--- title: "一盒小球，三种世界：邓煜的菲尔兹奖工作 — Sandbox Physics" description: "从牛顿硬球到 Boltzmann 方程，再到流体方程：看邓煜、Zaher Hani 与 Xiao Ma 怎样证明，微观动力学在长时间里也通向统计规律。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/yu-deng-fields-medal/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/yu-deng-fields-medal/" last_modified: "2026-10-22" --- 2026 菲尔兹奖 · 邓煜专题 # 一盒小球，*三种世界。* 每颗小球只服从牛顿定律，为什么整团气体却服从另一条统计方程？写下两种描述并不难，难的是证明经过漫长的碰撞之后，它们讲的仍是同一个故事。 - **授奖领域**: 偏微分方程 · 概率 · 数学物理 - **阅读时间**: 约 12 分钟 - **资料**: 8 项 · 分级引用 01 微观 **逐颗追踪** 位置、速度、弹性碰撞 02 介观 **追踪分布** 位置与速度的概率密度 03 宏观 **追踪流体** 密度、温度、整体流速 小球并没有被方程取代。证明说的是：在稀薄极限下，两种描述给出同一套统计预测。 阅读路线 01 / 先把问题说清楚 ## 方程早就有了，新成果是证明两个世界真的接得上 想象一只透明盒子。里面没有“温度”，没有“压强”，甚至没有“气体”这个整体概念；只有许多小球，沿直线飞行，碰到彼此就弹开。 如果知道每颗球的位置和速度，牛顿力学就会告诉你下一刻发生什么。 可是我们真正描述空气时，几乎从不写下每颗分子的坐标。我们说温度是多少、压强是多少，或者用一个函数$f(t,x,v)$统计“时刻 $t$、位置$x$ 附近、速度接近$v$ 的粒子有多少”。这就是 Boltzmann 方程所使用的语言。 一句话版本 邓煜、Zaher Hani 与 Xiao Ma 证明了：在稀薄硬球气体的适当极限下，逐颗粒子的确定性运动，会在长时间里产生 Boltzmann 方程所描述的统计演化；只要对应的 Boltzmann 解存在，结论就一直成立。[1] [2] “证明”是这里最重的两个字。物理学家早已相信这座桥存在，数值计算也一直在使用桥另一端的方程。困难在于：当碰撞越来越多、粒子逐渐产生共同历史时，为什么统计描述仍然可信？ 02 / 同一团气体的三种语言 ## 镜头越拉越远，主角也跟着改变 第一层是**微观世界**。每颗硬球在两次碰撞之间匀速运动；碰撞时，速度按照动量与能量守恒重新分配。这个世界非常具体，代价是信息量太大：粒子一多，完整状态就大到无法直接使用。 MICRO / 微观 $$ \dot x_i=v_i,\qquad \dot v_i=0 $$ 两次碰撞之间，逐颗追踪。 KINETIC / 介观 $$ \partial_t f+v\cdot\nabla_x f=Q(f,f) $$ 不问“第 172 颗球在哪”，改问“这一类粒子有多少”。 FLUID / 宏观 $$ \rho(t,x),\quad u(t,x),\quad T(t,x) $$ 密度、整体流速与温度成为主角。 第二层是**介观世界**。Boltzmann 方程不追踪身份，只追踪分布。方程左边让粒子自由飞行，右边的碰撞算子$Q(f,f)$统计不同速度的粒子相撞之后，某一类速度是增加还是减少。 第三层是**宏观世界**。对速度分布取平均，就得到密度、动量、温度等流体量。邓煜、Hani 与 Ma 随后的工作把这条链继续接到可压缩 Euler 方程与不可压缩 Navier–Stokes–Fourier 方程；准确地说，这是在稀薄硬球气体和论文所规定的极限框架中完成的。[3] 粒子世界记住一切；统计世界主动忘掉大部分细节。 **真正的问题是：忘掉以后，预测为什么仍然正确？** 03 / 卡住半个世纪的两个字 ## 短时间里，粒子像陌生人；时间一长，它们就有了共同往事 1975 年，Oscar Lanford 已经在 Boltzmann–Grad 极限中严格建立了硬球动力学到 Boltzmann 方程的桥梁，但只覆盖“足够短”的时间。邓煜等人的论文从这里继续：把结论延伸到任意长的时间区间，只要对应的 Boltzmann 解仍然存在。[2] [7] 为什么“再等一会儿”会把证明变得完全不同？因为一次碰撞不只改变速度，也建立了关系。A 撞过 B，B 又撞过 C，后来 C 再遇到 A；这时把 A 和 C 当成彼此独立的随机样本，就可能重复计算或漏掉相关性。 t₀ t₁ t₂ t₃ 碰撞次数增长并不是唯一麻烦；更棘手的是同一批粒子沿不同路径重新相遇。 微观方程本身是可逆的：把所有速度反向，系统会沿原路返回。Boltzmann 方程却带着统计上的时间方向。新结果并没有用一句话“解释宇宙为何有时间箭头”。它证明的是：在明确的低密度极限与初态条件下，这种有效的统计描述能从可逆动力学中产生，并在长时间内保持有效。 04 / 证明里的技术戏剧 ## 不要丢掉碰撞记忆：先把它画成“分子”，再动刀 研究过程里有一个很朴素的转折：如果长时间太难，能不能先把它切成许多短时间？ 邓煜曾回忆，这个想法是在 Providence 一家韩式炸鸡店里突然出现的。[8]可要回答这个朴素的问题，需要一整套新框架：每切一层时间，可能的碰撞历史就会再分叉一次。 1. 01 ### 给时间分层 把一个难以控制的长区间分成短窗口，但保留窗口之间传下来的信息。 2. 02 ### 用 cumulant 追踪相关性 粒子不会一直彼此独立，所以要明确追踪碰撞留下的共同历史有多强。 3. 03 ### 把碰撞史编码成 CH molecules 复杂积分被翻译成组合图；图的边、层和回路告诉你哪一种历史最危险。 4. 04 ### 切开并控制剩余图 设计切割算法，把庞大结构拆成可以估计的小块，最后证明相关项整体足够小。 原论文把核心难点概括得非常明确：传播一个记住完整碰撞历史的长时间 cumulant 结构，把估计化为碰撞历史图的组合性质，再用精细切割算法完成控制。[2]这里的“切开”，是把估计拆成能逐块控制的小块，没有丢掉任何情形。 05 / 这把刀最早用在波浪上 ## 粒子会碰撞，波会共振；数学上的障碍却有相似轮廓 在挑战硬球之前，邓煜与 Hani 已经研究了波湍流。微观一侧是非线性 Schrödinger 方程：它追踪波的相位与相互作用；统计一侧是 wave kinetic equation：它追踪 Fourier 模式之间的平均能量转移。 PARTICLES **硬球碰撞** 身份明确的粒子产生越来越长的碰撞家谱。 $$ \text{Newton}\Longrightarrow\text{Boltzmann} $$ WAVES **波模共振** 确定性的波产生越来越复杂的相互作用树图。 $$ \text{NLS}\Longrightarrow\text{WKE} $$ 他们首先在特定尺度律下，于 kinetic timescale 严格导出了 wave kinetic equation；随后又处理更完整的尺度范围。第二项工作做了三件新事：找出会阻碍展开收敛的巨大“坏图”，发现坏图之间系统性的相消，再为剩下的图设计稳健的估计算法。[4] [5] 粒子和波在物理上并不是同一种东西，但“确定性微观动力学如何生成统计方程”是同一类问题。波动工作提供的长期展开与图组合经验，后来成为攻克硬球问题的重要范式。 06 / 随机性不是噪声 ## 一条波形可以变得认不出来，整个分布却仍保持原样 菲尔兹奖正式 Citation 还特别提到邓煜对非线性 Schrödinger 动力学的概率方法。这里的思想不是给方程随手“撒一点随机数”，而是把随机初态当成一个有精确结构的统计集合。[1] 邓煜与 Andrea Nahmod、Haitian Yue 合作，研究二维环面上的 defocusing nonlinear Schrödinger 方程及其 Gibbs 测度。他们证明了相对于该测度的几乎处处全局适定性，并得到 Gibbs 测度在动力学下的不变性；证明用到了新的 random averaging operators。[6] 不要只盯着一帧 想象把一副牌充分洗乱。某一张牌的位置一直在变，但“从整副牌随机抽一张”的概率规则没有改变。Gibbs 不变性谈的是这种集合层面的稳定，而不是每个解静止不动。 这条线与 kinetic theory 的共同主题非常鲜明：个体轨迹可以极度复杂，但只要随机结构能够传播，整体统计规律仍可能稳定、可证、可预测。 07 / 不夸张，成果反而更漂亮 ## 它解决了什么，也没有声称解决什么 - **确实建立了长时间桥梁。** 对稀薄硬球系统，在论文规定的极限和正则性条件下，Boltzmann 描述在对应解存在的整个时间区间有效。 - **确实触及 Hilbert 第六问题的核心纲领。** 后续论文在这一气体框架中接通了整条链：从 Newton 力学下的粒子，经过 Boltzmann 方程，到流体方程。 - **不是给“所有物质、所有初态、所有时间”盖章。** 硬球、稀薄极限、初始统计结构以及 Boltzmann 解的存在范围，都是结论的一部分。 - **也不是把 Hilbert 对整个物理学公理化的宏大愿景一次完成。** 准确地说，有一条纲领是经由 Boltzmann 方程，从 Newton 定律导出流体方程。这项工作解决的，是这条纲领在特定稀薄硬球气体中的关键问题。 08 / 现在轮到模拟 ## 动画证明不了定理，但能让证明里最难的对象被看见 交互实验不只是画一盒漂亮的小球。第一版已经把前两个问题放进同一个动态舞台，顺着本文的论证，让你亲手操作： LAB 01 · 已上线 ### 两个镜头看同一团气体 左边逐颗追踪硬球，右边只看经验分布；改变粒子数与稀薄程度，观察两种描述怎样靠近。 LAB 02 · 已上线 ### 把碰撞画成家谱 点击某颗粒子，展开它的碰撞历史；看普通分叉怎样被一次回碰变成相关环路。 LAB 03 · 下一步 ### 亲手切开长时间 比较“一口气展开”和“分层展开”，理解时间切片为什么减少局部困难，却增加组合结构。 [交互 Lab · 已上线 **进入「从硬球到 Boltzmann」**](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hard-spheres-to-boltzmann/) 先知道我们在看什么，再让它动起来。这样模拟不是结论的烟花，而是通向结论的显微镜。 SOURCES / 资料说明 ## 哪些话从哪里来 正文首先引用国际数学联盟的正式授奖材料和原始论文。新闻稿只用来补充人物和研究过程的细节。预印本都标明是预印本，不当作已出版论文。 1. [1] 正式授奖材料 2026 ### Fields Medal 2026 — Yu Deng: Short and Long Citation International Mathematical Union International Congress of Mathematicians 2026 本文关于授奖范围的首要依据。 [打开来源](https://www.mathunion.org/fileadmin/documents/2026-07/Yu_Deng_Citations.pdf) 2. [2] 原始论文 · 预印本 2024 ### Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma arXiv:2408.07818；Annals of Mathematics，待刊 硬球动力学长时间导出 Boltzmann 方程的核心工作。 [打开来源](https://arxiv.org/abs/2408.07818) 3. [3] 原始论文 · 预印本 2025 ### Hilbert’s sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann’s kinetic theory Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma arXiv:2503.01800 在稀薄硬球气体框架中继续连接 Boltzmann 与流体方程。 [打开来源](https://arxiv.org/abs/2503.01800) 4. [4] 原始论文 · 已出版 2023 ### Full derivation of the wave kinetic equation Yu Deng, Zaher Hani Inventiones Mathematicae 233, 543–724 从非线性 Schrödinger 方程严格导出波动动理学方程。 [打开来源](https://doi.org/10.1007/s00222-023-01189-2) 5. [5] 原始论文 · 预印本 2023 ### Derivation of the wave kinetic equation: full range of scaling laws Yu Deng, Zaher Hani arXiv:2301.07063 “坏图”、系统性相消和其余图的估计算法，都出自这篇。 [打开来源](https://arxiv.org/abs/2301.07063) 6. [6] 原始论文 · 已出版 2024 ### Invariant Gibbs measures and global strong solutions for nonlinear Schrödinger equations in dimension two Yu Deng, Andrea R. Nahmod, Haitian Yue Annals of Mathematics 200(2), 399–486 Gibbs 测度不变性与随机平均算子的主要依据。 [打开来源](https://doi.org/10.4007/annals.2024.200.2.1) 7. [7] 证明导读 · 预印本 2026 ### Derivation of the Boltzmann equation from hard-sphere dynamics (after Y. Deng, Z. Hani, and X. Ma) Thierry Bodineau, Isabelle Gallagher, Laure Saint-Raymond, Sergio Simonella arXiv:2602.04407 由该领域专家撰写的证明结构导读。 [打开来源](https://arxiv.org/abs/2602.04407) 8. [8] 机构报道 2026 ### UChicago Prof. Yu Deng receives Fields Medal, highest honor in mathematics University of Chicago News University of Chicago 研究过程的背景，以及“把长时间切成短区间”这个灵感的来历。 [打开来源](https://news.uchicago.edu/story/uchicago-prof-yu-deng-receives-fields-medal-highest-honor-mathematics) 这是专题的第一部分，先把科学故事讲清楚。之后的交互模拟会沿着同一条线索继续。 [返回全部实验](https://sandboxphysics.com/zh/)