˙(tpeak)=0\widehat u=\frac{m+M}{m}\sqrt{2g\,\widehat h},\qquad\dot\theta(t_{\mathrm{peak}})=0

高度取自七帧局部二次峰值，不取自能量预测。有限采样与噪声可能造成偏差。

旋转使高度不足

V≥2gL⟹hmax⁡=2L does not uniquely identify uV\ge2\sqrt{gL}\quad\Longrightarrow\quad h_{\max}=2L\ \text{does not uniquely identify }u

达到分离轨道或超过阈值后，没有能够识别速度的有限首个转折点；仪器拒绝反演。

常见难点

碰撞时不能守恒机械能

容易误解全部入射动能都变为重力高度。

正确理解嵌入先耗散能量，只有碰后剩余动能用于摆动。

摆动时动量会改变

容易误解摆球在整个摆动中保持水平动量。

正确理解支点与重力提供外力，碰撞时的动量收支不能延伸到整个摆动。

最高点不总是转折点

容易误解任何最高点都能给出唯一入射速度。

正确理解旋转摆球带非零速度穿过顶部，仅靠高度不够。

动手实验

  1. 01

    测量首摆

    记录实验室入射，把反演速度与入射参考比较。

    应该观察到： 局部摄影拟合受噪声与采样影响，可能略偏离参考。
  2. 02

    检查两段收支

    重播经过碰撞，再拖动进度观察摆动。

    应该观察到： 碰撞热在接触时跃变，摆动中动能与势能交换。
  3. 03

    离开小角度极限

    选择大角度摆动并缩短摆杆。

    应该观察到： 正弦动力学仍守恒摆动能量，直到进入旋转边界。
  4. 04

    检验可识别性与积分

    尝试旋转、低于噪声的高度、低帧率与更小最大步长。

    应该观察到： 仪器如实报告失败；能量偏差与步长减半检验数值轨迹。