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title: "两个光子为何不能各算各的"
description: "建立两激发波函数，用二能级原子的饱和解释输出相关，并和同一单光子模型的线性参考比较。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/waveguide-qed/two-photon-saturation/"
last_modified: "2026-10-28"
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[腔与波导量子电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/)

L3 · 第 4 章

# 两个光子为何不能各算各的

Sandbox Physics · 2026-10-28

一颗二能级原子被激发后，不能再向上吸收第二份相同的激发。两个靠得很近的光子便会共同改变原子的响应。要看见这种关联，必须知道两次位置结果怎样配对；把光子密度画得再精细，也只保留了其中一部分信息。

## 开始前需要什么

前三章的单激发振幅、传播与守恒。需要能把两种互斥结果的概率相加。这里介绍全同玻色子的交换对称性、两激发子空间与线性参考；没有要求先会散射矩阵。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/bandwidth-and-return/)

- 解释两光子状态为什么需要一张对称的二维振幅图。
- 区分饱和造成的输出差异、正常排序关联和散射的连通部分。

## 同一个密度，可以藏着不同的配对

考虑左右两个输出区域。一种双光子状态每次都在同一侧出现两个光子，左右机会各半；另一种每次左右各有一个。重复许多次后，两边的平均光子数都一样。只画左右密度，便看不出这两种状态有什么不同。

需要再画一张图：横轴记录一个光子的位置，纵轴记录另一个的位置。图中左下、右上或两个交叉区域的权重，区分两光子同侧与异侧。光子没有永久的“第一颗”和“第二颗”身份，交换坐标后振幅相同。

对应阅读：Nysteen et al.

## 把两种激发分配都写进状态

链格点从左向右编号。$a_j^\dagger$ 表示在第 $j$ 点增加一个光子，$\sigma_+$ 把原子从基态升到激发态。总激发数为二时，系统可有两个光子，或一个光子加一个原子激发。下面用对称矩阵 $\Phi_{jk}$ 和向量 $e_j$ 把它们都写进去。

前面的 $1/\sqrt2$ 处理全同光子的计数。对不同格点，同一物理配对在完整矩阵中出现两次；同一点上的两个光子则带有玻色子的平方根因子。使用完整有序坐标矩阵时，总归一化正好是所有矩阵元模平方，加上原子激发分支的概率。

$$
|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\sum_{j,k}\Phi_{jk}a_j^\dagger a_k^\dagger|g,0\rangle+\sum_j e_j\sigma_+a_j^\dagger|g,0\rangle,\qquad\Phi_{jk}=\Phi_{kj}
$$

二能级原子没有能同时装两个原子激发的状态。这个缺失的选项就是饱和的来源。

$$
\sum_{j,k}|\Phi_{jk}|^2+\sum_j|e_j|^2=1,\qquad P_e=\sum_j|e_j|^2
$$

原子激发的概率最大为一，但链里可以有两个光子。状态归一化与总激发数是两个不同的检查。

对应阅读：Nysteen et al.

## 两张振幅表怎样随时间变化

令 $h_{j\ell}$ 是裸波导的单光子传播矩阵：相邻格点为负耦合，其余为零。原子接在 $c$ 点，失谐为 $\Delta$，耦合为 $g$。将前面的状态代入薛定谔方程，并分别比较两种分支的系数，得到下面两条方程。

第一条里，两项传播分别移动一个光子的坐标；最后两项让激发原子发出一个光子。第二条让剩余光子继续传播，同时允许原子吸收场中的一个光子。两条方程必须一起求解。

平方根二的来历可以在单个格点上直接看见：归一化二光子态是 $(a^\dagger)^2|0\rangle/\sqrt2$，湮灭一个光子得到 $\sqrt2|1\rangle$。这个系数把二光子分支与原子激发分支联系起来；而二能级原子不能再向上升一级。

$$
i\dot\Phi_{jk}=\sum_\ell(h_{j\ell}\Phi_{\ell k}+h_{k\ell}\Phi_{j\ell})+\frac g{\sqrt2}(\delta_{jc}e_k+\delta_{kc}e_j),\qquad i\dot e_j=\sum_\ell h_{j\ell}e_\ell+\Delta e_j+\sqrt2g\Phi_{cj}
$$

克罗内克符号在两个下标相同时为一，否则为零，因此原子只在指定接点与场交换。频率与时间采用同一单位。

对应阅读：Sandbox Physics FR11

## 先做一个真的线性对照

把原子换成一个谐振子，保留相同频率、耦合和波导。谐振子允许第二次激发，所以两个光子可以各自按单激发方程传播，再把结果对称相加。这给出明确的线性参考。

设两束入射的归一化单光子模式为 $u$ 与 $v$，其重叠 $s=\langle u|v\rangle=\sum_j u_j^*v_j$，求和遍历完整的单激发空间，包括链与谐振子。它们重叠越大，态的归一化因子也要跟着改变。先分别用同一个单激发哈密顿量传播，再构造下面的双光子振幅。谐振子的双占据分支也要保留，不能为让两张图更像而删除。

完整例题：若两个光子处于同一模式，重叠为一，分子为两倍模式乘积，分母也为二，最后恰好得到模式乘积。若两束正交，分母变成平方根二。把这两个极限代回归一化，可以检查全同粒子的因子有没有漏掉。

$$
\Phi_{jk}^{\rm lin}=\frac{u_jv_k+v_ju_k}{\sqrt{2(1+|s|^2)}}
$$

模式的完整单激发空间包含链与谐振子。这里只展示链中的二维分量。

## 看差图时，先问它减掉的是什么

本实验的空间差图比较 $|\Phi_{jk}|^2$ 与 $|\Phi_{jk}^{\rm lin}|^2$。它们都保留场中确有两个光子的概率，没有各自重新归一化。原子还激发着时，二维图的总权重就小于一。差图因此同时保留散射方式与不同分支权重的变化。

若把振幅差记作 $C=\Phi-\Phi^{\rm lin}$，概率差还含有参考振幅与 $C$ 的干涉项。于是亮斑不能直接当作“相关光子数”，暗斑也不是负概率。

散射理论的连通振幅定义在入射态与渐近出射态之间：先减去两个单光子散射的对称乘积，再研究剩余部分。有限时刻的空间概率差、减去密度乘积的关联，以及这个连通散射振幅，回答不同的问题。

$$
|\Phi|^2-|\Phi^{\rm lin}|^2=2\operatorname{Re}\!\left[(\Phi^{\rm lin})^*C\right]+|C|^2
$$

概率差同时包含参考干涉项与振幅差的模平方。

对应阅读：Shen and Fan

## 怎样知道看到的是饱和

先把原子与波导解耦。两条路径应完全一致。再把两束脉冲的到达时间拉开，让原子在两次作用之间大致恢复，双光子结果应靠近分开的单光子散射。最后让它们在原子附近重叠，检查原子激发、空间相关与线性差异怎样一起变化。

光子数密度取 $n_j=2\sum_k|\Phi_{jk}|^2+|e_j|^2$。加上原子激发概率，应当总共得到二。这个守恒量来自模型，而不是画面颜色的约定。为了看到完整散射，还要选在波包离开原子之后、端点反射回来之前的时刻。

$$
\sum_j n_j+P_e=2,\qquad G^{(2)}_{jk}=\langle a_j^\dagger a_k^\dagger a_ka_j\rangle=2|\Phi_{jk}|^2
$$

正常排序的二阶量与实验所画的有序位置概率差一个已知因子；同一格点也使用同一表达式。

## 动手检验预测

### [让两束光在原子附近相遇](https://sandboxphysics.com/zh/labs/two-photon-waveguide-scattering/)

1. 先预测同步到达和分开到达时，哪一种更容易偏离线性参考。
2. 只改变脉冲间隔，比较原子激发概率、场密度与二维差图。保持其余参数不动。
3. 选择波包已离开原子的时刻，再解释差图。导出记录，核对状态归一化、总激发数及边界附近的概率。

## 练习与解释性答案

1. 同侧成对出现与每侧各一个的状态，为什么能有完全相同的单光子密度？

   展开解释

   密度只统计每侧的平均光子数。左右各半的“两光子同侧”每侧平均也是一个；它丢掉了同一次实验里两次位置结果的配对。

2. 二维位置图积分为 $0.8$，原子激发概率为 $0.2$。这是否丢了百分之二十的概率？

   展开解释

   没有。两个分支相加恰好为一。场中平均光子数为一点八，再加零点二的原子激发，总激发数是二。

3. 为什么把两张二维图各自归一化后再相减，会改变问题？

   展开解释

   那会把场中有两个光子的条件固定下来，删掉两个模型在分支概率上的差异。比较条件分布也有意义，前提是明确说明条件，再与未条件化的散射问题分别解释。

[上一章：环境什么时候会把光送回来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/bandwidth-and-return/) [下一章：怎样从传播场得到探测器会记录的量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/output-records/)

## 来源与计算范围

1. [Shen and Fan, Strongly correlated two-photon transport, Phys. Rev. Lett. 98, 153003 (2007)](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0701170v2)

   固定作者版本 v2，二〇〇七年三月十三日。用于说明渐近双光子散射及相关部分的定义。有限紧束缚波包实验有自己的带宽和边界，与论文的无限长线性色散模型分别说明。

2. [Nysteen et al., Scattering of two photons on a quantum emitter, New J. Phys. 17, 023030 (2015)](https://doi.org/10.1088/1367-2630/17/2/023030)

   第二节及其对称两激发波函数用于核对归一化与光子数密度约定，同时核读作者预印本 arXiv:1409.1256v1。已发表文章采用 CC BY 3.0；本课程没有复制其图或数据集。

3. [Sandbox Physics FR11, finite two-excitation scattering model](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/docs/frontier/fr11/two-photon-model.md)

   列出态基底、有序位置图归一化、谐振子参考、收敛与独立单模检查。导出的空间数据与连续探测记录分别解释。