M034 · 碰撞 / 反演测量

弹道摆

能从摆升起的高度，算出子弹的速度吗？ 能，倒着推两步。摆起来的过程能量守恒，摆升高多少，就能算出刚撞完时它有多快。子弹嵌进去那一下会损失动能，但动量守恒，用它就能换算出子弹的速度。要是摆整圈翻了过去，升起的高度就说明不了速度了。

弹丸嵌进挂在无质量刚杆下端的摆球。碰撞时水平动量守恒，机械能却有损失；接下来的非线性摆动中机械能守恒，尽管支点一直在施加外力。拟合摄影数据里第一个可分辨的高度峰值，反推弹丸速度，再试试大角度摆动或整周旋转。

精细检查时间 $0\,\mathrm{s}$

向下重力大小 $0\,\mathrm{N}$

指向支点为正的杆力 $0\,\mathrm{N}$

参考碰撞时刻 $\text{Waiting}$

橙色标尺跨度 $0\,\mathrm{m}$

橙色刻度间隔 $0\,\mathrm{m}$

已采集高度帧数 $0$

发射后时间 $0\,\mathrm{s}$

参考入射速度 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

参考碰后速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

摄影峰值反演的入射速度 $\text{Collecting}$

首个可识别摄影高度峰值 $\text{Collecting}$

能量预测的转折高度 $0\,\mathrm{m}$

当前上升高度 $0\,\mathrm{m}$

未折回的摆杆角度 $0{}^{\circ}$

当前机械能 $0\,\mathrm{J}$

嵌入造成的不可逆损失 $0\,\mathrm{J}$

碰撞瞬间水平动量偏差 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

机械能与碰撞热收支偏差 $0\,\mathrm{J}$

步长减半终点相位位移 $0\,\mathrm{m}$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

局部峰值残差均方根 $\text{Collecting}$

看一次碰撞，再推断发生了什么

能从摆升起的高度，算出子弹的速度吗？

显示作用力蓝色箭头是重力，紫色箭头是空气阻力或杆力。力和速度箭头各用一套比例，整次试验里不变。瞬时碰撞不画成有限大小的力箭头。显示米制标尺橙色标尺和运动用同一个长度比例；物体大小、支架粗细和相机外形只是示意。截至当前的物理解路径绿色路径是解出的物理参考；相机观测单独记录在下方。速度与接触矢量箭头为示意，数值读数保留物理单位。弹丸质量

m

0.08\,\mathrm{kg}

摆球质量

M

1.20\,\mathrm{kg}

入射速度

u

20.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

刚杆长度

L

1.00\,\mathrm{m}

重力加速度

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

最大积分步长

\Delta t_{\max}

4.00\,\mathrm{ms}

相机帧率

f_{\mathrm{cam}}

60.00\,\mathrm{Hz}

高度噪声标准差

\sigma_h

0.00\,\mathrm{m}

已采集轨迹

\tau

0.00\,\%

拖动空心摆球可以改变杆长。点“记录高度轨迹”会重新拍一组数据；拟合只用已经拍到的帧，而且数据里要能看清上升和弯曲。最低点高度、质量和重力加速度都另行标定。摆球一旦转过整圈，光看最高点就分不出入射速度的差别。

弹丸在最低点理想地瞬时嵌入。物体看作质点，刚杆无质量，摆动无摩擦。整周旋转时，刚杆也始终约束着摆球。入射飞行在画面上做了压缩。非线性运动用四阶积分求解，另有独立的能量检验，并真正用减半的步长重算一遍。七帧局部二次峰值是受采样限制的估计；上升高度小到无法分辨，或者摆球在整周旋转，都不能靠高度反推速度。相机在碰撞后记录十秒。

先抓重点

核心问题: 碰撞瞬间与刚杆摆动时，分别适用哪一种守恒定律？
一句话直觉: 摆动时支点对杆施加外力。最低点的瞬时碰撞用水平动量守恒，之后的无摩擦摆动用机械能守恒。

核心数学模型

碰撞瞬间的动量

mu=(m+M)V,\qquad Q_{\mathrm{impact}}=\frac12\frac{mM}{m+M}u^2

嵌入时机械能有损失。水平动量关系用在最低点接触的那一瞬间。

刚杆摆的完整方程

\ddot\theta=-\frac gL\sin\theta,\qquad E=\frac12(m+M)L^2\dot\theta^2+(m+M)gL(1-\cos\theta)

保留精确的正弦项，就能处理大角度摆动。整周旋转时，刚杆也始终把摆球约束在圆周上。

由测到的转折高度反推速度

\widehat u=\frac{m+M}{m}\sqrt{2g\,\widehat h},\qquad\dot\theta(t_{\mathrm{peak}})=0

高度取自峰值附近七帧的局部二次拟合，不是用能量算出的预测值。有限采样和噪声都可能让它偏离。

转过顶点后，光看高度就不够了

V\ge2\sqrt{gL}\quad\Longrightarrow\quad h_{\max}=2L\ \text{does not uniquely identify }u

达到或越过分界轨道后，找不到能确定速度的有限首个转折点，仪器就不做反演。

常见难点

碰撞时机械能不守恒

容易误解入射的动能全部变成了上升的高度。

正确理解嵌入先消耗掉一部分能量，只有碰后剩下的动能用于摆动。

摆动时动量会改变

容易误解摆球在整个摆动中保持水平动量。

正确理解支点和重力都是外力，碰撞时用的动量关系不能沿用到整个摆动。

最高点不总是转折点

容易误解任何最高点都能对应唯一的入射速度。

正确理解整周旋转的摆球带着速度越过顶部，光看高度不够。

动手实验

01
测量第一次摆动
选择“实验室入射”，点“记录高度轨迹”，把反推的速度和参考入射速度比较。
你会看到： 受噪声和采样影响，局部拟合的结果可能和参考值略有出入。
02
看两段过程
重播碰撞过程，再拖动进度看摆动。
你会看到： 碰撞热在接触瞬间跳升；摆动中，动能和势能来回转换。
03
离开小角度极限
选择“大角度非线性摆动”，缩短摆杆。
你会看到： 用完整的正弦方程，摆动能量依然守恒，直到运动达到整周旋转的边界。
04
检验能否反推，以及积分是否准确
试试“整周旋转”“上升高度低于噪声”、低帧率和更小的最大步长。
你会看到： 无法反推时，仪器会直接说明；能量偏差和步长减半的结果用来检验数值轨迹。